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二分木説明
点Cの座標を求めよ。

1


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二分木とは
C
rAB
θ
B
θ

D

A

任意の2点A，Bが与えられて
線分BC，BDに対しても同様の2点を確定していく。
線分ABの延長方向に角θ，－θほど分かれた方向に
ABのｒ倍の長さの線分を引きその先端をC,Dとする。
これを繰り返すとき，できる図形を二分木という。
任意の角θ と任意の比率ｒが与えられると
2


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（１）B(0,0) BC=r x軸とBCのなす角θ
C

r
B

r sinθ

θ
r cosθ
C( r cosθ , r sinθ )

r
θ

y

x

y
sinθ＝－
r
x
cosθ＝－
r
3


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（２） A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
B

r sinθ

θ
r cosθ
C( r cosθ , r sinθ )
4


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（２） A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
A

1

B

r sinθ

θ
r cosθ

C( 1 + r cosθ , r sinθ )
5


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(３)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C
P

y
αβ
O

x

OPがｘ軸となす角
をβ とすると
P
y
O βx

OC cos(α＋β) , OP
OC sin(α＋β)
sin(α＋β) ))
C( OP
6


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(３)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C(OP cos(α＋β) , OP sin(α＋β) )
OPcos(α+β)=

cosαcosβ- OPsinαsinβ

OPcos(α+β)=OPcosαcosβ- OPsinαsinβ

OPcos(α+β)=cosαOPcosβ- sinαOPsinβ

x
cosβ=
OP

y
ここで
sinβ=
OP
を代入すると

OPcos(α+β)= cosα
OPcos(α+β)=

x

x cosα

- sinα

y

- y sinα

7


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(３)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C(OP cos(α＋β) , OP sin(α＋β) )
OPsin(α+β)= sinαcosβ+ OPcosαsinβ
OPsin(α+β)=OPsinαcosβ+ OPcosαsinβ
OPsin(α+β)=sinαOPcosβ+ cosαOPsinβ

y
ここで
sinβ=
OP
を代入すると
OPsin(α+β)=sinα

OPsin(α+β)= x sinα

x
cosβ=
OP

x

+ cosα
+ y cosα

y
8


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(３)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C
P

y
αβ
O

x

C(OP cos(α＋β) , OP sin(α＋β) )

C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
9


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(３例題)点P(３,１)を原点Oの周りに
３０°ほど回転した点Cを求めよ
C
P

１
30°
O

３

C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
C(

３√３－１
２

,

３＋√３
２

)

10


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（２） A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
A

1

B

r sinθ

θ
r cosθ

C( 1 + r cosθ , r sinθ )
11


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（４） A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α，BCのなす角θ

α
P( 1 + r cosθ , r sinθ )をαほど回転した点
P( 1 + r cosθ , r sinθ )を（３）に代入した点

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（４） A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α，ABとBCのなす角θ
(2) P( x , y )= P( 1 + r cosθ , r sinθ ) を

（３）C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
に代入する
ｘ＝ 1 + r cosθ
ｙ＝ r sinθ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )
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（５） と（４）の関係
y

ky

C

1

k

ｋ倍に拡大

x
C( x , y )
ky+y0
A

y0

C

A

C

k

A

x0
kx+x0
C( kx+x0 , ky+y0 )

kx
C( kx , ky )
平行移動

14


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(4)
y1－y0
sinα=
AB
x1－x0
cosα=
AB
(5) y1
y0

15

x0

x1

15


Slide 16

（４） A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α，ABとBCのなす角θ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )

（5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
(4)の答をAB倍してからx軸方向にx0，y軸方
向にy0ほど平行移動すればよい。
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
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Slide 17

（４） A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α，ABとBCのなす角θ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )

（5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
(4)の答をAB倍してからx軸方向にx0，y軸方
向にy0ほど平行移動すればよい。
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
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Slide 18

（5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ

C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
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Slide 19

（5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
C( (1 + r cosθ ) AB cosα- r sinθ ABsinα+ x0,
(1 + r cosθ ) ABsinα+ r sinθ ABcosα+ y0 )

y1－y0
sinα=
AB

x1－x0
cosα=
AB
19

C( (1 + r cosθ )(x1－x0) - r sinθ(y1－y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1－y0)+ r sinθ(x1－x0)+ y0 )
19


Slide 20

（5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
C( (1 + r cosθ ) AB cosα- r sinθ ABsinα+ x0,
(1 + r cosθ ) ABsinα+ r sinθ ABcosα+ y0 )

y1－y0
sinα=
AB

x1－x0
cosα=
AB
20

C( (1 + r cosθ )(x1－x0) - r sinθ(y1－y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1－y0)+ r sinθ(x1－x0)+ y0 )
20


Slide 21

（５） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C( (1 + r cosθ )(x1－x0) - r sinθ(y1－y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1－y0)+ r sinθ(x1－x0)+ y0 )
C((x1－x0)(1 + r cosθ ) - (y1－y0)r sinθ + x0,
(y1－y0) (1 + r cosθ ) + (x1－x0) r sinθ+ y0 )

21

21


Slide 22

（５） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C((x1－x0)(1 + r cosθ ) - (y1－y0)r sinθ + x0,
(y1－y0) (1 + r cosθ ) + (x1－x0) r sinθ+ y0 )

y1
y0

22

x0

x1

22


Slide 23

（５） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C( (1 + r cosθ )(x1－x0) - r sinθ(y1－y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1－y0)+ r sinθ(x1－x0)+ y0 )
C((x1－x0)(1 + r cosθ ) - (y1－y0)r sinθ + x0,
(y1－y0) (1 + r cosθ ) + (x1－x0) r sinθ+ y0 )

y1
y0

23

x0

x1

23


Slide 24

（問） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=BD=rAB ,
ABとBC，BDのなす角θ
C((x1－x0)(1 + r cosθ ) - (y1－y0)r sinθ + x0,
(y1－y0) (1 + r cosθ ) + (x1－x0) r sinθ+ y0 )
D((x1－x0)(1 + r cos(-θ)
- 1(y
1－y
sin(-θ)
cosθ ) +) (y
－y
0)r0)r
sinθ
+ x0, + x0,
(y1－y0) (1 + r cos(-θ)
+ 1(x
1－x
r sin(-θ)+
cosθ ) -) (x
－x
0) 0
r) sinθ+
y0 ) y0 )
cos(-θ) = cos θ

y1
y0

sin(-θ) = -sin θ

x0

x1

24