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電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
ラプラス変換による過渡現象の解析
1. RC直列回路の過渡現象
R
e(t)
E(s)
i(t)
I(s)
q(0)
C
図に示す回路における閉路方程式は、
e(t ) Ri(t )
1
i(t )dt
C
電流 i(t) の積分を、
t
i(t )dt i(t )dt i(t )dt q(0) i(t )dt
ただし、
0
t
t
0
0
0
i(t )dt q(0)
と置く。
両辺をラプラス変換すると、
E(s) RI (s)
1
I (s) q(0)
sC
ただし、I(s) および E(s) は、i(t) および e(t) のラプラス変換である。
q(0) は、t = – ∞ から t = 0 の直前までの間にキャパシタ C に流入した電流を積分
したもの、即ち C に蓄えられた電荷である。
ラプラス変換による過渡現象の解析
I(s) について書き直すと、
q(0)
E ( s)
I ( s)
sC
1
1
R
R
sC
sC
第1項は励振 E(s) に関する項
第2項は初期条件 q(0) に関する項
初期条件として q(0) = 0 (定常状態)を考えると、
I ( s)
E ( s)
E ( s)
1 Z ( s)
R
sC
Z (s) R
1
となり、s を jω で置き換えれば、
sC
Z (s) Z ( j) は回路のインピーダンスであるから、
インピーダンス関数と呼ばれる。
当然その逆数はアドミタンス関数と呼ばれ、
Y ( s)
1
1
Z ( s) R 1
sC
I(s) をラプラス逆変換すれば、電流の瞬時値 i(t) が求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.1.1
S
t=0
R
時刻 t = 0 でスイッチを閉じる場合、電源電圧の
+ と同じ意味過渡関数 e(t) は、単位ステップ関数 u-1(t) を用いて、
e(t ) E0u1 (t )
E0
i(t)
q(0)
C
で与えられる。
従って、 時刻 t = 0 で電圧 E0 を印加する過渡関数波
e(t ) E0u1 (t ) Ri(t )
1
i(t )dt
C
これをラプラス変換すると、
E0 q(0)
q(0)
E
0
E0
I (s) q(0)
1
sC
C
RI (s)
となり、I(s) は、 I (s) s
1
1
s
sC
R
R
s
sC
RC
となる。
これをラプラス逆変換すると、
i(t ) £-1I (s)
q(0)
t
C e RC
R
E0
(t > 0)
となり、微分方程式の直接解法による解と
一致する。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.1.2
i1
S1
C1
時刻 t = 0 で2つのスイッチを同時に閉じる場合、
抵抗 R を流れる電流を求める。ただし、C1, C2 に
は当初、各々電荷 q1, q2 が蓄えられていたとする。
i2
C1-S1-R の閉路に対して、以下の閉路方程式が成り立つ。
S2
q1
C2
q2
1 t
R(i1 i2 ) i1dt q1 0
C1 0
R
C2-S2-R の閉路に対して、以下の閉路方程式が成り立つ。
R(i1 i2 )
1 t
0 i2dt q2 0
C2
これらの式をラプラス変換すると、
R( I1 I 2 )
1
I q 0
sC1 1 1
R( I1 I 2 )
1
I q 0
sC2 2 2
ただし、I1 = L i1、 I2 = L i2 とした。
両式より、I1, I2 を求めると、
I1
sR(C2q1 C1q2 ) q1
sR(C1 C2 ) 1
I2
sR(C1q2 C2q1 ) q2
sR(C1 C2 ) 1
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
従って、抵抗 R を流れる電流 I は、
I I1 I 2
q1 q2
q q
1 2
sR(C1 C2 ) 1 R(C1 C2 ) s
1
1
R(C1 C2 )
となる。
これをラプラス逆変換すると、
q1 q2
i(t )
e R(C1 C2 )
R(C1 C2 )
t
(t > 0)
となる。
スイッチを閉じた直後( t = +0 )での電荷の総量は、スイッチを閉じる直前( t = −0 )
において、各キャパシタが蓄えていた電荷の合計(q1 + q2)に等しいことが分かる。
(電荷量不変の理)
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.1.3
S
t=0
t = 0 の時刻に、e(t)=Emsinωt なる正弦波を印加する
時、回路を流れる電流 i(t) を求める。ただし、C には
当初、電荷 q(0) が蓄えられていたとする。
R
e(t)=Emsinωt i(t)
q(0)
C
e(t ) Em sin t Ri(t )
£sin t
s2 2
1
i(t )dt
C
(t > 0)
(表5.2(11)参照)であるから、
Em
I (s) q(0)
1
q(0)
RI
(
s
)
R
I
(
s
)
s2 2
sC
sC
sC
s
q(0) 1
Em
q(0)
1 Em
R
2
2
1 2
sC
sC
R
CR s CR
s
2
s
s
従って、 I (s)
CR
このラプラス逆変換を求めるにあたり、ラプラス変換表(教科書の表5.2)を用いる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
表5.2(27)にある表関数 f(t) を b →1/τ, τ → RC , a → ω と置き換えて、t について微分
ebt
1
sinat
(27) f (t ) 2
2
2
2
a b a a b
f (t )
e
1
2
1
2
1
e
つまり、
a
b
F (s)
1
t
2
tan
2
Em
df (t )
1
dt
2
2
t
2
1
2
1
cost
2
t
df (t )
1
dt
2
従って、 I (s)
1
sint
e
1
(s b)(s 2 a2 )
1
2
1
cost
2
s
q(0) 1
1 2
R
CR s CR
2
s
s
CR
F ( s)
s
1
(s )(s 2 2 )
をラプラス逆変換すると、
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
1 t
q(0) t
Em e
1
i(t )
cost
e CR
R 2 1
CR
1
2
2
2
1
t
t
Em
E
1
q
(
0
)
CR e CR m
cost
e CR
R 2 1
R
CR
1
2
2
CR
CR2
Em
C
1
R
C 2
2
e
t
CR
q(0) CRt
e
CR
Em
R 2
1
CR2
cost
Em
t
Em
q
(
0
)
C
e CR
cost
1
CR
1
2
R2
R
C 2
C 2
tan CR
t → ∞ で 0 に収束する過渡項 持続する正弦波振動を表わす定常項
と求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
これを図に示すと、
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
キャパシタ C の電荷 q(t) は t > 0 に対して、
q(t ) q(0) i(t )dt
t
0
EmC R
q(0) q(0)
e
2 2 2
1
C
R
2
t
CR
Em
sint sin
1
1
R2
C 2
Em
R
E
t
m
q(0)
e CR
sin t
1
1
2
R2
R
C 2
C 2
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
1. RL直列回路の過渡現象
R
i(0)
e(t)
E(s)
i(t)
I(s)
L
図に示す回路に流れる電流 i(t) は、
e(t ) Ri(t ) L
di(t )
dt
を解いて求められる。
両辺をラプラス変換すると、
E(s) RI(s) LsI (s) i(0)
ただし、I(s) および E(s) は、i(t) および e(t) のラプラス変換であり、 i(0) は初期電流
である。
i(0) は、厳密には時刻 t = +0 での電流であるので i(+0) とすべきであるが、コイルに
流れる電流は瞬時には変化できないので、時刻 t = −0 での電流 i( −0) とは等しい。
上式より、 I (s)
E(s) Li(0)
R sL
I(s) をラプラス逆変換すれば、電流の瞬時値 i(t) が求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.2.1
S
t=0
時刻 t = 0 でスイッチを閉じる場合、電源電圧の
過渡関数 e(t) は、単位ステップ関数 u-1(t) を用いて、
R
i(0)
E
i(t)
L
e(t ) E0u1 (t ) で与えられる。
スイッチを入れた瞬間(t = 0)の電流はゼロであるから、
E0
RI (s) sLI (s)
s
従って、 I (s)
E0
sR sL
表5.2の(15)を参考にしてこれをラプラス逆変換すると、
R
R
t
t
E0
E0
1
E0 L
E
1 e L 0 1 e L となる。
I (s)
i(t )
より、
R
sR sL L R
L
R
s s
L
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.2.2
S
t=0
t = 0 の時刻に、e(t)=Emsinωt なる正弦波を印加する
時、回路を流れる電流 i(t) を求める。
R
e(t)=Emsinωt i(t)
e(t ) Em sin t Ri(t ) L
L
£sin t
s2 2
di(t )
dt
(表5.2(11)参照)であるから、
Em
RI (s) sLI (s)
s2 2
従って、 I (s)
(t > 0)
L
と置いた。
R
Em
Em
1
1
Em
R
sL
s2 2
L R 2
L 1 2
2
2
s s
s s
L
このラプラス逆変換を求めるにあたり、ラプラス変換表(教科書表5.2)の(27)を用いると、
t
Em e
1
i(t )
sin t
1
L 2
1
2
2
2
tan
L
R
と求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
例 6.2.3
R1
S
i1
L1
t=0
E0
R1
R2
i2
R2
i
L2
L1
L2
左図の回路において、スイッチ S が閉じた状態で、R1 および R2 に定常電流 i1, i2 が
流れている。t = 0 でスイッチを開くと、右図のような回路となり、電流 i が流れるとする。
t > 0 に対して閉路方程式は、
R1 R2 i L1 di L2 di 0
となる。この式をラプラス変換すると、
dt
dt
R1 R2 I (s) L1sI (s) i1(0) L2sI (s) i2 (0) 0 となり、ラプラス逆変換すると、
R R
L1i1 (0) L2i2 (0) t L11 L22
i(t )
e
L1 L2
と電流が得られる。
ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例)
コイルに流れる電流は急変することはないので、
i1 (0) i1 (0)
E0
E
, i2 (0) i2 (0) 0
R1
R2
従って、これを代入すると、
L1 L2
R R
t 1 2
R1 R2
i(t )
E0e L1 L2
L1 L2
となる。
ところで、前のスライドで求めた i(t) において、t → +0 を考えると、
(L1 L2 )i(0) L1i1(0) L2i2 (0) L1i1(0) L2i2 (0)
となる。左辺は S を開いた直後における全コイルの鎖交磁束であり、右辺は S を開く
直前における各コイルの鎖交磁束の和である。即ちスイッチを開閉する直前直後にお
いては、全てのコイルについての鎖交磁束の総和は変化しない(鎖交磁束不変の理)
また、 i(0)
L1i1 (0) L2i2 (0)
であり、単純に i(0) i1(0) i2 (0)
L1 L2
とはならないので注意が必要。