Transcript 井戸型ポテンシャル

定常状態，時間によらないシュレディンガー方程式
シュレディンガー方程式

i   H の波動関数のうち，
t
エネルギーが一定の解を考えよう。
E  
この解は一定の振動数ωをもち時間に関係する部分は
ei t の形をしている。
   ei t   eiEt / 
ψ は t を含まないとする
|  |2 |  |2 は t によらないので
この状態は定常状態と呼ばれる
  ψ eiEt /  を i

  H に代入すると E  H
t
 2 2


すなわち     V ( xyz)  ψ  E ψ を得る。
 2m

時間によらないシュレディンガー方程式
単にシュレディンガー方程式
固有値方程式
H  E
（演算子）×（関数）＝（ある数）×（同じ関数）
固有値方程式
E を演算子 H の固有値といい
 をその固有値に属する固有関数という。
E はエネルギーをあらわすのでエネルギー固有値という。
例
d
を考えてみよう
演算子
dx
関数 f ( x)  x2 にこの演算子を作用させると
これは x 2 の定数倍とは異なるので，
d
f ( x)  2xで，
dx
d
f (x) は
の固有関数ではない。
dx
一方
関数 f ( x)  e2 x にこの演算子を作用させると
d
f ( x)  2e2 x で，
dx
これは f ( x)  e2 x の2倍になっている。 したがって
d
の固有関数であり，固有値は２である。
f (x) は
dx
１次元井戸型ポテンシャル
・ 原子核の中にα粒子が捕まっている。原子核の中で
α粒子はどんな運動をするだろうか。
・ 金属の中にある自由電子は，金属内ではどのような
運動をするのだろうか。
何を学んでほしいか
量子力学での，問題の解き方
量子力学と古典力学の違い
① シュレディンガー方程式を書くこと
② シュレディンガー方程式を解くこと
③ 「一価，有限，連続」の条件に合う波動関数を
求める。
境界条件
④ エネルギー固有値を求める
離散的エネルギー固有値
⑤ 古典力学と量子力学の違い
１次元井戸型ポテンシャル
シュレディンガー方程式
2 d 2

ψ( x)  V ( x)ψ( x)  Eψ( x)
2
2m dx
V0　for　| x | a
V ( x)  
for　| x | a
0
シュレディンガー方程式を書く
2 d 2

 ( x)  V ( x) ( x)  E ( x)
2m dx2
ポテンシャルの形から，領域を３つに分けてシュレディンガー方程式を書く。
領域 I では V ( x)  0
2 d 2

ψ( x)  Eψ( x)
2
2m dx
II
領域 IIでは V ( x)  V0
2 d 2

ψ( x)  V0 ψ( x)  Eψ( x)
2
2m dx
E  V0
の場合について考える
I
II
領域 I を解く
2 d 2

ψ ( x)  EψI ( x)
2 I
2m dx 2m
両辺に  2 をかけると

d2
2mE
ψ ( x)   2 ψI ( x)
2 I
dx

2mE とすると


d2
２
ψ
(
x
)


α
ψI ( x)
2 I
dx
II
I
II
したがって
ψI (x)  Asin(α x)  B cos(α x)
II
領域 II を解く
I
II
2 d 2

ψ ( x)  V0 ψII ( x)  EψII ( x)
2 II
2m dx
2m
V0 を右辺に移項し 両辺に  2 をかけると

d2
2m(V0  E)
（但し E  V0 である事を考慮した）
となる。

(
x
)


(
x
)
II
II
dx2
2
2m(V0  E)
β

とすると
d2
２

(
x
)


 II ( x)
2 II
dx
したがって
ψII  Ce β x  De β x
量子力学の波動関数は，一価，有限，連続でなければならない
「一価」であることは明らか
有限であるためには
x  a : D  0 の場合 x  で ( x)  x  aではD  0
x  a : C  0 の場合 x   で ( x)  x  aではC  0
II
x
 xx
 II  Ce

De
 II  Ce
I
II
x x
 x


Ce

De
 IIII  De
 I (x)  Asin( x)  B cos( x)
波動関数と波動関数の１階微分が連続でなければならない
x=-a で波動関数が連続
ψI ( x  a)  ψII ( x  a): Asin(α a)  B cos(α a)  Ce( β a)
x=a で波動関数が連続
ψI ( x  a)  ψII ( x  a): Asin(α a)  B cos(α a)  De( β a)
II
ψII  Ceβ x
I
II
ψII  De β x
 I (x)  Asin( x)  B cos( x)
波動関数と波動関数の１階微分が連続でなければならない
x=-a で波動関数の１階微分が連続
d
d
ψI ( x)|xa  ψII ( x)|xa: αAcos(α a)  αB sin(α a)  β C e( β a)
dx
dx
x=a で波動関数の１階微分が連続
d
d
ψI ( x)|xa  ψII ( x)|xa: αAcos(α a)  αB sin(α a)   βD e( β a)
dx
dx
II
ψII  Ce
d
ψII  β Ceβ x
dx
βx
I
II
 II  De  x
d
ψII   β D e β x
dx
 I (x)  Asin( x)  B cos( x)
d
 I ( x)   Acos( x)  B sin( x)
dx
こうして４つの式が得られる
ψI (x  a)  ψII (x  a) :
AAsin(
sin(αa)  B cos(
cos(αaa))Ce
Ce((βaa))
ψI (x  a)  ψII (x  a):
Asin(α a)  B cos(α a)  D e( β a)
d
d
(  a )
ψI ( x)|xa  ψII ( x)|xa: αAAcos(
cos(α
aa))αB sin(
sin(αaa)) βCe
Ce( β a)
dx
dx
d
d
ψI ( x)|xa  ψII ( x)|xa:
α A cos(α a)  α B sin(α a)   β D e( β a)
dx
dx
II
ψII  Ceβ x
d
ψII  β Ceβ x
dx
I
II
 II  De  x
 I (x)  Asin( x)  B cos( x)
d
 II   De x
dx
d
 I ( x)   Acos( x)  B sin( x)
A,B,C,D を消去してαとβが満たす式を作る
 Asin(α a)  B cos(α a)  C e( β a)
Asin(α a)  B cos(α a)  D e( β a)
α A cos(α a)  α B sin(α a)  β C e( β a)
α A cos(α a)  α B sin(α a)   β D e( β a)
①
②
③
④
②－①
③＋④
2 Asin( a)   (C  D) e  a
2 A cos( a)   (C  D) e  a
⑤
⑥
①＋②
③－④
2B cos( a)  (C  D) e  a
2 B sin( a)   (C  D) e  a
⑦
⑧
もし A  0 で C  D ならば ⑥／⑤より  cot( a)  
もし B  0 で C  D ならば ⑧／⑦より  tan( a)  
こうして
もし A  0 で C  D ならば ⑥／⑤より  cot( a)  
もし B  0 で C  D ならば ⑧／⑦より  tan( a)  
さ～て， A  0 で C  D 同時に B  0 で C  D ならば
 cot( a)   と  tan( a)  
 2   2
の左辺どうし右辺どうしをかけると
を得る。しかしながらαとβはともに実数だから
これはあり得ない。したがって・・・・・
A  0 で C  D ならば B  0 で C  D であり  cot( a)  
B  0 で C  Dならば A  0 で C  D であり  tan( a)  
ところで
2mE
α

2m(V0  E)
であったから
β

2mV0
   2

2
2
偶関数の解
2
2
A  0 で C  D のとき  tan( a)   と    
の両方を満たすα，βからエネルギー固有値が求められる。
2mV0
2
2
2
mV
a
ξ  αa, η  β a とすると  tan   と    20

2
2
mV
a
0
の交点
求める答えは tan   のグラフと  2  2 
2

2
   a より  

a
2
また　 
2mE

だから
2mE 
2 2

 E

2

a
2ma
例えば，1  1.2 であったとすればこの値に対応する
2
2
エネルギーは E1 

(
1
.
2
)
となる
2
2ma
奇関数の解
B  0 で C  D のとき  cot( a)   と  2   2 
2mV0
2
の両方を満たすα，βからエネルギー固有値が求められる。
2
2
mV
a
0
ξ  αa, η  β a とすると  cot   と    2

2
2mV0a
の交点
求める答えは  cot   のグラフと  2  2 
2

2
2
 tan  
 cot  
 tan  
量子力学では，エネルギー
は，図の 1, 2, 3 に対
応する値 E1, E2 , E3 が
許され，その中間の値は
許されない。
飛び飛びのエネルギーの値
離散的固有値
偶関数の解
A  0 のとき領域 I の波動関数  I (x)  Asin x  B cos x は
 I (x)  B cos x
βx
ψ

Ce
， x  a では  II  Ce x
C  D だから x  aでは II
奇関数の解
B  0 のとき領域 I の波動関数  I (x)  Asin x  B cos x は
 I ( x)  Asin x

x x  a では  Ce  x
C  Dだから x  aでは II  Ce ，
II
量子力学と古典力学の違い
量子力学
古典力学
mgh
1 2
mv
2
壁の外には絶対に行かない
量子力学では，古典力学では絶対に粒
子が行かない場所にも存在確率がある。
h