Transcript ブランコ型振り子の研究

ブランコ型振り子の研究
メンバー
梶川知宏 加藤直人 ロッケンバッハ怜
指導教員
藤田俊明
研究目的・研究内容
☆目的☆
１．標準型のブランコ型振り子
の微小回転振動の周期を
ブランコ型振り子の
求める。
回転振動周期
を
２．上部の糸の間隔と微小回
理論的に求め、実
転振動の周期との関係を
験により確認する。
調べる。
３．微小回転振動でない時の
回転角と周期との関係を
調べる。
回転エネルギー

図のように回転している
物体のエネルギーEは
1 2 2
E  ma ω
6
1 1 2
2
  ( ma ) ω
2 3
1 2
 Iω
2
1 ω 2
I  ma ⊿x
3 x
a
↓
質量ｍ
慣性モーメント
慣性モーメント
並進運動
回転運動
質量：ｍ 速さ：v
物体にかかる力：F
運動エネルギー
質量：m 角速度：ω
モーメント：N
1 2
E  mv
2
運動方程式
2
d x
m 2 F
dt
mα＝F
と同じ！！
回転エネルギー
1 2
E  Iω
2
（回転の）運動方程式
d 2θ
I 2 N
dt
１．標準型の振り子の微小回転振動
糸の長さを
L L
糸の長さを
微小振動なので
棒の長さを2a



棒の長さを
重力加速度を
ｇ
2a
↓

モーメントを
Ｎ
 重力加速度をｇ



L
S
2a
回転方向の力F
mg
回転方向の力をF
単振動に近似で
 F  2aＮ
N
モーメントを

きる！！ ｍｇａ
＝　－
Ｌ
横
か
ら
S見
た
図
2
θの関数に
なっている
θ
Ｆ
θ
Ｆ
a
上
か
ら
見
た
図
１．標準型の振り子の微小回転振動
2
ｄθ
３ｇ
ｄ
＝　－
θ （ Ｉ θ2 ＝Ｎ　を用いた）
ｄｔ
ｄｔ
Ｌ
2
2
この微分方程式の一般解θは
３ｇ
θ　＝　Asin(
ｔ＋φ )
L
これより周期Ｔは
Ｔ　＝　２π
Ｌ
３ｇ
となる
２．上部の糸の間隔を変化させたとき
棒の長さを２a、
微小振動なので
上部の糸の間隔を２ｂ
↓
N  F  2a sinγ
単振動に近似で
ｍｇａｂ
b

－

θ
Ｆθ
きる！！
2
2
Ｌ －(ｂ－ａ )
θの関数に
なっている
γ
Ｆ
a
上から見た図
２．上部の糸の間隔を変化させたとき
2
d 2θ
３ｇ
ｂ
ｄ
θ
＝　－


θ
（Ｉ
を用いた）
＝Ｎ　2
2
2
2
dt
Ｌ －(ｂ－ａ ) ａ
ｄｔ
この微分方程式の一般解θは
周期Ｔ
[ｓ]
2
bb
・  t φ)
2
2 a
L  (b  a)
3g
θ＝Asin(
1.5
L
これより周期Tは
1
0.5
Ｔ　＝　２π
0.25
0.5
0.75
1
Ｌ 2－(ｂ－ａ )2 ａ
 a
３ｇ
ｂ
1.25
1.5
ｂの長さ
[ｍ]
Ｌ
２π
３ｇ
実験方法
☆実験器具
①金属棒(1ｋｇ) ②銅線
銅線
③ストップウォッチ
☆実験方法
金属棒
金属棒をつるし、糸の間隔を変えながら１
０周期分の時間を測り、１０で割ったものを
周期とした。
1.90
1.72
1.56
1.47
1.36
3
1.24
4
1.14
1.10
0.95
0.81
0.76
0.70
0.67
0.60
0.55
0.44
周期Ｔ[ｓ]
0.37
0.26
0.17
0.05
糸の長さが1,34ｍの時のグラフ
実測値と理論値の比較(実験１）
6
5
実測値
理論値
2
1
0
２ｂ[ｍ]
-1
4
理論値
1.90
実測値
1.72
6
5
1.56
1.47
1.36
1.24
1.14
1.10
0.95
0.81
0.76
0.70
0.67
0.60
0.55
周期Ｔ[ｓ]
0.44
0.37
0.26
0.17
0.05
糸の長さが1,99mの時のグラフ
実測値と理論値の比較(実験２）
7
3
2
1
0
２ｂ[ｍ]
３．回転振動の回転角が大きいとき
２ａ
初期角度をθ 初期の高さＨ
0
回転角が大きいので
 角度θのときの角速度をω、高さｈ

初期角度と周期
L
↓
この式を用いると、角速度ωの２乗は
全エネルギー
＝ 回転エネルギー
の関係は？
Ｌ －２ａS １－ cosθθ
６ｇ  L －２ａ １－ cosθ　－　Ｌ －２ａ １－ cosθ  ＋上下の運動エネルギー
単振動に近似できない！
2
ω2 ＝　2
2

2
0
2
2
ｈ
ａ Ｌ ＋ａ １－ cosθ１＋３ cosθ
2
2
2
＋位置エネルギー
このとき周期Ｔは↓
1 2 θ1ｄθ 2
mgHＴ　＝　４
で考える！！
Iω  mv  mgh
エネルギー
０ 2 ω で表される
2
0
全E
回転E
運動E
位置E
しかし！！！
 計算ソフトMathematicaを用いてもこの積
分は計算できなかった。
↓
そこで
↓

という式を近似する考え方を
用いてなんとかグラフを得ることができた。
初期角度と周期の関係のグラフ
周期T
3
2.5
条件
 Ｌ＝2.015ｍ
 2ａ＝0.665ｍ
2
1.5
1
角度θ
0.5
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
１６
１５
１３
１２
°
°
５°
０°
５°
０°
５°
９０
１０
°
°
°
０°
７５
６
４５
３０
１５
実測値と理論値の比較
4
3.5
3
2.5
2
実測値平均
理論値
1.5
1
0.5
0
まとめ
☆今回の実験で困難であったこと。☆
実験題材を決定すること。
 実験器具を作成すること。
 周期を測定すること。
 実験器具が頻繁に壊れたこと。


クーラーがなかったこと。

風通しが悪かったこと。

発表時間が七分しかなかったこと。