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電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5セメ
山田 博仁
回路網の励振と応答
インパルス応答とステップ応答
励振
vi(t)
回路網
応答
vo(t)
応答のラプラス変換 = 回路網関数 ×励振のラプラス変換
Vo(s) = L[vo(t)]
Vi(s) = L[vi(t)]
H(s)
Vo(s) = H(s)Vi(s)
今もし、励振のラプラス変換が 1 であるとすると、回路網関数そのものが応答のラプ
ラス変換を与える。即ち、単位インパルス u0(t) に対する応答のラプラス変換は、回
路網関数そのものである。
従って、「回路網関数のラプラス逆変換は、t = 0 の時刻に加えられた単位インパルス
励振に対する静止回路の応答を与える。」と言える。このような応答をインパルス応答
(impulse response)と呼び、通常 h(t) で表す。
L[h(t)] = H(s) または h(t) = L-1[H(s)]
である。
一方、単位ステップ u-1(t) の励振に対する静止回路の応答をステップ応答(step
response)、インディシャル応答(indicial response)、ヘビサイド応答などと呼び、
g(t) などと表す。
インパルス応答 h(t) とステップ応答 g(t) との関係は、L[u-1(t)] = 1/s であるから、
L[g(t)] = H(s)/s
回路網の励振と応答
従って、H(s) = sL[g(t)] = L[g’(t)] + g(0) ただし、g’(t) は g(t) の時間微分である。
これをラプラス逆変換すると、
h(t) = g’(t) + g(0) u0(t) の関係が得られる。
関数の積のラプラス逆変換
任意波形による励振 vi(t)に対しても、Vo(s) = H(s)Vi(s) の両辺のラプラス逆変換を
求めると応答 vo(t) が求まる。
即ち、vo(t) = L-1[H(s)Vi(s)] = L-1[Vi(s)H(s)] である。
ラプラス変換の相乗積分に関する公式(教科書p105の式5.48c)を用いると、2つの
関数の積のラプラス逆変換は、個々の関数のラプラス逆変換の相乗積分になる。
即ち、 v o ( t )  v i ( t )  h ( t )  h ( t )  v i ( t ) 

t
0
v i ( ) h ( t   ) d  

t
0
v i ( t   ) h ( ) d 
によって与えられる。ただし、ただし、h(t) は H(s) のラプラス逆変換である。
従って、任意波形の励振 vi(t) に対する応答 vo(t) は、インパルス応答 h(t) が既知で
あれば、上の相乗積分の関係によって与えられる。
回路網の励振と応答
例7.8.1
特に励振 vi(t) を単位インパルス u0(t) にとると、Vi(s) = 1 であるから、
Vo(s) = H(s)Vi(s) より、Vo(s) = H(s)
従って、 H ( s )  V 0 ( s )  ￡v 0 ( t )   ￡u 0 ( t )  h ( t ) 
t
 ￡  u 0 ( t   ) h ( )d    ￡h ( t ) 
 0

デルタ関数の性質から
なる関係が得られ、インパルス応答のラプラス変換は回路網関数であることが
確かめられる。
任意波形の励振に対する応答
ここで、物理的意味を考えてみる。
仮に励振 vi(t) が図(a)に示すような時間変化をする波形だとする。この波形を微
小で等間隔な時間幅 Δτ で分割する。そのとき、vi(t) の時刻 τ から τ + Δτ の間の
値は、振幅が vi(τ) で幅が Δτ の方形波によって近似できる。従って励振 vi(t) の全
体は、このような方形波の連続した列によって近似的に表せる。
回路網の励振と応答
このとき、一つの方形波に対する回路の応答は、
v 0 (t ) 



t
0
v i ( ) h ( t   ) d 
  

  

v i ( ) h ( t   ) d 
v i ( ) h ( t   ) d 
 v i ( ) 
  

h (t   ) d 
τ < t < τ + Δτ 以外で vi(t) = 0 より
τ < t < τ + Δτ 以外で vi(t) = vi(τ) より
で与えられる。
もし、 Δτ が十分に小さく、 τ ~ τ + Δτ の間で h(t ‒ ξ) が一定と見なせれば、
v 0 ( t )  v i ( )   h ( t   )
で与えられる。(図(c), (d))
回路網の励振と応答
回路網の励振と応答
従って、励振 vi(t) に対する時刻 t における応答は、その時刻 t より以前に加えられ
た全ての方形波励振についての応答を、次々と時間をずらせて加え合わせたもの
に等しいから、
t
v o (t ) 
 v ( ) h ( t   )  
i
である。或いは、 Δτ → 0 の極限で考えて、
  
v o (t ) 

t
0
v i ( ) h ( t   ) d 
である。これを重ね(合わせ)積分(superposition
integral)と呼ぶ。
ここで、時刻 t は現在の時刻、従って vo(t) は現在の応答、τ は過去の時刻、即ち vi(τ)
は 0 < τ < t の各時刻における励振、そして (t ‒ τ) は回路の記憶時間と見なせる。
従って vi(τ)h(t ‒ τ) は、
時刻 τ に加えられた励
振 vi(τ) が、現在の応
答 vo(t) に寄与する割
合である。従って、イン
パルス応答 h(t) のこと
を荷重関数、重み関数
(weighting function)な
どと呼ぶ。
回路網の励振と応答
ステップ応答による表現
重ね積分をステップ応答 g(t) によって表すことができる。即ち、
v o (t ) 


t

t
0
0
v i ( ) h ( t   ) d  

t
0
v i ( ) g' ( t   )  g ( 0 ) u 0 ( t   ) d 
t
g' ( t   ) v i ( ) d   g ( 0 )  u 0 ( t   ) v i ( ) d 
0
右辺第2項の u0(t ‒ τ) は τ = t のとき以外は 0 であるから、第2項自体は g(0)vi(t) に
等しい。従って、
v o (t )  g ( 0 ) vi (t ) 

t
0
v i ( ) g' ( t   ) d 
が得られる。
この式を重ね積分または Duhamel の積分と呼んで
いる。
また上式は、次のように変形できる。
v o (t )  vi ( 0 ) g (t ) 

d
dt

t
0

t
0
v i' ( ) g ( t   ) d 
v i ( ) g ( t   ) d 
回路網の励振と応答
インパルス応答関数の性質
重ね積分を導くための仮定
(a) 因果性(causality) 励振よりも先に応答が出ることはない。
vi(t) = 0, t < t1 ならば、h(t) = 0, t < t1
(b) 不変性(time-invariant)
回路の性質は時間が経過しても変わらない。
励振 vi(t) に対して応答が vo(t) であれば、励振 vi(t + t0) に対しての応答は
vo(t + t0) となる。
(c) 線形性(linearity)
重ねの理が成り立つ。
ある励振 v~i と vˆi に対する応答が v~o と vˆ o ならば、
励振 c1 v~i  c 2 vˆi に対する応答は、 c1 v~o  c 2 vˆ o となる。
回路網の励振と応答
(c) 安定性(stability) 励振から時間が十分に経てば、静止の状態になる。
全ての有限な入力に対して出力は有限。
入力の大きさが、 v i ( t )  M と制限されるとき、
全ての観測時間 −∞ < t < ∞ に渡っての相乗積分に代入して、
v 0 (t ) 



v i ( t   )  h ( ) d 

v 0 (t )  M



h ( ) d 
従って、安定であるための必要十分条件は、インパルス応答 h(t) が
絶対積分可能であること、即ち



h ( ) d   N  
を満たすことである。
ただし、N は有限な正の実数である。