Transcript and critical region Reject H 0

‫آزمون فرض‬
‫موسوی ندوشنی‬
‫پاییز ‪1386‬‬
‫‪1‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مقدمه‬
‫‪ ‬فاصله اطمینان و آزمون فرض هر دو برای تصمیمسازی‬
‫و استنتاج راجع به پارامترهای یک جامعه بر اساس‬
‫نمونهگیری بهکار میرود‪.‬‬
‫‪ ‬ایده آزمون فرض‪ :‬فرض کنید که یک سکه را چندین بار‬
‫پرتاب میکنیم و تعداد قابل مالحظهای خط رخ میدهد‪.‬‬
‫بنابراین فرض )‪ 50-50(hypothesis‬مورد سوال قرار‬
‫میگیرد و شما میتوانید ادعا )‪ (claim‬کنید که حیلهای‬
‫در کار است‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫اصطالحات آزمون فرض‬
‫‪ ‬فرض‪ :‬در آمار‪ ،‬ادعا راجع به خاصیت جامعه را فرض‬
‫نامند‪.‬‬
‫• فرض صفر )‪(Null Hypothesis‬‬
‫‪‬‬
‫•‬
‫فرض جایگزین )‪(Alternative Hypothesis‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫•‬
‫آن را با ‪ H1‬نشان میدهند و باید به صورت ‪ =, , ‬با یک مقداری‬
‫باشد‪.‬‬
‫این فرض مخالف فرض صفر است‪ ،‬یعنی اگر فرض صفر رد‬
‫)‪ (reject‬شد از فرض جایگزین استفاده میکنیم‪.‬‬
‫آماره آزمون )‪:(Test Statistic‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫آن را با ‪ H0‬نشان میدهند و باید به صورت ‪ =, , ‬با یک مقداری‬
‫باشد‪.‬‬
‫مقدار محاسبه شده از دادههای نمونهای است که تحت آن میتوان‬
‫راجع به رد فرض صفر تصمیمسازی نمود‪.‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫دنباله اصطالحات آزمون فرض‬
‫•‬
‫مثالً برای نمونههای بزرگ‪ ،‬آماره آزمون برای مقدار میانگین‬
‫عبارتست از‪:‬‬
‫‪X - mX‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪Z‬‬
‫‪n‬‬
‫•‬
‫برای نمونههای کوچک‪ ،‬آماره آزمون برای مقدار میانگین‬
‫عبارتست از‪:‬‬
‫‪X - m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫‪4‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫= ‪t‬‬
‫دنباله اصطالحات آزمون فرض‬
‫ناحیه بحرانی )‪(Critical Region‬‬
‫‪Critical‬‬
‫‪Region‬‬
‫دنباله اصطالحات آزمون فرض‬
‫ناحیه بحرانی )‪(Critical Region‬‬
‫‪Critical‬‬
‫‪Region‬‬
‫دنباله اصطالحات آزمون فرض‬
‫ناحیه بحرانی )‪(Critical Region‬‬
‫‪Critical‬‬
‫‪Regions‬‬
‫سطح معنیدار )‪(Significance Level‬‬
‫‪ ‬آن را با ‪ ‬نشان میدهند‪.‬‬
‫‪ ‬احتمال این که آماره آزمون در ناحیه بحرانی قرار گیرد‪.‬‬
‫‪ ‬معموالً ‪ 0.05, 0.01, 0.10‬را در نظر میگیرند‪.‬‬
‫‪Fail to reject H0‬‬
‫‪8‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪Reject H0‬‬
‫‪Critical Value‬‬
‫) ‪( z score‬‬
Two-tailed Test
H0: µ = 100
H1: µ  100
 is divided equally between
the two tails of the critical region
Means less than or greater than
Reject H0
Fail to reject H0
Reject H0
100
Values that differ significantly from 100
Right-tailed Test
H0: µ  100
H1: µ > 100
Points Right
Fail to reject H0
100
Reject H0
Values that
differ significantly
from 100
Left-tailed Test
H0: µ  100
H1: µ < 100
Points Left
Reject H0
Values that
differ significantly
from 100
Fail to reject H0
100
Conclusions in Hypothesis Testing
• always test the null hypothesis
1. Reject the H0
2. Fail to reject the H0
‫مثال‬
‫‪ ‬درجه حرارت ‪ 106‬فرد سالم اندازهگیری شده است‪.‬‬
‫میانگین برابر ‪ 98.2‬و ‪ s=0.62‬است‪ .‬در سطح معنیدار‬
‫بودن ‪ 0.05‬ادعای مقدار ‪ 98.6‬برای میانگین جامعه‬
‫آزمون ‪-‬کنید‪.X‬‬
‫‪m‬‬
‫= ‪Z‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ Steps:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪• Set up Claim, H0, H1‬‬
‫‪98.2 - 98.6‬‬
‫=‬
‫‪0.62‬‬
‫‪106‬‬
‫‪= - 6.64‬‬
‫‪13‬‬
‫= ‪Claim: ‬‬
‫‪H0 :  = 98.6o‬‬
‫‪H1 :   98.6o‬‬
‫‪98.6o‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪•  = 0.05 was given‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق ‪• Test Statistic‬‬
Determine critical region(s) and
critical value(s)
 = 0.05
/2 = 0.025 (two tailed test)
0.4750
0.025
z = - 1.96
0.4750
0.025
1.96
6) Draw graph and include the test statistic, critical
region
value(s), and critical
Fail to
Reject
H 0: µ =
98.6
Reject
H0: µ = 98.6
Sample data:
x = 98.2o
or
Reject
H0: µ = 98.6
z = - 6.64
z = - 1.96
µ = 98.6
or z = 0
z = - 6.64
z = 1.96
‫خطای نوع اول و دوم (‪)1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫خطای نوع اول‪ :‬فرض صفر (‪ )H0‬درست است‪ ،‬اما به‬
‫اشتباه آن را رد کردهایم‪.‬‬
‫مقدار ‪ ‬نشاندهنده خطای نوع اول است‪.‬‬
‫مثال‪ :‬دمای متوسط جامعه برابر با ‪ 98.6‬بوده است‪ ،‬اما‬
‫به اشتباه این فرض رد شده است‪.‬‬
‫خطای نوع دوم‪ :‬فرض صفر (‪ )H0‬درست نیست‪ ،‬اما به‬
‫اشتباه آن را رد نکردهایم‪.‬‬
‫مثال‪ :‬دمای متوسط جامعه برابربا ‪ 98.6‬نبوده است‪ ،‬اما‬
‫به اشتباه این فرض رد نشده است‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫نمایش جدول خطای نوع اول و دوم (‪)2‬‬
‫درستی فرض راجع به جامعه‬
‫‪Ha true‬‬
‫‪H0 true‬‬
‫خطای نوع اول ‪‬‬
‫تصمیم درست‬
‫خطای نوع دوم‬
‫‪( ‬فرض صفر‬
‫غلط پذیرفته شده‬
‫است‪).‬‬
‫‪17‬‬
‫(فرض صفر‬
‫درست‪ ،‬رد شده‬
‫است‪).‬‬
‫تصمیم درست‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪Reject H0‬‬
‫‪Accept H0‬‬
‫تصمیم‬
‫بر‬
‫اساس‬
‫نمونهها‬
‫آزمون راجع به واریانس‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫آماره آزمون‬
‫‪ :n‬اندازه نمونه‬
‫‪ :S2‬واریانس نمونه‬
‫‪ :2‬واریانس جامعه‬
‫‪18‬‬
‫‪(n - 1)S 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫= ‪c2‬‬
‫مثال‬
‫‪ ‬ارتفاع سنج یک هواپیما در اندازهگیری دچار خطا است‪.‬‬
‫انحراف معیار این خطاها برابر ‪ 43.7‬میباشد‪ .‬دستگاه‬
‫جدید ارتفاعسنجی نصب شده و با آن ‪ 81‬اندازهگیری‬
‫انجام شده است و انحراف معیار خطای اندازهگیری برابر‬
‫‪ 52.3‬است‪ .‬با سطح معنیدار بودن ‪ 0.05‬آیا تفاوتی‬
‫محسوسی بین انحراف معیار خطاهای دستگاه جدید با‬
‫‪ = 0.05‬‬
‫دستگاه= قدیم‪2‬‬
‫‪0.025‬‬
‫وجود دارد‪.‬‬
‫‪ Claim:  43.7‬‬
‫‪‬‬
‫‪H0: = 43.7‬‬
‫‪‬‬
‫‪H1:  43.7‬‬
‫‪19‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫دنباله مثال‬
‫‪» 114.586‬‬
‫‪(81 - 1)(52.3)2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪43.7‬‬
‫=‬
‫‪(n - 1)S 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫= ‪c2‬‬
‫‪0.975‬‬
‫‪n = 81‬‬
‫‪df = 80‬‬
‫‪0.025‬‬
‫‪0.025‬‬
‫‪106.629‬‬
‫‪Reject H0‬‬
‫‪20‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪57.153‬‬
‫آزمون بین دو میانگین‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫بسیار مهم و اساسی است که بتوان بین دو نمونه متفاوت‬
‫مقایسهای انجام داد‪.‬‬
‫برای این کار بررسی بین میانگین دو نمونه انجام‬
‫میشود‪.‬‬
‫در اینجا دو نمونه به لحاظ آماری از هم مستقل هستند و‬
‫اندازه آنها نیز بزرگ است یعنی ‪ n1>30‬و ‪n2>30‬‬
‫آماره آزمون عبارتست از)‪(X - X ) - (m - m :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s 22‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪21‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪s 12‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪Z‬‬
‫‪Coke Versus Pepsi‬‬
‫در جدول زیر اندازه نمونهها و متوسط و انحراف معیار وزن نوشابههای‬
‫عادی دو کارخانه نوشابه سازی را نشان داده است‪ .‬با سطح معنیدار‬
‫بودن ‪ 0.01‬ادعای متفاوت بودن متوسط وزنها را بررسی کنید‪.‬‬
‫‪Regular Pepsi‬‬
‫‪Regular Coke‬‬
‫‪n‬‬
‫‪36‬‬
‫‪36‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0.81682‬‬
‫‪0.82410‬‬
‫‪s‬‬
‫‪0.007507‬‬
‫‪0.005701‬‬
‫دنباله مثال‬
Claim: 1  2
Ho :  1 =  2
H1 :  1   2
 = 0.01
Reject H0
Z = - 2.575
Fail to reject H0
1 -  = 0
or Z = 0
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
Reject H0
Z = 2.575
23
‫دنباله مثال‬
‫‪= - 4.63‬‬
‫‪(0.81682 - 0.82410) - 0‬‬
‫‪0.0075072 0.0057012‬‬
‫‪+‬‬
‫‪36‬‬
‫‪36‬‬
‫‪24‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫= ‪Z‬‬