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バリアオプションの価格公式
バリアオプションの価格公式
発表の流れ
バリアオプションとは
実際の例
価格計算公式の導出
価格計算の例
岩田 将平
矢野 雅俊
若林 尚貴
バリアオプションとは
バリアオプション
最も簡単な経路依存型オプションの一つ．
満期までの間に原資産価格がある設定価格（バリ
ア価格）に達したかどうかに因って権利が発生
（または消滅）する．
通常のオプション価格よりも安価となるため
投資家にとって魅力的な商品となる．
バリア価格
T
バリアオプションの分類
ノックアウト or ノックイン
原資産価格が満期までの間に1度でもバリア価格に達すると，オプ
ション契約の権利が消滅するものをノックアウトオプションといい，
バリア価格に1度も至らなかった場合のみ約定に即した取引が行わ
れる．逆に原資産価格がバリア価格に到達して初めてオプション契
約の権利が発生するものをノックインオプションという．
アップ or ダウン
原資産価格がバリア価格に下から上に向かって達するアップ
逆に上から下に向かって達するダウンがある．
上記の組み合わせによってバリア・オプションはダウン・
アンド・アウトコール，アップ・アンド・インプットなど，
全部で8種類ある．
バリアオプションの実際の例
ダウン･アンド･アウトプットオプションの例
現在の原資産価格S=110円/$，行使価格K=108円/$，バリア価格
100円/$ の円-$通貨プットオプションの場合．
現在の為替レート110円/$から円高が進み、将来108円/$を超えるが
100円/$を超えない範囲での円高を予想する投資家にとっては通常
のオプションより安く買うことができるので魅力的な商品となる．
しかし予想以上に円高が進み100円/$を超えた場合には権利が消滅
してしまうというリスクも負うことになる．
原資産価格 110円
行使価格 108円
バリア価格 100円
T
価格計算公式の導出1
ダウン・アンド・アウトコールの場合
ブラック･ショールズのオプション価格公式
V V
1 2V 2 2

rS 
 S  rV  0
2
t S
2 S
ただし、定義域は次のようになる．
0,T   B, )
また、境界条件、初期条件としては
V  B, t   0
V  S,T   max  S  K,0
0,T  0, )
価格計算公式の導出2
以下の変数変換により、式を変形する．
2 2
S
1
r


 x  
x  log ,  T  t ,V  e
U ,    2 ,  
r
B
2 
2
ブラック･ショールズ方程式は熱伝導方程式に変形される．
U  2 2U


2 x2
境界条件、初期条件は

U  0,   0

x
 x
U
x
,0

max
be

1
e
K ,0








価格計算公式の導出3
 1
 1







S 
S 
r T t  
V  S, t   S   d1       d3   Ke

d


d





2
4 


B
B
 
 








 2 
  r   T  t 
2 

d

, d2  d1   T  t
ただし、 1
 T t
2
S
2
S
2r
d3  d1 
ln , d4  d2 
ln ,    2

 T t B
 T t B
S
ln
K
ブラック･ショールズのヨーロピアンオプションの
価格を VE  S, t  とするとバリアオプションの価格は
 1
S 
V  S , t   VE  S , t    
B
 B2 
VE  , t 
 S 
価格計算の例
バリアを考えていない場合
S0  100,  0.3, r  0.1
価格計算の例1
バリア B=50 の場合
S0  100,  0.3, r  0.1
価格計算の例2
バリア B=90 の場合
S0  100,  0.3, r  0.1
価格計算の例3
満期 T=1.0 でバリアを変化させた場合
価格計算の例3 V vs B
K=60の場合
S0  100,  0.3, r  0.1