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第3章続 振動 講義
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「第3章 運動の法則」要点
0
振動
1
振動のグラフ
2
ばね振子
3
単振子
4
その他の振動
5
「第3章続 振動」要点
6
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振動
例えば、 ばね、 振り子、ブランコ などのように
同じ変化を繰り返す現象 を振動という
振幅 中心を基準にした振動の幅
振動
ここで、振動についていくつかの
重要な概念を導入しよう
振幅
心拍 呼吸 歩く 震え 痙攣 眼振
ここで、振動についていくつかの
声帯 繊毛運動
聴覚器重要な概念を導入しよう
目
1
振動
例えば、 ばね、 振り子、ブランコ などのように
同じ変化を繰り返す現象 を振動という
振幅 中心を基準にした振動の幅
1回
周期
周期 繰り返しの1回分の時間
0.2s
1s
例えば左の時計が 1周で1sとすると
この振動の周期は 0.2s
時間
振幅
わかりやすくするため、
時計の動きを実際より
遅くして表示しています
ここで、振動についていくつかの
重要な概念を導入しよう
目
1
振動
例えば、 ばね、 振り子、ブランコ などのように
同じ変化を繰り返す現象 を振動という
振幅 中心を基準にした振動の幅
周期
周期 繰り返しの1回分の時間
0.2s
1s
例えば左の時計が 1周で1sとすると
1回
この振動の周期は 0.2s
時間
振動数 単位時間当りの振動回数
1s当り
5/s = 5 Hz
例えばこの振動の振動数は
振動数
なので
0.2s 振動数の単位は /s = Hz (ヘルツ)
回数 1s
これらの定義から 周期 × 振動数 = 1
5/s
4
3
2
1
周期ここで、振動についていくつかの
振動数 時間
をT 、 振動数を f とすると T f = 1
目
重要な概念を導入しよう
この例では 0.2s × 5/s = 1
1
振動のグラフ
時間tを横軸に、変位xを縦軸にとりグラフを書く
x
t
単振動
とくに x=Asin(wt+f0) と表されるとき (w, f0は定数)
この振動を単振動という。
振幅 A
∴ T = 2p / w
周期をTとすると wT =2p
w / 2p
w = 2p f を角振動数、 f0を初期位相という
振動数 f = 1/T =
目
2
ばね振子
目
3
質量m, 変位x, ばね定数
ばね振子
k
時間tとする。 弾性力  kx
2回微分すると
運動方程式
釣合い
ma =  kx 自分に比例する
の位置
解く x= Asin(wt+f ) とおく (A, w, f :定数)
加速度a,
0
微分
a = w 2Asin(wt+f0)
微分
mw2 Asin(wt+f0) = k Asin(wt+f0) ∴
∴解は
x= Asin(wt+f0)
(w 2 = k /m )
ばね振子の運動は単振動である。
周期 T =
2p
w
=
2p
m  kx
0
速度 v = w Acos(wt+f0)
∴
∴
k
m
k
振動数
1
f = =
T
x
m
x
mw2 = k
ある瞬間
の位置
1
2p
k
m
目
3
長さl の糸でつるした質量mのおもり
単振子
支点の真下を原点とし経路の円弧に
そって座標xをとる。 振れ角q = x / l
糸の張力Tは経路に垂直なので、
q
力の経路方向成分は重力の成分のみで
mg sin q =mg sin ( x /l ) となる。 mg sin q
加速度の経路方向成分をaとする。
運動方程式(経路方向成分)
ma= mg sin (x /l )
q が小さいとき sinq ≒q
∴
w = g /l
周期 T =
T
x
q
g
x
a= 
l
w 2 = g / l とすればばね振子と同じ式
x= Asin(wt+f0)
0
l
mg
単振動
2p l / g
目
4
その他の振動
抵抗力があるとき
減衰振動
振幅が次第に減少
強制力があるとき
強制振動
外から加えた振動数で振動
強制振動の振動数が固有振動数に一致すると
振幅が非常に大きくなる
共鳴 (共振)
チューニング
時計
MRI
聴覚
視覚
等々
合成振動
発声
色々な振動の重ね合わせ
レーザー
目
5
「第3章続 振動」要点
振動
周期
単位 s
周期,振動数の関係
振動数
単位 Hz
周期×振動数=1
質量m, 変位x, ばね定数 k
運動方程式 ma =  kx
ばね振子
解 x= Asin(wt+f0)
単振動
(w = k / m )
x
m
 kx
x
A:振幅, f0:初期位相
周期 T = 2p m / k
減衰振動
強制振動
単振子
k
共鳴 (共振)
運動方程式 ma= mg sin (x /l)
振れ角小さい時
x= Asin(wt+f0)
a=
0
x
mg
g x /l
w = g /l
周期 T =
2p l / g
目
6
例題 おもりの質量m=1.6kg, ばね定数k=40N/m
k
のばね振子がある。ばねをb=10cm伸ばし、その
位置から静かに放した。時間をt、おもりの座標を
xとし、ばねの伸びる方向を正とし、自然長のとき
 kx
x=0,放した瞬間をt=0とする。重力はない。
x m
(1) 運動方程式を書き、解を求めよ(文字式で)。
x
(2) 初めて最高点に達する時間を求めよ。
(3) 3.0秒後のおもりの位置を求めよ。
ma=kx
解(1) 加速度をaとする。 運動方程式
x= Asin(wt+f0) とおく。 A, w, f0は定数。
=A(sinwtcosf0+coswtsinf0)
t=0のときx=bなので
A=b, f0=p/2として x= b coswt
速度は v= b sinwt 加速度はa= b coswt
2
m
w
=k
運動方程式に代入すると
となる。ただし w = k / m
よって解は x= b coswt
m=1.6kg
k=40N/m
b=10cm
k
解 x= b coswt (w = k / m )
(2) 初めて最高点に達する時間を求めよ。
w = k /m = (40N/m)/(1.6kg) = 5.0/s
x
求める時間は周期Tの半分なので
T /2=p /w =3.14/(5.0/s) = 0.628s 答 0.63s
x
m
(3) 3.0秒後のおもりの位置を求めよ。
x= b coswt = (10cm) cos(5.0/s×3.0s)
= (10cm) cos(15rad) = (10cm) (0.76) = 7.6cm
電卓を使うときは角度の単位に注意。
(radで表した数値)=(度で表した数値)×p /180
答
 kx
第3章続 振動 講義 終り
目