Transcript 場の発散
場の発散（ダイバージェンス） 力線の強さ：流線（フラックス）の流量に相当する。 力線と法線ベクトルの内積はその領域 内のフラックス量になる。 F 力線（接線ベクトル） F・ｄａ=|F||d a|cosθ d a 法線ベクトル COSθ=1 体積：Ｖ COSθ=0 COSθ=1/2 F・ｄａ=|F||d a| F・ｄａ=|F||d a|/２ 表面積：Ｓ 軌跡 F・ｄａ=0 の立体発散する全フラックスの量をΦとする Ｆ d ｖ a ｖ1 S1 Ｄ S S2 = Ｆ ･da S ｖ2 Ｆ ･ d a 1 + S 1 Ｆ ･ d a 2 S 2 境界Dで2分するとそれぞれの 面積分の和となる 境界Ｄにおける積分の和はゼロ Ｖ２側の法線ベクトル d a2 d a1Ｖ１側の法線ベクトル Ｆ Ｄ 二本の法線ベ クトルは大き さが同じで向 きが逆なので その和はゼロ となる。 非常に多く分割してもΦの大きさは変わらない。 N F da s i 1 s F da i i 分割した要素は、分割すればするほど小さくなる。 si F da i その体積Ｖｉも小さくなる。面積分と体積の比を求め ると同時に小さくなっていくので収束する。 s F da Vi Vi i i 体積を限りなくゼロに近づけると、面Ｓは点と見なされる。 その点の近傍のベクトル関数Ｆに特異な性質となる。 これをＦの発散(divergence)という。 divF lim lim 1 F da Si i V 0V Vi 0 V i i i Ｖi から流れ出す単位体積当たりのフラックスの 無限小の極限値。 デカルト座標における発散 通過する流線 湧き出す流線 通過する流線は出た本数から入った本数を引けば必ずゼロになる。 湧き出す流線は出て行くだけなので、必ずプラスになる。 n F 力線 n F 法線 平面から出る流線は力線Ｆと 法線の内積はプラスとなる。 平面に入り込む流線は力線Ｆと 法線の内積はマイナスとなる。 zˆxy F FZ z z FZ y x y F zˆxy xy平面を通過するフラク スはＦの z成分のみ 上面でのFzと下面 Fzとの差が積分に寄与する。 面を通過するフラック ス Fzは ［面積］ ［平均値］ x (x x 2 y y 2 , z z) 微少区間では関数は直線近似できる。 平均値は面の中心となる。 下面でのFzの平均値は 点(x, y, z)を立方体の基点とする 。その点での フラックスの Z成分はFz (x, y, z)となる。 まず, x方向の変化分は Fz ［ Fzの変化率］［距離］ ［ ］［ x ］ x 2 次に、 y方向の変化分は x y Fz y ( x y , z) ［ F の変化率］ ［距離］ ［ ］［ ］ z 2 2 y 2 ［平均値］ ［基点での大きさ（ベ クトル）］＋［ x軸方面の変化］［ y軸方面の変化］ F F ［平均値］ 下面 Fz (x, y, z) x z y z 2 x 2 y (x, y, z) 上面でのFzの平均値は［ Z軸方向の変化］を加え る F y Fz ［平均値］ 上面 Fz (x, y, z) x z 2 x 2 y Fzの上面と下面での平均値の差は ［平均値］ ［平均値］ 上面 ［平均値］ 下面 Fz (x, y, z) F x Fz y Fz z z 2 x 2 y z F y Fz Fz (x, y, z) x z 2 x 2 y Fzの総量はそれに面積xyをかける Fz xyz Fz z 同様にFx、 Fyについても求全成分について書くる F Fx xyz x x Fy Fy xyz x F Fz xyz z z 小さな直方体から出て 行くフラックスの総 F F y Fz xyz( x ) v( F ) v divF x y z テイラー展開 スカラー関数 Fxのx近傍でのテイラー展開 は 1 Fx (x a, y b, z c) Fx (x, y, x) (a b c )Fx ...... ( x y z n! )n Fx .......... ガウスの発散定理 divF lim 1 F da Si i Vi 0Vi Viの無限小なので dvとなる divFdv F da Si i vdivFdv F dai Si 閉じた空間を通過・湧き出し・吸い込みする フラックスがあったとき 体積xyzを通過するフラックス を とし、 その体積を無限にまで小さくした極値を divFとする。 全体積で積分しても、隣り合う面は それぞれ相殺しあうので 結果表面を積分したことと同じとなる