二分木説明 点Cの座標を求めよ。 二分木とは C rAB θ B θ D A 任意の2点A,Bが与えられて 線分BC,BDに対しても同様の2点を確定していく。 線分ABの延長方向に角θ,-θほど分かれた方向に ABのr倍の長さの線分を引きその先端をC,Dとする。 これを繰り返すとき,できる図形を二分木という。 任意の角θ と任意の比率rが与えられると (1)B(0,0) BC=r x軸とBCのなす角θ C r B r sinθ θ r cosθ C( r cosθ , r sinθ ) r θ y x y sinθ=- r x cosθ=- r.
Download ReportTranscript 二分木説明 点Cの座標を求めよ。 二分木とは C rAB θ B θ D A 任意の2点A,Bが与えられて 線分BC,BDに対しても同様の2点を確定していく。 線分ABの延長方向に角θ,-θほど分かれた方向に ABのr倍の長さの線分を引きその先端をC,Dとする。 これを繰り返すとき,できる図形を二分木という。 任意の角θ と任意の比率rが与えられると (1)B(0,0) BC=r x軸とBCのなす角θ C r B r sinθ θ r cosθ C( r cosθ , r sinθ ) r θ y x y sinθ=- r x cosθ=- r.
Slide 1
二分木説明
点Cの座標を求めよ。
1
Slide 2
二分木とは
C
rAB
θ
B
θ
D
A
任意の2点A,Bが与えられて
線分BC,BDに対しても同様の2点を確定していく。
線分ABの延長方向に角θ,-θほど分かれた方向に
ABのr倍の長さの線分を引きその先端をC,Dとする。
これを繰り返すとき,できる図形を二分木という。
任意の角θ と任意の比率rが与えられると
2
Slide 3
(1)B(0,0) BC=r x軸とBCのなす角θ
C
r
B
r sinθ
θ
r cosθ
C( r cosθ , r sinθ )
r
θ
y
x
y
sinθ=-
r
x
cosθ=-
r
3
Slide 4
(2) A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
B
r sinθ
θ
r cosθ
C( r cosθ , r sinθ )
4
Slide 5
(2) A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
A
1
B
r sinθ
θ
r cosθ
C( 1 + r cosθ , r sinθ )
5
Slide 6
(3)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C
P
y
αβ
O
x
OPがx軸となす角
をβ とすると
P
y
O βx
OC cos(α+β) , OP
OC sin(α+β)
sin(α+β) ))
C( OP
6
Slide 7
(3)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C(OP cos(α+β) , OP sin(α+β) )
OPcos(α+β)=
cosαcosβ- OPsinαsinβ
OPcos(α+β)=OPcosαcosβ- OPsinαsinβ
OPcos(α+β)=cosαOPcosβ- sinαOPsinβ
x
cosβ=
OP
y
ここで
sinβ=
OP
を代入すると
OPcos(α+β)= cosα
OPcos(α+β)=
x
x cosα
- sinα
y
- y sinα
7
Slide 8
(3)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C(OP cos(α+β) , OP sin(α+β) )
OPsin(α+β)= sinαcosβ+ OPcosαsinβ
OPsin(α+β)=OPsinαcosβ+ OPcosαsinβ
OPsin(α+β)=sinαOPcosβ+ cosαOPsinβ
y
ここで
sinβ=
OP
を代入すると
OPsin(α+β)=sinα
OPsin(α+β)= x sinα
x
cosβ=
OP
x
+ cosα
+ y cosα
y
8
Slide 9
(3)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C
P
y
αβ
O
x
C(OP cos(α+β) , OP sin(α+β) )
C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
9
Slide 10
(3例題)点P(3,1)を原点Oの周りに
30°ほど回転した点Cを求めよ
C
P
1
30°
O
3
C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
C(
3√3-1
2
,
3+√3
2
)
10
Slide 11
(2) A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
A
1
B
r sinθ
θ
r cosθ
C( 1 + r cosθ , r sinθ )
11
Slide 12
(4) A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α,BCのなす角θ
α
P( 1 + r cosθ , r sinθ )をαほど回転した点
P( 1 + r cosθ , r sinθ )を(3)に代入した点
12
Slide 13
(4) A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α,ABとBCのなす角θ
(2) P( x , y )= P( 1 + r cosθ , r sinθ ) を
(3)C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
に代入する
x= 1 + r cosθ
y= r sinθ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )
13
Slide 14
(5) と(4)の関係
y
ky
C
1
k
k倍に拡大
x
C( x , y )
ky+y0
A
y0
C
A
C
k
A
x0
kx+x0
C( kx+x0 , ky+y0 )
kx
C( kx , ky )
平行移動
14
Slide 15
(4)
y1-y0
sinα=
AB
x1-x0
cosα=
AB
(5) y1
y0
15
x0
x1
15
Slide 16
(4) A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α,ABとBCのなす角θ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
(4)の答をAB倍してからx軸方向にx0,y軸方
向にy0ほど平行移動すればよい。
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
16
Slide 17
(4) A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α,ABとBCのなす角θ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
(4)の答をAB倍してからx軸方向にx0,y軸方
向にy0ほど平行移動すればよい。
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
17
Slide 18
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
18
Slide 19
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
C( (1 + r cosθ ) AB cosα- r sinθ ABsinα+ x0,
(1 + r cosθ ) ABsinα+ r sinθ ABcosα+ y0 )
y1-y0
sinα=
AB
x1-x0
cosα=
AB
19
C( (1 + r cosθ )(x1-x0) - r sinθ(y1-y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1-y0)+ r sinθ(x1-x0)+ y0 )
19
Slide 20
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
C( (1 + r cosθ ) AB cosα- r sinθ ABsinα+ x0,
(1 + r cosθ ) ABsinα+ r sinθ ABcosα+ y0 )
y1-y0
sinα=
AB
x1-x0
cosα=
AB
20
C( (1 + r cosθ )(x1-x0) - r sinθ(y1-y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1-y0)+ r sinθ(x1-x0)+ y0 )
20
Slide 21
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C( (1 + r cosθ )(x1-x0) - r sinθ(y1-y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1-y0)+ r sinθ(x1-x0)+ y0 )
C((x1-x0)(1 + r cosθ ) - (y1-y0)r sinθ + x0,
(y1-y0) (1 + r cosθ ) + (x1-x0) r sinθ+ y0 )
21
21
Slide 22
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C((x1-x0)(1 + r cosθ ) - (y1-y0)r sinθ + x0,
(y1-y0) (1 + r cosθ ) + (x1-x0) r sinθ+ y0 )
y1
y0
22
x0
x1
22
Slide 23
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C( (1 + r cosθ )(x1-x0) - r sinθ(y1-y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1-y0)+ r sinθ(x1-x0)+ y0 )
C((x1-x0)(1 + r cosθ ) - (y1-y0)r sinθ + x0,
(y1-y0) (1 + r cosθ ) + (x1-x0) r sinθ+ y0 )
y1
y0
23
x0
x1
23
Slide 24
(問) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=BD=rAB ,
ABとBC,BDのなす角θ
C((x1-x0)(1 + r cosθ ) - (y1-y0)r sinθ + x0,
(y1-y0) (1 + r cosθ ) + (x1-x0) r sinθ+ y0 )
D((x1-x0)(1 + r cos(-θ)
- 1(y
1-y
sin(-θ)
cosθ ) +) (y
-y
0)r0)r
sinθ
+ x0, + x0,
(y1-y0) (1 + r cos(-θ)
+ 1(x
1-x
r sin(-θ)+
cosθ ) -) (x
-x
0) 0
r) sinθ+
y0 ) y0 )
cos(-θ) = cos θ
y1
y0
sin(-θ) = -sin θ
x0
x1
24
二分木説明
点Cの座標を求めよ。
1
Slide 2
二分木とは
C
rAB
θ
B
θ
D
A
任意の2点A,Bが与えられて
線分BC,BDに対しても同様の2点を確定していく。
線分ABの延長方向に角θ,-θほど分かれた方向に
ABのr倍の長さの線分を引きその先端をC,Dとする。
これを繰り返すとき,できる図形を二分木という。
任意の角θ と任意の比率rが与えられると
2
Slide 3
(1)B(0,0) BC=r x軸とBCのなす角θ
C
r
B
r sinθ
θ
r cosθ
C( r cosθ , r sinθ )
r
θ
y
x
y
sinθ=-
r
x
cosθ=-
r
3
Slide 4
(2) A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
B
r sinθ
θ
r cosθ
C( r cosθ , r sinθ )
4
Slide 5
(2) A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
A
1
B
r sinθ
θ
r cosθ
C( 1 + r cosθ , r sinθ )
5
Slide 6
(3)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C
P
y
αβ
O
x
OPがx軸となす角
をβ とすると
P
y
O βx
OC cos(α+β) , OP
OC sin(α+β)
sin(α+β) ))
C( OP
6
Slide 7
(3)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C(OP cos(α+β) , OP sin(α+β) )
OPcos(α+β)=
cosαcosβ- OPsinαsinβ
OPcos(α+β)=OPcosαcosβ- OPsinαsinβ
OPcos(α+β)=cosαOPcosβ- sinαOPsinβ
x
cosβ=
OP
y
ここで
sinβ=
OP
を代入すると
OPcos(α+β)= cosα
OPcos(α+β)=
x
x cosα
- sinα
y
- y sinα
7
Slide 8
(3)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C(OP cos(α+β) , OP sin(α+β) )
OPsin(α+β)= sinαcosβ+ OPcosαsinβ
OPsin(α+β)=OPsinαcosβ+ OPcosαsinβ
OPsin(α+β)=sinαOPcosβ+ cosαOPsinβ
y
ここで
sinβ=
OP
を代入すると
OPsin(α+β)=sinα
OPsin(α+β)= x sinα
x
cosβ=
OP
x
+ cosα
+ y cosα
y
8
Slide 9
(3)点P(x,y)を原点Oの周りに
αほど回転した点C
C
P
y
αβ
O
x
C(OP cos(α+β) , OP sin(α+β) )
C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
9
Slide 10
(3例題)点P(3,1)を原点Oの周りに
30°ほど回転した点Cを求めよ
C
P
1
30°
O
3
C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
C(
3√3-1
2
,
3+√3
2
)
10
Slide 11
(2) A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r ,
x軸とBCのなす角θ
C
r
A
1
B
r sinθ
θ
r cosθ
C( 1 + r cosθ , r sinθ )
11
Slide 12
(4) A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α,BCのなす角θ
α
P( 1 + r cosθ , r sinθ )をαほど回転した点
P( 1 + r cosθ , r sinθ )を(3)に代入した点
12
Slide 13
(4) A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α,ABとBCのなす角θ
(2) P( x , y )= P( 1 + r cosθ , r sinθ ) を
(3)C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )
に代入する
x= 1 + r cosθ
y= r sinθ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )
13
Slide 14
(5) と(4)の関係
y
ky
C
1
k
k倍に拡大
x
C( x , y )
ky+y0
A
y0
C
A
C
k
A
x0
kx+x0
C( kx+x0 , ky+y0 )
kx
C( kx , ky )
平行移動
14
Slide 15
(4)
y1-y0
sinα=
AB
x1-x0
cosα=
AB
(5) y1
y0
15
x0
x1
15
Slide 16
(4) A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α,ABとBCのなす角θ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
(4)の答をAB倍してからx軸方向にx0,y軸方
向にy0ほど平行移動すればよい。
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
16
Slide 17
(4) A(0,0), AB=1 , BC=r ,
x軸とABのなす角α,ABとBCのなす角θ
C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα ,
(1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
(4)の答をAB倍してからx軸方向にx0,y軸方
向にy0ほど平行移動すればよい。
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
17
Slide 18
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
18
Slide 19
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
C( (1 + r cosθ ) AB cosα- r sinθ ABsinα+ x0,
(1 + r cosθ ) ABsinα+ r sinθ ABcosα+ y0 )
y1-y0
sinα=
AB
x1-x0
cosα=
AB
19
C( (1 + r cosθ )(x1-x0) - r sinθ(y1-y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1-y0)+ r sinθ(x1-x0)+ y0 )
19
Slide 20
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0,
AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )
C( (1 + r cosθ ) AB cosα- r sinθ ABsinα+ x0,
(1 + r cosθ ) ABsinα+ r sinθ ABcosα+ y0 )
y1-y0
sinα=
AB
x1-x0
cosα=
AB
20
C( (1 + r cosθ )(x1-x0) - r sinθ(y1-y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1-y0)+ r sinθ(x1-x0)+ y0 )
20
Slide 21
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C( (1 + r cosθ )(x1-x0) - r sinθ(y1-y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1-y0)+ r sinθ(x1-x0)+ y0 )
C((x1-x0)(1 + r cosθ ) - (y1-y0)r sinθ + x0,
(y1-y0) (1 + r cosθ ) + (x1-x0) r sinθ+ y0 )
21
21
Slide 22
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C((x1-x0)(1 + r cosθ ) - (y1-y0)r sinθ + x0,
(y1-y0) (1 + r cosθ ) + (x1-x0) r sinθ+ y0 )
y1
y0
22
x0
x1
22
Slide 23
(5) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB ,
ABとBCのなす角θ
C( (1 + r cosθ )(x1-x0) - r sinθ(y1-y0) + x0,
(1 + r cosθ )(y1-y0)+ r sinθ(x1-x0)+ y0 )
C((x1-x0)(1 + r cosθ ) - (y1-y0)r sinθ + x0,
(y1-y0) (1 + r cosθ ) + (x1-x0) r sinθ+ y0 )
y1
y0
23
x0
x1
23
Slide 24
(問) A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=BD=rAB ,
ABとBC,BDのなす角θ
C((x1-x0)(1 + r cosθ ) - (y1-y0)r sinθ + x0,
(y1-y0) (1 + r cosθ ) + (x1-x0) r sinθ+ y0 )
D((x1-x0)(1 + r cos(-θ)
- 1(y
1-y
sin(-θ)
cosθ ) +) (y
-y
0)r0)r
sinθ
+ x0, + x0,
(y1-y0) (1 + r cos(-θ)
+ 1(x
1-x
r sin(-θ)+
cosθ ) -) (x
-x
0) 0
r) sinθ+
y0 ) y0 )
cos(-θ) = cos θ
y1
y0
sin(-θ) = -sin θ
x0
x1
24