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電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
RLC直並列回路
RLC直並列回路
R0
e(t)
L
C
R
図に示すようなRLC直並列回路を電圧
源 e(t) によって励振したときの、R の両
端に現れる電圧 v0(t) を求める。簡単の
v0(t) ために、最初から全ての初期条件を 0
として、電圧、電流はそれらのラプラス
変換で考える。
L[e(t)] = E(s), L[v0(t)] = V0(s), R, L, C を流れる電流のラプラス変換をそれぞれ IR(s),
IL(s), IC(s) として、
R0 ( I R  I L  I C )  V0 ( s )  E ( s )
V 0 ( s )  RI
R
 sLI
L

1
sC
IC
の関係が成り立つから、 IR, IL, IC を消去すれば、伝達関数として、
V0 ( s )
E (s)
が求まる。

0 s
2
L
R 0 s  2 0 s   0
2
2
ただし、  
L R  R0
C 2 RR 0
,
0 
1
LC
RLC直並列回路
この、ω0 に対応する周期 T0 = 2π/ω0 を共振期間と呼ぶことがある。また、2ζ ω0 の値
から
2 
L R  R0
C

RR 0
1
R  R0
 0C
RR 0

1
Q
はちょうど、回路の Q を与える。
e(t) が単位ステップ即ち E(s) = 1/s のときの応答 v0(t) を求める。
V0 ( s ) 
0
2
L
となるから、
R 0 s  2 0 s   0
2
2
(a) 臨界減衰(ζ = 1 或いは 2 R 0 R /  R 0  R  
V0 ( s ) 
0
2
L
R 0 s  2 0 s  
2
0 L
2
従って、 v 0 ( t ) 
R0
te
2
0
 0t


0
L /C
2
L
R 0 s   0 
1
R0C
te
 0t
)の時、

2
,
表5.2の(5)より、 ￡1 
1
2


s

a

t0

 at
  te

RLC直並列回路
教科書の不等号の向きは誤り
(b) 過減衰(ζ > 1 或いは 2 R 0 R /  R 0  R  
0 L
2
V0 ( s ) 
2

2
2

R0
2


1 0
1
表5.2の(32)より、 ￡1 
2
 s  a 
v 0 (t ) 

R0
1
j 
1
 0 CR 0
2
 1 0
1

2
1
e
 s   0 2  1  
0 L
2
 s   0 2  
2
1
R0
1
0 L
)の時、
2
1
R 0 s  2  0 s   0
0 L
0 L
L /C
e
  0 t
  0 t
2

R0
2

1
 s   0 
2

1  at

e sin  t
2 
  

 j 
sin j 
sinh

2
 1 0 t 
0 L
 1 0 t ,
R0
t0
2
 1 0

2
従って、
2
2
2
0
1

2
 1 0
e
  0 t
sinh

2
 1 0 t
RLC直並列回路
教科書の不等号の向きは誤り
(c) 振動減衰(ζ < 1 或いは 2 R 0 R /  R 0  R  
0 L
2
V0 ( s ) 
2
1
R 0 s  2  0 s   0
2
2
0 L
2

R0

 s   0 
2


1  0

2
1
2
 s  a 
0 L
2

R0
1
1  0
e
  0 t
1
1
 0 CR 0
1
e
2
  0 t
 s   0 2  1  
2

2
0

2

1  at

e sin  t
2 
  
sin
1    0t
sin
1    0t ,
2
)の時、
1
R0
1
表5.2の(32)より、 ￡1 
v 0 (t ) 
0 L
L /C
従って、
2
2
t0
となる。
RLC直並列回路
V0 ( s ) 
I (s) 
0
2
L
は、教科書の式(6.24)と同じ形をしている。
R 0 s  2 0 s   0
2
2
E0
L
1
s 
2
R
s
L
従って、  
R
2 0 L
 ( 6 . 24 )
1
1
LC
 0
R
L
 2  0
LC

R
C
2
L
より、
ただしRLC直並列回路では、
臨界減衰   1  R 
4L
2 R0 R
C
R0  R
過減衰
 1 R 
4L
2 R0 R
C
R0  R
振動減衰
 1 R 
4L
2 R0 R
C
R0  R
2
2
2

L
C

L
C

L
C
RLC直並列回路
例題7.5.1
振動減衰の場合、ζ ω0t1 = 1 を満たす時刻、即ち t1 = 1/ζ ω0 では、v0(t1) の振幅
は、時刻 t = 0 の時の振幅の 1/e になる。
v 0 (t ) 
1
1
 0 CR 0
1
e
  0 t
sin
2
1    0t ,
2
t0
振幅
t = 0 ~ t1 の間にv0(t) が振動する回数を k とすれば、 ζ << 1 ならば
と見なせるので、2πk ≈ ω0t1 =1/ζ である。
従って、先に示した
2 
1
の関係を用いると、
Q
k  1 / 2  Q / 
または
k Q
の関係が得られる。
1
2
1
回路網の励振と応答
インパルス応答とステップ応答
励振
vi(t)
回路網
応答
vo(t)
応答のラプラス変換 = 回路網関数 ×励振のラプラス変換
Vo(s) = L[vo(t)]
Vi(s) = L[vi(t)]
H(s)
Vo(s) = H(s)Vi(s)
今もし、励振のラプラス変換が 1 であるとすると、回路網関数そのものが応答のラプ
ラス変換を与える。即ち、単位インパルス u0(t) に対する応答のラプラス変換は、回
路網関数そのものである。
従って、「回路網関数のラプラス逆変換は、t = 0 の時刻に加えられた単位インパルス
励振に対する静止回路の応答を与える。」と言える。このような応答をインパルス応答
(impulse response)と呼び、通常 h(t) で表す。
L[h(t)] = H(s) または h(t) = L-1[H(s)]
である。
一方、単位ステップ u-1(t) の励振に対する静止回路の応答をステップ応答(step
response)、インディシャル応答(indicial response)、ヘビサイド応答などと呼び、
g(t) などと表す。
インパルス応答 h(t) とステップ応答 g(t) との関係は、L[u-1(t)] = 1/s であるから、
L[g(t)] = H(s)/s
回路網の励振と応答
従って、H(s) = sL[g(t)] = L[g’(t)] + g(0) ただし、g’(t) は g(t) の時間微分である。
これをラプラス逆変換すると、
h(t) = g’(t) + g(0) u0(t) の関係が得られる。
関数の積のラプラス逆変換
任意波形による励振 vi(t)に対しても、回路網関数 H(s) が与えられていれば、
Vo(s) = H(s)Vi(s) のラプラス逆変換を求めることにより応答 vo(t) が求まる。
即ち、vo(t) = L-1[H(s)Vi(s)] = L-1[Vi(s)H(s)] である。
ラプラス変換の相乗積分に関する公式(教科書p105の式5.48c)を用いると、2つの
関数の積のラプラス逆変換は、個々の関数のラプラス逆変換の相乗積分になる。
即ち、 v o ( t )  v i ( t )  h ( t )  h ( t )  v i ( t ) 

t
0
v i ( ) h ( t   ) d  

t
0
v i ( t   ) h ( ) d 
によって与えられる。ただし、h(t) は H(s) のラプラス逆変換である。
従って、任意波形の励振 vi(t) に対する応答 vo(t) は、インパルス応答 h(t) が既知で
あれば、上の相乗積分の関係によって与えられる。
回路網の励振と応答
例7.8.1
特に励振 vi(t) を単位インパルス u0(t) にとると、Vi(s) = 1 であるから、
Vo(s) = H(s)Vi(s) より、Vo(s) = H(s)
従って、 H ( s )  V 0 ( s )  ￡v 0 ( t )   ￡u 0 ( t )  h ( t ) 
t
 ￡  u 0 ( t   ) h ( )d    ￡h ( t ) 
 0

デルタ関数の性質から
なる関係が得られ、インパルス応答のラプラス変換は回路網関数であることが
確かめられる。
任意波形の励振に対する応答
ここで、物理的意味を考えてみる。
仮に励振 vi(t) が図(a)に示すような時間変化をする波形だとする。この波形を微
小で等間隔な時間幅 Δτ で分割する。そのとき、vi(t) の時刻 τ から τ + Δτ の間の
値は、振幅が vi(τ) で幅が Δτ の方形波によって近似できる。従って励振 vi(t) の全
体は、このような方形波の連続した列によって近似的に表せる。
回路網の励振と応答
このとき、一つの方形波に対する回路の応答は、
v 0 (t ) 



t
0
v i ( ) h ( t   ) d 
  

  

v i ( ) h ( t   ) d 
v i ( ) h ( t   ) d 
 v i ( ) 
  

h (t   ) d 
τ < t < τ + Δτ 以外で vi(t) = 0 より
τ < t < τ + Δτ 以外で vi(t) = vi(τ) より
で与えられる。
もし、 Δτ が十分に小さく、 τ ~ τ + Δτ の間で h(t ‒ ξ) が一定と見なせれば、
v 0 ( t )  v i ( )   h ( t   )
で与えられる。(図(c), (d))
回路網の励振と応答
回路網の励振と応答
従って、励振 vi(t) に対する時刻 t における応答は、その時刻 t より以前に加えられた
全ての方形波励振についての応答を、次々と時間をずらせて加え合わせたものに等
t
しいから、 v o ( t ) 
 v ( ) h ( t   )  
i
である。
  
或いは、 Δτ → 0 の極限で考えて、
v o (t ) 

t
0
v i ( ) h ( t   ) d 
である。
これを重ね(合わせ)積分, 累積積分(superposition integral)と呼び、畳み込み(積分)
convolution f ( t )  g ( t ) 



f ( ) g ( t   ) d 
の特別な場合である。
ここで、時刻 t は現在の時刻、従って vo(t) は現在の応答、τ は過去の時刻、即ち vi(τ)
は 0 < τ < t の各時刻における励振、そして (t ‒ τ) は回路の記憶時間と見なせる。
従って vi(τ)h(t ‒ τ) は、時刻
τ に加えられた励振 vi(τ) が、
現在の応答 vo(t) に寄与す
る割合である。従って、イン
パルス応答 h(t) のことを荷
重関数、重み関数
(weighting function)などと
呼ぶ。
回路網の励振と応答
h(t) = g’(t) + g(0) u0(t) の関係を利用
ステップ応答による表現
重ね積分をステップ応答 g(t) によって表すことができる。即ち、
v o (t ) 


t

t
0
0
v i ( ) h ( t   ) d  

t
0
v i ( ) g' ( t   )  g ( 0 ) u 0 ( t   ) d 
t
g' ( t   ) v i ( ) d   g ( 0 )  u 0 ( t   ) v i ( ) d 
0
右辺第2項の u0(t ‒ τ) は τ = t のとき以外は 0 であるから、第2項自体は g(0)vi(t) に
等しい。従って、
v o (t )  g ( 0 ) vi (t ) 

t
0
v i ( ) g' ( t   ) d 
が得られる。
この式を重ね積分または Duhamel の積分と呼んで
いる。
また上式は、次のように変形できる。
v o (t )  vi ( 0 ) g (t ) 

d
dt

t
0

t
0
v i' ( ) g ( t   ) d 
v i ( ) g ( t   ) d 
回路網の励振と応答
インパルス応答関数の性質
重ね積分を導くための仮定
(a) 因果性(causality) 励振よりも先に応答が出ることはない。
vi(t) = 0, t < t1 ならば、h(t) = 0, t < t1
(b) 不変性(time-invariant)
回路の性質は時間が経過しても変わらない。
励振 vi(t) に対して応答が vo(t) であれば、励振 vi(t + t0) に対しての応答は
vo(t + t0) となる。
(c) 線形性(linearity)
重ねの理が成り立つ。
ある励振 v~i と vˆi に対する応答が v~o と vˆ o ならば、
励振 c1 v~i  c 2 vˆi に対する応答は、 c1 v~o  c 2 vˆ o となる。
回路網の励振と応答
(c) 安定性(stability) 励振から時間が十分に経てば、静止の状態になる。
全ての有限な入力に対して出力は有限。
入力の大きさが、 v i ( t )  M と制限されるとき、
全ての観測時間 −∞ < t < ∞ に渡っての相乗積分に代入して、
v 0 (t ) 



v i ( t   )  h ( ) d 

v 0 (t )  M



h ( ) d 
従って、安定であるための必要十分条件は、インパルス応答 h(t) が
絶対積分可能であること、即ち



h ( ) d   N  
を満たすことである。
ただし、N は有限な正の実数である。