Transcript OLASILIK KONUSU Ö*RENC*LERE NEDEN ZOR GELMEKTED*R?

OLASILIK KONUSU
ÖĞRENCİLERE NEDEN
ZOR GELMEKTEDİR?
Giriş
 Olasılıkları Tahmin Etme ve Değerlendirme
 Olası Durumları Belirleme
 Olasılıkla İlgili Temel kavramları Anlama ve
Uygulama
 Olasılık Çeşitlerini ve Aralarındaki İlişkiyi
Anlama
 Teknoloji Destekli Olasılık Öğretimi
 Sonuç

GİRİŞ
Öğrenciler matematiğin diğer konularında olduğu gibi
olasılık kavramıyla ilgili kendi deneyimlerinden edindikleri,
zihinlerinde yerleşmiş fikirlerle sınıfa gelirler.Çocukluktan
itibaren herhangi sistematik bir eğitim almadan var olan bu
sezgilerin,öğrencilerin olasılık kavramının gelişiminde önemli rol
oynadığı belirtilmektedir.
Ülkemizde uygulanmaya başlayan yeni matematik öğretim
programlarında ilköğretim 4. sınıftan itibaren öğrenilmeye
başlayan olasılık kavramlarının öğrencilerin günlük hayatta
karşılaştıkları temel olasılık olguları üzerine yapılandırılmasının
ve dolayısıyla sezgiye dayalı olarak geliştirilmesinin önemi
vurgulanmaktadır.Çeşitli araştırmalar sezgilerin çoğunlukla
yanıltıcı olduğunu ve öğrencilerde kavram yanılgılarına yol açtığı
belirtmişlerdir.Bunlar da öğrencilerin olasılık kavramını
öğrenmede zorluk çekmelerine sebep olmaktadır.Bu bölümde
ilköğretim seviyesindeki olasılık öğrenimi ve öğretimi üzerine
odaklanacaktır.
Bölümün geri kalan kısmında literatürde belirtilen olasılıkla ilgili
kavram yanılgıları ve öğrenme zorlukları ilköğretim müfredatındaki
konular esas alınarak şu dört ana başlık altında ele alınacaktır :
* Olasılıkları tahmin etme ve değerlendirme
* Olası durumları belirleme
* Olasılıkla ilgili temel kavramları anlama ve uygulama
* Olasılık çeşitlerini anlama ve aralarındaki ilişkiyi anlama
Daha sonra öğrencilerin olasılığa ilişkin kavramsal anlamalarının ve
akıl yürütmelerinin geliştirilmesine yönelik uygulamalara değinilecek
ve bir örnekle detaylı olarak incelenecektir.
OLASILIKLARI TAHMIN ETME VE
DEĞERLENDIRME
Hem günlük yaşamı yakından ilgilendiren alanlarda
hem de bilimin çeşitli dallarında olasılık, belirsizlik
durumlarıyla ilgili kararlar verme sürecinde önemli rol
oynar.Mesela her gün medya aracılığıyla , “İstatiksel
olarak uçak yolculuklarında kaza riski 0,000004 olarak
belirtilmiştir” yada “Florida da ki ev sahiplerinin dikkatine
! Uzmanlara göre önümüzdeki yıl Florida kıyılarını
vurabilecek bir kasırganın olma olasılığı %49 olarak
bekleniyor” gibi olasılık içeren çok çeşitli ifadeler duyarız
ve bunları yorumlarız.Yapılan araştırmalar bu tür
durumlarda insanların olasılık kuramı ilkeleriyle
bağdaşmayan bir takım sezgilerle düşünme eğiliminde
olduklarını göstermiştir.
Mesela bir hava durumu spikerinin “yarın %70 yağmur yağma
olasılığı vardır” ifadesinden öğrencilerin ne anlam çıkardıkları
sorulduğunda , bazı öğrencilerin “ %70 yağmur yağma olasılığını “
daha kesin bir nitel ifadeye çevirerek “ yağmur yağacaktır “
şeklinde bir tahminde bulundukları görülmüştür. Konold
öğrencilerin genellikle bu çeviriyi yaparken %0 - %100 ihtimal
aralığında %0 ı “ hayır “ %100 “evet “ ve ‘’ % 50 bilmiyorum’’
anlamında kullandıklarını belirtmiştir.Öğrencilerin tahmin
ederken o olayın olup olmayacacığını “evet” ya da bazen
“bilmiyorum ”şeklinde ifade etme eğiliminde olduklarına ortaya
koymuştur ve bunu “sonuç yaklaşımı” olarak adlandırmıştır.
Konold Sonuç Yaklaşımını belli başlı özelliklerini şöyle
sıralamıştır.
1) Olasılığın tek bir denemenin sonucunu tahmin etmek olarak
yorumlama ve bu nedenle tek denemeden sonra olasılığı doğru
yada yanlış olarak değerlendirme.
2) Olasılık tahminlerini nedensel açıklamalara dayanarak yapma.
Bir diğer sıkça karşılaşılan hata ise problemdeki verileri
teslim eden sayıların çarpılmasıdır.
Öğrencilerin olasılıkla ilgili muhakemelerini inceleyen diğer
bazı araştırmacılar öğrencilerin olasılık problemlerini çözerken
yaygın olarak kullandığı bir takım stratejiler olduğunu
saptamışlardır.Kahneman ,Tversky’nin Literatüre katmış
oldukları “Temsil Kısa yolu” bunlardan biridir. Temsil kısa
yoluna göre, bir olayın olma olasılığı, o olayın örnek uzayı ya da
rastgele meydana gelme sürecini en iyi şekilde yansımasına dayalı
olarak değerlendirilir. Örneğin, temsil kısa yolu kullanımından
kaynaklanan bir yanılgıya sahip bir öğrenci, altı çocuklu ailelerde
kız (K) ve erkek (E) çocukların doğuş sırasına bakarak EEEEEE
sıralanmasının KEKKEE sıralamasına göre daha az olası
olduğunu düşünebilmektedir. Oysa teorik olarak iki sıralamada eş
olasılıdır. Çünkü doğacak çocuğun kız ya da erkek olma olasılığı ½
ya da %50 olduğuna göre altılı her bir sıralamanın olasılıklarını
1/64 yani 64 farklı sıralamanın her birinin olma olasılığı birbirine
eşittir.
Öğrencilerin sezgilere dayanan kavram yanılgılarının yaşla
( 5, 7, 9, 11. sınıflar ve üniversite ) değişiminin araştırıldığı bir
çalışmada Fischbeni ve Schnarch temsil kısa yoluna
başvurabilecek aşağıdaki gibi bir soruyla öğrencilerin
yanıtlamalarını incelemişlerdir:
Bir şans oyununda 40 sayı arasında ( 1-40 ) 6 sayı seçilmektedir
aşağıdaki seçimlerden hangisinin kazanma olasılığı daha
yüksektir?
1-2-3-4-5-6
39-1-17-33-8-27
Fiscbein ve Schnarch bu soruda temsil kısa yolundan
kaynaklanan yanılgının yaşla birlikte azaldığını tespit
etmiştir.Cevap yüzdelerine bakıldığında örneğin, 5 ve 7. sınıf
öğrencilerinin büyük çoğunluğunun (%70 ve %50) “39-1-17-33-827” seçiminin kazanmasını daha olası buldukları görülmektedir.
Fischbein ve Schnarch öğrencilere yine temsil kısa
yoluyla ilgili olan aşağıdaki gibi bir olasılık tahmin sorusu
sormuşlardır
Bir bozuk para üç kez havaya atıldığında, ardı ardına üç
kez tura ( TTT ) geldikten sonra dördüncünün de tura ( T )
gelme olasılığı nedir?
Soruya verilen cevapların analizi hem 5. hem de 6.
sınıf öğrencilerinin %35’ inin TTT’ den sonra tekrar tura (
T ) gelme olasılığının yazı gelme olasılığında daha düşük
olduğunu düşündüklerini ortaya çıkarmıştır. Oldukça
fazla sayıda öğrencinin verdiği bu yanıt ‘’ kumarcı
yanılgısı ‘’ olarak da bilinen “olumsuz sonralık etkisi”
kavram yanılgısını içermektedir. Bu da öğrencilerin
henüz rastgele bir sürecin ardışık çıktılarının bağımsız
olduğuna dair bir düşünce sahip olmadığını
göstermektedir.
Fischbein ve Schnarch’ in çalışmasından verilen bu iki
örnekte (şans oyunu ve yazı-tura tahminleri) öğrencilerin
aşağı yukarı yarısının (5.sınıf: %40 ve 7. sınıf:%55) doğru
cevabı verdikleri görülmektedir.
OLASI DURUMLARI BELİRLEME
Bir olasılık durumu verildiğinde olası durumları
belirlemede kombinasyonel düşünme ve problem çözme
becerisi önemli bir rol oynar. Piaget ve Inhelder 4-12
yaşlarındaki çocuklarla yaptıkları çalışmaların sonucunda
olasılık kavramının gelişiminin temelinde diziliş,
permütasyon ve kombinasyonda oluşan kombinasyonel
işlemler ile örnek uzayın kavranması ve oran olgusunun
anlaşılması olduğunu belirtmişlerdir.
Bu konuda yapılan araştırmalara bakıldığında
ilköğretimden ortaöğretime kadar öğrencilerin
kombinasyonel işlemleri anlama ve ilgili problemleri
çözmede zorlandıkları görülmektedir. Örneğin Fischbein ve
Gazit’in 6. ve 8. sınıflardan 84 öğrenci ile yaptıkları
çalışmada, çözümünde farklı kombinasyonel işlemlerin
kullanılmasını gerektiren problemlerde öğrencilerin
yaptıkları hatalar incelenmiştir. Bu problemlerin
içerdikleri 4 ayrı kombinasyonel işlem aşağıdaki gibidir.

TEKRARLI DİZİLİŞ

TEKRARSIZ DİZİLİŞ

PERMÜTASYON

KOMBİNASYON
Fischbein ve Gazit’in çalışmasında 6 ve 8.sınıf
öğrencilerinin permütasyon ve diziliş problemlerindeki
başarılı kombinasyon problemlerine göre daha yüksek
olmuştur. Fakat bu tür problemlerin çözümünde
sistematik hatalar saptanmıştır.Bundan en çok rastlananı
yanlış kombinasyonel işlem formülünün kullanılmasıdır.
Bir diğer sıkça karşılaşılan hata problemdeki verileri temsil
eden sayıların çarpılmasıdır.Örneğin, n=4 elemanlı bir kümeden
elde edilen r=2 elemanlı grupların sayısını hesaplarken öğrenci
“C(4,2)=4x3/2=6 yerine C=4x2 yazmaktadır.Burada ise öğrenci
verilen probleme uygun kombinasyon işlemini
uygulayamamaktadır ancak Fischbeni ve Gazit bu örnekteki her
iki çözüm yolunun da aynı yanıta götürdüğü durumların
olduğuna da dikkat çekmişlerdir. Mesela n=3 ve r=2 durumunda
doğru cevap “3x2” olup iki yolla da ulaşmaktadır.Öğrencinin bu
gibi durumlarda sonuca kombinasyonel muhakeme ile mi yoksa
rastlantı eseri olarak mı ulaştığının anlaşılması Fischbein ve
Gazit’in yaptıkları gibi öğrencinin benzer başka bir probleme
verdiği yanıtlar incelenmelidir.
Olasılıkla İlgili Temel Kavramları
Anlama ve Uygulama
6. sınıfa kadarki ilköğretim matematik
müfredatında, olasılık konularının öğretiminde
öğrencilerin sezgisel olasılık tahminlerinin esas
alındığı bir yaklaşım öngörülmektedir. 6. sınıftan
itibaren ise olasılık konularının eğitiminde
sezgisel olasılık tahminlerinden olasılık
hesaplamalarına geçiş söz konusudur ve bu
geçişin sağlıklı bir şekilde olması öğrencilerin
temel olasılık kavramlarını anlama ve
anlamlandırmalarını zorunlu kılmaktadır.
Bu temel kavramlardan özellikle “eş olasılıklı
olma” ve “örnek uzay” ın anlamlandırılmasında
öğrencilerin güçlük çektiği görülmektedir. “Eş
olasılıklı olma” kavramı, bir olayın olma olasılığı
hesaplanırken o olayın sonuçlarının her birinin olma
olasılıklarının eşit olma prensibine dayanır örneğin,
tek zar atışında hilesiz zarın simetri özelliğine
dayanarak her bir yüzeyin(1,2,3,4,5,6) gelme
olasılıklarının birbirine eşit ve 1/6 olduğunu
söyleyebiliriz.
Ancak öğrencilerin olayların “eş olasılıklı olma”
özelliğini aşırı genelleme ile yanlış durumlara da
uyguladıkları görülmektedir.Öğrencilerin rastgele
olayların tüm olası çıktılarını doğal olarak eşit olasılıklı
görme eğilimleri literatürde “eşit olasılık yanlılığı”
olarak ifade edilmektedir.
Örneğin Lecoutre ve meslektaşları,
öğrencilere iki zar aynı anda atıldığında üste
gelen sayıların toplamının 9 veya 11 gelme
olasılıkları nedir diye bir soru yönelttiğinde,
öğrencilerin bu soruya karşılık olarak 9 veya 11
gelme olasılıklarının eşit olacağı yönünde yorum
yaptıklarını gözlemişlerdir. Burada öğrencilerin
zar atıldığında kaç geleceğini şansa bağlı
olacağını düşünerek iki zarın toplamının 9 veya
11 gelme olasılıklarının eşit olacağına inandıkları
görülmektedir .Yani öğrenciler herhangi bir
rastgele olayın doğal olarak şansa bağlı
olduğunu ve bunun sonucu olarak da eşit
olasılıklı olduğunu düşünmektedirler.
Yukarıdaki iki zarın toplamlarının gelme
olasılıklarının karşılaştırıldığı örnekte de olduğu gibi,
öğrencilerin olasılık tahminlerinde örnek uzayı
oluşturmada zorlandığı görülmektedir. Bundan
dolayı özellikle iki veya daha çok basit olayın ardı
ardına veya birlikte meydana geldiği bileşik
olaylarda, öğrencilerin olasılık tahminlerinde
yanılgıya düştükleri görülmüştür. Çünkü bu tür
durumlarda ya bileşik olayı meydana getiren basit
olayın olası sonuçlarının eş olasılıklı olması aşırı
genellenerek o bileşik olayın da sonuçlarının eş
olasılıklı olduğu düşünülüyor yada bileşik olayın
tüm olası sonuçlarının farkına varılamıyor veya
tam olarak oluşturulamıyor
Bu konuda yapılan araştırmalarda Fischbein ve
Gazit on iki ders boyunca olasılık konularını öğrenen
öğrencilere, bir zar atıldığında 3 veya 6 gelme
olasılığını sorduklarında, verilen doğru cevap
yüzdeleri sınıflara göre, sırasıyla, %32.4 %62.5 %86.5
bulunmuştur.Ancak öğrencilerden örnek uzayının
açıkça belirtilmediği birleşik olayların olma
olasılıklarını hesaplamalarını istendiğinde doğru
cevap verme yüzdeleri oldukça düşmüştür.
Örneğin, iki zar atıldığında zarların
toplamının 6 gelme olasılığı sorulduğunda,
6.sınıf öğrencilerinin sadece %11.3’ ü ve 7.sınıf
öğrencilerinin ise sadece %51.9’ u doğru yanıt
verebilmişlerdir.
Bu ani değişimin öğrencilerin örnek uzayın
eleman sayısını 36(6×6) yerine 12 (6+6) diye
düşünmelerinden kaynaklandığı saptanmıştır .
Bir başka çalışmada ise Shaughnessy ve
Ciancetta ABD’ de uygulanan ulusal bir ölçme
ve değerlendirme sınavında 12.sınıf
öğrencilerinin çok az bir kısmının doğru cevap
verebildiği bir bileşik olayın olma olasılığı ile ilgili
aşağıdaki soruyla çeşitli sınıf seviyelerinden
öğrencilerin yanıtlarını incelemişlerdir.
Hilesiz iki çark bir karnaval oyunun
parçasıdır. Her bir çark bir kere
çevrildikten sonra her iki ok siyahta
durduğunda oyuncu bir hediye
kazanmaktadır.
Jeff bu oyunda 50-50 kazanma şansı
olduğunu düşünmektedir.Buna katılıyor
musunuz ?
A. Evet
B.Hayır
Yapılan anketin sonuçları öğrencilerin çoğunun
oyunu kazanma şansının “50-50” olduğuna
inandıklarını göstermiştir.Yalnızca 6 ve 7. sınıf
öğrencilerinin %19’ u ile 8.sınıf öğrencilerinin ise %24’
ü doğru ya da kısmen doğru açıklamalı yanıt
verebilmiştir.Halbuki bu bileşik olayın örnek uzayını
listelemek oldukça basittir ve buradan da siyah ve
siyah gelme olasılığının %25 ya da ¼ olduğu çok
kolay bir şekilde görülmektedir.
Ancak yanlış yanıtı veren öğrenciler örnek uzayı
düşünmeden hareket edip “50-50” kazanma
şansını her bir çarkın eşit olarak yarısının siyah
yarısının beyaz olmasına bağlamışlardır. Bunun
yanı sıra deneyin olası çıktılarını yani örnek
uzayını düşünerek cevap verenlerden oyuna
kazanma olasılığının “1/3” olduğu sonucuna
varan öğrenciler de olmuştur. Bu öğrencilerin
deneyin olası çıktılarını “SS,BB,SB,” (S=Siyah,
B=Beyaz) olarak düşündükleri belirlenmiştir.
Buradaki yaygın yanılgı ise SB ve BS çıktılarının
ayırt edilmemesidir.
OLASILIK ÇEŞİTLERİNİ VE
ARALARINDAKİ İLİŞKİYİ ANLAMA
İlköğretim matematik öğretim programının
8.sınıfında ele alınan teorik, deneysel ve öznel
olasılık çeşitleri aslında olasılığın tarihi
gelişiminde ön plana çıkan ve olasılıksal
olguların yorumlanmasında kullanılan üç temel
olasılık kuramı
Klasik olasılık kuramı
Olasılık sıklık kuramı
Öznel olasılık kuramı
Olası durumları belirlemede kullanılan sayma
yöntemleri ve teorik olasılık , klasik olasılık kuramına
dayanır.
Olasılığın klasik tanımı : Bir olayın olası tüm
çıktıları eşit olasılıklı olduğundan o olayla ilgili istenen
durumların sayısının tüm olası durumların toplam
sayısına toplam sayısına oranıdır.
Örneğin : Hilesiz bir zarın simetrik altı yüzeyi
olduğundan her bir yüzeyin gelme olasılıkları eşit
olarak kabul edildikten sonra bir zar atıldığında çift
sayı gelme olasılığı , istenen olayın eleman sayısının ,
s (2,4,6)=3 , tüm olası çıktıların toplam sayısının , s
(1,2,3,4,5,6) =6 , oranıdır,yani 3/6 = ½ dir.
Eğer bir deneydeki her bir çıktının meydana
gelme olasılıkları eşit değilse klasik olasılık kuramı
uygulanamaz deneysel olasılığın dayandığı olasılık
sıklık kuramına göre ise olasılık , aynı koşullarda
çok sayıda tekrarlanan bağımsız denemelerin
sonucunda olayın gerçekleştiği göreli sıklığın limiti
olarak tanımlanmaktadır.
Örneğin, hilesiz bir bozuk paranın havaya atılışını
ele alırsak , bu süreç birbirinden bağımsız
denemelerde aynı koşullar altında tekrar tekrar
yinelenebilir.
Öznel olasılık ise bir olayın olasılığını kişilerin
inanış derecesine göre belirlediği öznel olasılık
kuramından ortaya çıkmıştır.Örneğin, bir
basketbol taraftarı şöyle söyleyebilir : “Efes’ in
Avrupa basketbol Ligi şampiyonu olma olasılığının
%90 olduğuna inanıyorum çünkü bu yıl gerçekten
çok güzel oynuyorlar.” Yani öznel olasılık belirli bir
takım hesaplamalara değil de daha çok akla
yatkınlık değerlendirmesine ya da kişinin
deneyimlerine dayanarak belirlenmektedir.
Büyük Sayılar Kanunu
Hilesiz bir madeni paranın atılması
deneyinde , deneysel veri toplamak için para
10 kez havaya atıldığında 7 yazı 3 tura veya 1
yazı 9 tura gelebilir. Ama eğer parayı 10000 kez
havaya atarsak , yazı ve turanın geliş yüzdeleri
teorik olasılıklara çok yakındır. Bu da istatistikte
“büyük sayılar kanunu” olarak bilinir.
TEKNOLOJİ DESTEKLİ OLASILIK
ÖĞRETİMİ
Son yıllarda olasılık konularını daha etkin öğretimi üzerine
yapılan çalışmalarda öğrenmeyi kolaylaştırmak için öğrencilere
mevcut fikirleri açıkça ortaya koyabilecekleri , birlikte tartışarak
farklı düşünceleri değerlendirebilecekleri bir sosyal ortam
oluşturulmaktadır.Bunların yanı sıra öğretimde kullanılan
etkinliklerde öğrencilerin gerekli analizleri yapabilmelerini
destekleyecek araçlar ve modellerde sağlanmaktadır.
Ayrıca teknoloji kullanımını öğrencilerin tahminlerde
yanılmalarına neden olan sezgisel kavramları test edip doğru olan
kavramları geliştirmeleri açısından faydalı olduğu görülmüştür
Konold ve Kazak 4 çocuklu ailelerdeki erkek çocuk
sayılarının dağılımı ile ilgili tahmin sorusu
sorulmuştur. Eğer gerçek hayatta 4 çocuklu bir çok
ailedeki erkek çocuk sayılarının sayısı grafiği çizilseydi,
gerçek verilerde en çok benzeyen grafik aşağıdakilerden
hangisi olurdu ?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Erkek çocuk
sayısı
Erkek çocuk
sayısı
Erkek çocuk
sayısı
İlk tahminlerde birçok öğrenci C grafiğini
seçmiştir.Konold ve Kazak C grafiğindeki dağılımın
tercih edilmesinde, öğrencilerin uçlardaki sonuçları pek
mümkün bulmazken diğer olası sonuçları eşit olası
görmüş olduklarına dayanarak hem eşit olasılık
yanlığının hem de temsil kısa yolunun ortak bir rolü
olabileceğini belirtmişlerdir. Bu tahmin sorusunda
öğrencilerin önceden sahip oldukları sezgilere dayanan
kavram yanılgılarının ortaya çıktığı görülmektedir.Bu
da öğretmene ilk başta bu yanılgıları tespit etme fırsatı
vermektedir.
İlk tahminler yapıldıktan sonra ise öğrenciler her bir
problemde durumla ilgili gerçek veriler toplayarak
bunları analiz etmişlerdir.
Alternatif teorileri teşvik etmek amacıyla öğrencilere
Abrahamson’ın çalışmasından esinlenmiş bir grup etkinliği
yapmıştır bu etkinlikte ikili gruplar halinde çalışan öğrencilerin
çubuk şeklinde kesilmiş dört bölmeli karton parçacıkları ile
yeterinden fazla sayıda yeşil ve mavi daire şeklinde etiketler
verilmiştir.Öğrencilerin görevi bu iki farklı renkte etiketleri her
biri bir bölmeye gelecek şekilde dizip olabildiğince sayıda bu
çubuklardan üretmektir.
Konold ve Kazak’ın in olasılık öğretimi için kullandıkları
etkinliklerindeki yaklaşımın önemli bir özelliği öğrencilere daha
önce sahip oldukları bilgiye ve sezgilere göre tahmin etme somut
veri toplama ilk tahminlerini verilere dayanarak tekrar gözden
geçirme, yeni bilgi ışığında başka olası bir teori geliştirme ve
bunun geçerliliğini test etme fırsatları verilmesidir.Somut
deneylerle ders saati içerisinde yeterli sayıda veri toplamak
mümkün olmamaktadır. Bu nedenle Konold ve Kazak’ın
geliştirdikleri etkinliklerin ileriki aşamalarında teknolojinin rolü
oldukça büyüktür.
4 çocuklu ailelerin bilgisayar modeli. Üst sol köşedeki
“4 Çocuklu Aileler” örnekleyici’sinde 4 kez üst üste
karmaçtan çocukların cinsiyetini belirleyecek olan “K” ve
“E” toplarında rastgele seçilerek toplamda 100 aile
örneklenmiştir.Yukarıdaki tabloda çocukların cinsiyet
sıralamaların(“E,K,E,E” “K, E,E,E” gibi) karmaçtan
çıktıkça görülebilmektedir.Yukarıda sağdaki grafikte ise
her bir çıktının yani 4 çocuklu ailelerdeki cinsiyet
sıralamalarının sıklığı gösterilmektedir.Aşağıdaki grafikte
ise çıktılar kız/erkek çocuk sayısına göre birleştirilerek
gösterilmiştir.
Şekilde görüldüğü gibi öğrenciler soldaki model ile farklı
örneklem büyüklüklerinde artarda yapılmış simülasyon
sonuçlarını karşılaştırırken, her biri değişik 4 çocuklu aile tipini
temsil eder çubukların göreli yüksekliklerine bakarak model ile
uygunluğu kıyaslanmıştır.Bu analizlere göre , örneklem büyüklüğü
160 iken öğrenciler genelde modelle sonuçlar arasındaki uyumu
“çok iyi” ya da “iyi” olarak değerlendirilmiştir.Örneklem büyüklüğü
32 olan ailelere bakmadan önce ise yalnızca birkaç öğrenci modelle
sonuçlar arasında daha kötü bir uyum olacağını düşünürken
sınıfça yapılan simülasyonlarda sonra diğer öğrencilerin şaşırmış
oldukları görülmüştür nitekim örnekler büyüklüğü 32 ye
düşürüldüğünde model ile çok alakası olmayan bambaşka sonuçlar
elde edilebilmektedir öğrencilere örnekler büyüklüğü çok daha
büyük olursa ne bekledikleri sorulduğundaysa pek çoğunun
sonuçları modelle oldukça çok benzeyeceğini önceden tahmin
edemedikleri görülmüştür.
Konold Kazak öğrencilerin sezgisel olarak
geliştirdikleri bu olguyu şu şekilde açıklamışlardır:
Büyük örneklemlerden alınan sonuçların beklenen (teori )
dağılıma oldukça yakın olmaları daha muhtemelken,
küçük örneklemlerden sadece rastlantısal olarak beklenen
dağılımdan oldukça farklı sonuçların çıkması daha
olasıdır.
SONUÇ


Olasılık konularının anlaşılmasının öğrenciler için oldukça
zor olduğu yapılan araştırmalar sonucunda açıkça
görülmektedir.Bir yanda öğrencilerin olasılıkla ilgili
sezgileri ve kişisel deneyimleri sonucunda geliştirdikleri
kavramların öbür yandan da olasılık kuramının sezgilere
aykırı temel kavram ve prensiplerinin var oluşu
öğrencilerin olasılık konularını öğrenmelerini
zorlaştırmaktadır.
Bu bölümde ele alınan gerek olasılık konularının öğrenciler
tarafından anlaşılmasında karşılaşılan zorluklar ve
kavram yanılgıları gerekse yurt dışında bu konuların
öğretiminde uygulanan kavramsal yaklaşımların,
ülkemizdeki yeni matematik müfredatında ilköğretim 4.
sınıftan itibaren başlayan olasılık öğretimi için sonuçları
vardır.

Özellikle yeni matematik öğretim programında
belirtildiği gibi erken yaşlardan başlayarak
olasılık kavramının öğrencilerin sezgileriyle
geliştirebileceği ortamların hazırlanmasında
öğretmenlere, matematik eğitimci ve
araştırmacılara büyük rol
düşmektedir.Öğretmenler literatürde tespit
edilen öğrencilerin sezgilerinden ve
deneyimlerinden kaynaklanan yanılgılarının
farkında olarak öğrencilerin olasılık kavramını
geliştirmelerini sağlamalıdır.
HAZIRLAYANLAR
GÜLHAN ERDEMCİ
 YELİZ ŞENOCAK
 DİLEK BERRAK
 AYŞEGÜL AKBUDAK

BİZİ DİNLEDİĞİNİZ
İÇİN TEŞEKKÜR
EDERİZ.
