Transcript トーラス構築法による銀河系 力学構造の決定（その1）

アストロメトリデータによ
る力学構造の構築方法
国立天文台
２００７年９月２０日
上田晴彦（秋田大学）
はじめに
JASMINE (Japan Astrometry Satellite
Mission for Infrared Exploration)
日本の赤外線探査による位置天文衛星計画
⇒実現されれば、銀河バルジ程度までの距離
を正確にきめることが出来る。
銀河系内のかなりの部分の星の位置、速度情報を
含むアストロメトリデータ
⇒ 銀河系の力学構造を決定することが出来る？
（⇒銀河系・銀河形成史の研究に発展）
しかし、力学構造の決定は簡単ではない。
本日はその概要について紹介
銀河系力学構造の決定方法
銀河系の力学構造を決定するとは、どういうことか？
⇔ 銀河系の構成要素の位相分布関数を求める
f ( x, y, z, vx , vy , vz , t )
銀河系は定常状態であると仮定
⇒ 位相分布関数は６次元になる。
f ( x, y, z, vx , vy , vz )
アストロメトリデータは2次元的位置、天体までの
距離、固有運動、および視線速度
⇒観測された星の６次元位相分布関数はわかる。
観測できるのは、重力物質のごく一部（暗い星、
ダークマターに関する情報はなし）
欲しいのは銀河系を構成する全ての重力物質の
位相分布関数。
重力物質の位相分布関数
≠観測された星の位相分布関数
どうすればよい？
何らかの方法で、擬似的な星の位相分布関数のテン
プレート（雛形）をつくる。（多数作成しておく）
⇔ 観測結果と比較
最もよく合うものを
探し出す。
銀河系力学構造の構築法（概略）
１）重力ポテンシャル（ハミルトニアン）の形状を仮定
２）仮定されたHをもとに、重力物質の位相分布関数
を作成（本日の話の中心）。
３）２）をもとに、擬似的な星の位相分布関数を作成。
４）観測結果と（３）を比較し、銀河系の
重力ポテンシャルおよび位相分布関数を決定。
銀河系の重力ポテンシャルを仮定
logarithmic potentialなど
（Three-dimensional Triaxial Potentialの例）


2
2
1 2
1
y
z
  px  py2  pz2  log( x2  2  2  Rc2 )
2
2
q1 q2
Rｃ， ｑ１， ｑ２は定数
（現在、どのようなものがよいか探索中）
重力物質の位相分布関数の作成
先に仮定したポテンシャルのもとで、位相分布関
数をつくる。
通常の位相分布関数は変数が多すぎる。
f ( x, y, z, vx , vy , vz )
何とか変数の数を減らせないだろうか？
⇒ 強いジーンズの定理により可能
変数を減らす
我々の銀河は定常状態にあると仮定
⇒ その星の軌道のほとんどは規則軌道と考えら
れる。
強いジーンズの定理
位相分布関数は３つの孤立積分量のみの関数
となる。
f(I1,I2,I3 )
このようなことは、日常的にもよくあること。
例1）適当な座標系を取る
⇒ 自由度の数を減らせる
例2）自宅を建設する
（家：３次元的物体）
⇒ ２次元情報（設計図）で記述できる。
ジーンズの定理の弱点
周期的な系では、孤立積分量として作用変数を考え
ると都合が良い。
J
1
2
 pdq
（Galactic Dynamics: Binney ＆ Tremaine 1987）
⇒ f(J1,J2,J3 )
ジーンズの定理を使うと、与えられたポテンシャルの
もとで位相分布関数のテンプレート作りが
楽になる。
作用変数Jとｘ、ｖとの関係がわかっている場合
のみ以下の読み替えが可能
f (J1, J2 , J3 )  f (x, y, z, vx , vy , vz )
しかし一般には作用変数J(x,ｖ)をｘ、ｖで解析的に書く
ことができない。
⇒ 観測から得られる位相分布関数と比較不可能
⇒ トーラス構築法・トーラス当てはめ法
例外的にJがｘ、ｖの関数系として求まり、
ジーンズの定理が有用となる場合。
A）調和振動子型
0 
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
Px  Py  Pz  x x  y y  z z
2
2
2
2
2
2
B）Isochrone型（ケプラー型）
1 2 P2
L2z
k
0  Pr  2  2

2
2r
2r cos2  b  b2  r 2
この２つの場合が、鍵となる
例） 調和振動子型の場合
xi 
2J i
i
sin i
vi  2Jii cosi
（ｘ、ｖ）が（J、θ）で表現できる。
⇒ 読み替えが自由に出来る。
星の軌道とトーラス
Three-dimensional Triaxial Potential のもとで
の星の軌道は、かなり複雑
コア内部では box orbit
コア外部では box orbit + tube orbit
⇒ 位相空間内では単純
（３次元トーラス上を動く）

1 2
x  p E
2
2
2
トーラス構築法
Torus Construction （McGill & Binney 1990）
一般の系（ポテンシャル）のもとでの作用変数 J’
理想的な場合（J ＝ J（ｘ、ｖ））と、母関数によって数
値的に結びつける。
⇒ J’ ＝ J’ （J） ＝ J’ （ｘ、ｖ）
任意の系で、J’が（ｘ、ｖ）の関数として求まる
用意するもの
A）Targetハミルトニアン（一般的な系）
銀河系の重力ポテンシャルを表現する
ハミルトニアン。作用・角変数は（J’、θ’）
B）Toyハミルトニアン（理想的な系）
作用・角変数（J、θ）が (x,v) の関数として解析
的に書き下すことが出来るもの。
⇒ 具体的には調和振動子型または
ケプラー型のハミルトニアン。
J’をJに結びつける手法（母関数Sの決定方法）
１） ある一定値をもつ J’を用いて、 （ J’,θi）の
ペアを多数作成。
２） 仮の母関数を用いて 各ペアについてエネル
ギーを求める。
（ J’,θi） ⇒ （ J,θi） ⇒（ｘ、ｖ）⇒E
３） Eの分散値χが小さくなるように、母関数を
修正する。
1
2
  (Ei  E )
n i
トーラス当てはめ法へ
トーラス構築法がうまく働くためには、様々な技巧
的措置が必要。
⇒ このままの形では、３次元ポテンシャルに適用
が困難。
Torus fitting method (Tゼミグループ）
原理
位相空間内のトーラス情報を利用して、母関数を
求める。（エネルギーの分散値というスカラー量で
はなく、幾何学的な情報を利用。）
現時点では、２次元ポテンシャルの場合にはうまく
いくことを確かめた。
⇒ ３次元ポテンシャルの場合を研究中
今後の作業
ここまでの議論でJ’⇔(x,v)が求まる。
今後の作業
J’を使って、重力物質のモデル位相分布関数
f(J1,J2,J3 )を作成
これをもとに擬似的な星の位相分布関数の
テンプレートを多数作成。
fstar(x,y,z, vx, vy, vz )
アストロメトリデータと比較し、もっとも一致するモデ
ルを決定。
fstar(x,y,z, vx, vy, vz )⇔fobs(x,y,z, vx, vy, vz )
このあたりについては、まだ手がついていない状態
⇒今後も作業を続け、力学構造の決定までこぎつ
けたいと考えている。