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電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
ラプラス変換による過渡現象の解析
1. RC直列回路の過渡現象
R
e(t)
E(s)
i(t)
I(s)
q(0)
C
図に示す回路における閉路方程式は、
e(t )  Ri(t ) 
1
i(t )dt

C
電流 i(t) の積分を、

t

i(t )dt   i(t )dt   i(t )dt  q(0)   i(t )dt
ただし、

0
t
t

0
0
0

i(t )dt  q(0)
と置く。
両辺をラプラス変換すると、
E(s)  RI (s) 
1
I (s)  q(0)
sC
ただし、I(s) および E(s) は、i(t) および e(t) のラプラス変換である。
q(0) は、t = – ∞ から t = 0 の直前までの間にキャパシタ C に流入した電流を積分
したもの、即ち C に蓄えられた電荷である。
ラプラス変換による過渡現象の解析
I(s) について書き直すと、
q(0)
E ( s)
I ( s) 
 sC
1
1
R
R
sC
sC
第1項は励振 E(s) に関する項
第2項は初期条件 q(0) に関する項
初期条件として q(0) = 0 (定常状態)を考えると、
I ( s) 
E ( s)
E ( s)

1 Z ( s)
R
sC
Z (s)  R 
1
となり、s を jω で置き換えれば、
sC
Z (s)  Z ( j) は回路のインピーダンスであるから、
インピーダンス関数と呼ばれる。
当然その逆数はアドミタンス関数と呼ばれ、
Y ( s) 
1
1

Z ( s) R  1
sC
I(s) をラプラス逆変換すれば、電流の瞬時値 i(t) が求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.1.1
S
t=0
R
時刻 t = 0 でスイッチを閉じる場合、電源電圧の
+ と同じ意味過渡関数 e(t) は、単位ステップ関数 u-1(t) を用いて、
e(t )  E0u1 (t )
E0
i(t)
q(0)
C
で与えられる。
従って、 時刻 t = 0 で電圧 E0 を印加する過渡関数波
e(t )  E0u1 (t )  Ri(t ) 
1
i(t )dt
C
これをラプラス変換すると、
E0 q(0)
q(0)

E

0
E0
I (s)  q(0)
1
sC 
C
 RI (s) 
となり、I(s) は、 I (s)  s
1
1
s
sC
R
R
s
sC
RC
となる。
これをラプラス逆変換すると、
i(t ) ￡-1I (s) 
q(0)
t
C e RC
R
E0 
(t > 0)
となり、微分方程式の直接解法による解と
一致する。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.1.2
i1
S1
C1
時刻 t = 0 で2つのスイッチを同時に閉じる場合、
抵抗 R を流れる電流を求める。ただし、C1, C2 に
は当初、各々電荷 q1, q2 が蓄えられていたとする。
i2
C1-S1-R の閉路に対して、以下の閉路方程式が成り立つ。
S2
q1
C2
q2
1 t
R(i1  i2 )    i1dt  q1   0

C1  0
R
C2-S2-R の閉路に対して、以下の閉路方程式が成り立つ。
R(i1  i2 ) 
1  t
 0 i2dt  q2   0

C2 
これらの式をラプラス変換すると、
R( I1  I 2 ) 
1
I  q   0
sC1 1 1
R( I1  I 2 ) 
1
I  q   0
sC2 2 2
ただし、I1 = L i1、 I2 = L i2 とした。
両式より、I1, I2 を求めると、
I1 
sR(C2q1  C1q2 )  q1
sR(C1  C2 )  1
I2 
sR(C1q2  C2q1 )  q2
sR(C1  C2 )  1
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
従って、抵抗 R を流れる電流 I は、
I  I1  I 2 
q1  q2
q q
 1 2
sR(C1  C2 ) 1 R(C1  C2 ) s 
1
1
R(C1  C2 )
となる。
これをラプラス逆変換すると、

q1  q2
i(t ) 
e R(C1 C2 )
R(C1  C2 )
t
(t > 0)
となる。
スイッチを閉じた直後( t = +0 )での電荷の総量は、スイッチを閉じる直前( t = −0 )
において、各キャパシタが蓄えていた電荷の合計(q1 + q2)に等しいことが分かる。
(電荷量不変の理)
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.1.3
S
t=0
t = 0 の時刻に、e(t)=Emsinωt なる正弦波を印加する
時、回路を流れる電流 i(t) を求める。ただし、C には
当初、電荷 q(0) が蓄えられていたとする。
R
e(t)=Emsinωt i(t)
q(0)
C
e(t )  Em sin  t  Ri(t ) 
￡sin  t  

s2  2
1
i(t )dt
C
(t > 0)
(表5.2(11)参照)であるから、
Em
I (s)  q(0) 
1 
q(0)

RI
(
s
)


R

I
(
s
)



s2  2
sC
sC 
sC

s
q(0) 1
Em
q(0)  
1  Em

R






2
2
1  2
sC  
sC 
R 
CR s  CR
 s 
2
s 
s   
従って、 I (s)  

CR 
このラプラス逆変換を求めるにあたり、ラプラス変換表(教科書の表5.2)を用いる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
表5.2(27)にある表関数 f(t) を b →1/τ, τ → RC , a → ω と置き換えて、t について微分
ebt
1

sinat   
(27) f (t )  2
2
2
2
a b a a b
f (t ) 
e


1

2
1

 2 
1
 e
つまり、
a
b
F (s) 
1
t
 
2
tan 


2
Em

df (t )
 

1
dt
2
 

2
t
2
1
2 
1
cost   
2
t
df (t )
 

1
dt
2
 
従って、 I (s) 
1
sint   
 e

1
(s  b)(s 2  a2 )
1
2 
1
cost   
2
s
q(0) 1

1  2
R 
CR s  CR
2
s 
s   
 CR 
F ( s) 
s
1
(s  )(s 2   2 )

をラプラス逆変換すると、
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
 1 t

 q(0)  t
Em    e
1
i(t ) 

cost    
e CR

R  2  1
CR
1
2

  2
2



1

t
t


Em

E
1
q
(
0
)
CR e CR  m

cost    
e CR
R 2  1
R
CR
1
2 
2
CR
CR2

Em
C
1
R 
C 2
2
e

t
CR
q(0)  CRt

e 
CR
Em
R 2 
1
CR2
cost   


Em

  t
Em
q
(
0
)
  C

e CR 
cost   

1
CR 
1
2
 R2 
R



C 2
C 2
tan  CR
t → ∞ で 0 に収束する過渡項 持続する正弦波振動を表わす定常項
と求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
これを図に示すと、
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
キャパシタ C の電荷 q(t) は t > 0 に対して、
q(t )  q(0)   i(t )dt
t
0

EmC R 
 q(0)  q(0) 
e
2 2 2 
1


C
R


2
t

CR
Em


sint     sin  
1 
1

R2 
C 2

Em
R 
E

  t
m


 q(0) 
e CR 
sin t   

1
1
2


R2 
R


C 2 
C 2
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
1. RL直列回路の過渡現象
R
i(0)
e(t)
E(s)
i(t)
I(s)
L
図に示す回路に流れる電流 i(t) は、
e(t )  Ri(t )  L
di(t )
dt
を解いて求められる。
両辺をラプラス変換すると、
E(s)  RI(s)  LsI (s)  i(0)
ただし、I(s) および E(s) は、i(t) および e(t) のラプラス変換であり、 i(0) は初期電流
である。
i(0) は、厳密には時刻 t = +0 での電流であるので i(+0) とすべきであるが、コイルに
流れる電流は瞬時には変化できないので、時刻 t = −0 での電流 i( −0) とは等しい。
上式より、 I (s) 
E(s)  Li(0)
R  sL
I(s) をラプラス逆変換すれば、電流の瞬時値 i(t) が求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.2.1
S
t=0
時刻 t = 0 でスイッチを閉じる場合、電源電圧の
過渡関数 e(t) は、単位ステップ関数 u-1(t) を用いて、
R
i(0)
E
i(t)
L
e(t )  E0u1 (t ) で与えられる。
スイッチを入れた瞬間(t = 0)の電流はゼロであるから、
E0
 RI (s)  sLI (s)
s
従って、 I (s) 
E0
sR  sL
表5.2の(15)を参考にしてこれをラプラス逆変換すると、
R
R
 t
 t

E0
E0
1
E0 L 
E
1  e L   0 1  e L  となる。
I (s) 

i(t ) 
より、

 R

sR  sL L  R 
L
R




s s  
 L
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.2.2
S
t=0
t = 0 の時刻に、e(t)=Emsinωt なる正弦波を印加する
時、回路を流れる電流 i(t) を求める。
R
e(t)=Emsinωt i(t)
e(t )  Em sin  t  Ri(t )  L
L
￡sin  t  
di(t )
dt

(表5.2(11)参照)であるから、
s2  2
Em
 RI (s)  sLI (s)
s2  2
従って、 I (s) 
(t > 0)
L
  と置いた。
R
Em
Em
1
1
Em


R

sL


s2  2
L  R 2
L  1 2
2
2
 s  s   
 s  s   
 L
 
このラプラス逆変換を求めるにあたり、ラプラス変換表(教科書表5.2)の(27)を用いると、


t


Em  e 
1
i(t ) 

sin t   

1
L  2 
1
2




2
2




tan 
L
R
と求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.2.3
R1
S
i1
L1
t=0
E0
R1
R2
i2
R2
i
L2
L1
L2
左図の回路において、スイッチ S が閉じた状態で、R1 および R2 に定常電流 i1, i2 が
流れている。t = 0 でスイッチを開くと、右図のような回路となり、電流 i が流れるとする。
t > 0 に対して閉路方程式は、
R1  R2 i  L1 di  L2 di  0
となる。この式をラプラス変換すると、
dt
dt
R1  R2 I (s)  L1sI (s)  i1(0) L2sI (s)  i2 (0) 0 となり、ラプラス逆変換すると、
R R
L1i1 (0)  L2i2 (0) t L11  L22
i(t ) 
e
L1  L2
と電流が得られる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
コイルに流れる電流は急変することはないので、
i1 (0)  i1 (0) 
E0
E
, i2 (0)  i2 (0)   0
R1
R2
従って、これを代入すると、
L1 L2

R R
t 1 2
R1 R2
i(t ) 
E0e L1  L2
L1  L2
となる。
ところで、前のスライドで求めた i(t) において、t → +0 を考えると、
(L1  L2 )i(0)  L1i1(0)  L2i2 (0)  L1i1(0)  L2i2 (0)
となる。左辺は S を開いた直後における全コイルの鎖交磁束であり、右辺は S を開く
直前における各コイルの鎖交磁束の和である。即ちスイッチを開閉する直前直後にお
いては、全てのコイルについての鎖交磁束の総和は変化しない(鎖交磁束不変の理)
また、 i(0) 
L1i1 (0)  L2i2 (0)
であり、単純に i(0)  i1(0)  i2 (0)
L1  L2
とはならないので注意が必要。
補足)ラプラス変換における初期条件の扱い
1. キャパシタの初期電荷
+ の意味
i(t)
q(0)
C
v(t)
初期電荷 q(0)により発生する電圧
が v(t)と同一方向なら +、逆なら ‒
流れる電流と両端の電圧との関係は、
v(t ) 
1 t
1
i
(
t
)
dt

C 
C
 i(t)dt   i(t)dt C1  q(0)   i(t)dt
0
t
t

0
0
これをラプラス変換すると、


t
1
 q(0) I (s)
￡v(t ) ￡ q(0)   i(t )dt 

0
C
sC
sC
2. コイルの初期電流
流れる電流と両端の電圧との関係は、
i(0)
i(t)
L
v(t )  L
v(t)
di(t )
dt
初期電流 i(0)が i(t)と同一方向なら ‒、逆なら +
これをラプラス変換すると、
￡v(t )  sLI (s)  Li(0)