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特別講義 II (c) － 計算ファイナンスの基礎 － 2009年10月21日 山本有作 はじめに 数理ファイナンスにおける課題 金融取引（株式売買，為替取引，融資など）に伴うリスク を数学モデルにより定量的に求めてその低減を図り，効 率的に利益を得る方法を追求する。 実際の問題では，解析的に解を求めることが困難な場合 が多い。 数値計算により解を求める計算ファイナンスが重要 計算ファイナンスのテーマ 資産価格のモデル化 株価，為替レート，金利などはどのように時間変化するか。 その統計的な法則を調べ，モデル化する。 デリバティブの設計・価格計算 市場変動による損失を回避するための，デリバティブ（金 融派生証券）と呼ばれる商品群がある。 デリバティブを設計し，その経済学的に妥当な価格を計算 する。 計算ファイナンスのテーマ リスク管理 金融取引に伴う様々なリスクを定量的に評価 市場リスク： 資産価格の変動による損失の可能性 信用リスク： 貸し倒れによる損失の可能性 資産運用最適化 様々な種類の資産（株式，国債，外貨など）を組み合わせ ることにより，最小限のリスクで最大限の利益を得られる 運用方法を求める。 授業の目標 代表的なデリバティブであるオプションについて学ぶ。 資産価格のモデル化とシミュレーションの技法について学ぶ。 上記を用いてオプションの価格計算を行う。 授業の構成 第１章 オプションとは 市場変動によるリスク オプションによるリスク回避 様々なオプション オプションの価格計算： 1期間2項モデル 第２章 確率論の基礎 ブラウン運動 ブラウン運動から生成される確率過程 確率微分方程式 授業の構成 第３章 ブラック・ショールズの資産価格モデル 安全資産のモデル 危険資産のモデル 伊藤の公式 資産価格モデルの解析解 第４章 ブラック・ショールズの偏微分方程式 ブラック・ショールズの偏微分方程式 ブラック・ショールズのオプション価格公式 授業の構成 第５章 差分法によるオプション価格計算 問題設定 陽的差分法 陰的差分法 演習課題 参考書 今野浩： 「金融工学の挑戦」，中公新書，2000. P. Wilmott, S. Howison and J. Dewynne （伊藤 幹夫，戸瀬信之訳）： 「デリバティブの数学入門」， 共立出版，2002. P. Wilmott, J. Dewynne and S. Howison： “Option Pricing”，Oxford Financial Press, 1993. 森真： 「なっとくする数理ファイナンス」，講談社， 2001. 連絡先 山本有作 居室： 工学部本館 C3-201-1 Email： [email protected] 電話： 内線6342 株価の時間変化の例 トヨタの株価 2008年1月～2009年10月の22ヶ月間 為替レートの時間変化の例 ドル／円の為替レート 2008年1月～2009年10月の22ヶ月間 株価・為替レートデータの入手先 Yahoo! ファイナンス http://finance.yahoo.co.jp/ 最大10年間のグラフが見られる。 １. オプションとは オプションとは 将来のある時点で，特定の価格で金融商品を売買する権利 対象となる金融商品： 株式，債券，外貨，etc オプションの例 １年後にトヨタの株を3500円で売却する権利 --- プットオプション ３ヵ月後に１ドルを120円で購入する権利 --- コールオプション 資産価格 St ST – K > 0 : 権利を行使 ST – K 円の利益 行使価格 K ST – K < 0 : 権利を行使しない。 （市場で購入したほうが得） 満期 T 時間 t オプションから得られる利益（ペイオフ） プットオプション ペイオフ ペイオフ = max (K – ST , 0) K 0 K 満期での資産価格 ST コールオプション ペイオフ K 0 ペイオフ = max (ST – K, 0) K 満期での資産価格 ST １. オプションとは オプションの用途 将来のキャッシュフローを現時点で確定させる。 これにより，市場変動によるリスクを回避する。 例： コールオプションによる為替リスクの回避 ３ヵ月後に，ある原材料をアメリカから輸入したい。 購入代金は，その時点にならないと用意できない。 しかし予算は １ドル = 90円 を前提として組んでおり，万一３ヵ月後の 時点で円が大きく下がっていると，赤字となる。 満期 T = ３ヶ月，行使価格 K = 90円 のドルのコールオプションを購 入することにより，為替リスクを回避可能。 １. オプションとは オプションの種類 ヨーロピアンオプション 満期Tにおいてのみ権利行使が可能なオプション 前のスライドで説明したオプションはこのタイプ。 St この時点でのみ行使可能 K アメリカンオプション T t 満期Tまでの間のいつでも権利行使が可能なオプション 市場で取引されるオプションの大多数はこのタイプ。 St 価格が下落して権利が無駄に なりそうだと予測すれば， の 時点で行使可能 K T t この期間にいつでも行使可能 １. オプションとは オプションの種類（続き） バリアオプション 資産価格がある範囲を越えた場合に権利が無効になるオプション ヨーロピアンタイプ，アメリカンタイプの両方がある。 St バリアレベル の時点でオプション無効化 K ルックバックオプション T t 満期Tにおいて，期間 [0, T] 中の最安値で資産を購入できるオプション St の時点での価格で購入可 K T t １. オプションとは オプション市場の拡大 国内のデリバティブ市場は420億ドル規模（日銀調査による） オプションの多様化 金融以外の商品に対するオプション 原油，銅，大豆，etc 天候デリバティブ リアルオプション 事業価値，特許価値などの評価 ２. オプションの価格評価 オプションの価格 オプションの買い手： 自分が利益を得られる場合にのみ，権利行使。 オプションの売り手： 自分が損する場合でも，行使価格で商品を売る （買う）義務がある。 オプション契約が成立するには，買い手が売り手に対し，代価（= オプ ションの価格）を支払う必要あり。 オプションの価格評価 経済学的に妥当なオプションの価格を求める。 本講義の主題 オプション価格の例 IBM株に対するオプション（2004年４月満期） ブラウン運動のシミュレーション [0,1]を1000分割した計算 ドリフトを持つブラウン運動 2 1.5 1 0.5 系列2 系列3 系列4 0 1 -0.5 -1 -1.5 1001 幾何ブラウン運動 (1) μ=0.05，σ=0.2 200 180 160 140 120 系列2 系列3 系列4 100 80 60 40 20 0 1 1001 幾何ブラウン運動 (2) μ=0.2，σ=0.3 200 180 160 140 120 系列2 系列3 系列4 100 80 60 40 20 0 1 1001 BS公式で計算したオプション価格 ヨーロピアン・コールオプション S0 = 100，r = 0.1，σ = 0.3 横軸は行使価格 K，縦軸はオプション価格 120 T=0 T=0.25 T=0.5 T=0.75 T=1.0 100 80 60 40 20 0 K 98 198 陽的差分法で計算したオプション価格 ヨーロピアン・コールオプション，K = 100，r = 0.1，σ = 0.3 横軸は初期資産価格 S0，縦軸はオプション価格 xmax= 5.0，N = 200，M = 150 120 T=1.0 T=0.5 T=0 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 陽的差分法で計算したオプション価格 ヨーロピアン・コールオプション，K = 100，r = 0.1，σ = 0.3 横軸は初期資産価格 S0，縦軸はオプション価格 xmax= 5.0，N = 210，M = 150 T=1.0 400000 300000 T=1.0 200000 100000 0 0 -100000 -200000 -300000 -400000 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 陰的差分法で計算したオプション価格 ヨーロピアン・コールオプション，K = 100，r = 0.1，σ = 0.3 横軸は初期資産価格 S0，縦軸はオプション価格 xmax= 5.0，N = 210，M = 150 120 T=1.0 T=0.5 T=0 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 陰的差分法とクランク-ニコルソン法の精度の比較 前記と同じオプションで S0 = 100，T = 1.0 とした 場合の価格 時間方向の分割数 M を 変えたときの両解法の 精度をプロット N = 10M と設定 1 1 10 0.1 0.01 0.001 0.0001 Implicit FDM Crank Nicolson 0.00001 0.000001 100 1000 プログラムのページ http://www.na.cse.nagoya-u.ac.jp /~yamamoto/programs.html 内容 ブラウン運動のシミュレーション ブラック-ショールズ公式によるオプション価格計算 差分法によるオプション価格計算 オプション価格の計算例 バリアオプション オプション価格の収束 バリアオプション