Transcript modul 3 ukuran pemusatan data

UKURAN
PEMUSATAN DATA
Oleh : Firmansyah, S.Kom
MODUL
3
A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN
PEMBELAJARAN
1. Tema
:
Ukuran Pemusatan Data
2. Fokus
Pembahasan
Materi Pokok
:
1. Arti dan manfaat ukuran pemusatan data
2. Rata-rata hitung, median dan modus
3. Kuartil, desil dan persentil
3. Tujuan
Kegiatan
Pembelajaran
:
1. Mahasiswa mampu memahami arti dan manfaat
dari beberapa ukuran pemusatan data.
2. Mahasiswa mampu menggunakan rumus-rumus
ukuran pemusatan data.
3. Mahasiswa mampu menghitung beberapa
ukuran pemusatan data.
4. Mahasiswa mampu mengetahui jenis-jenis
ukuran pemusatan data.
Ukuran Pemusatan Data
• Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang
menunjukkan dimana suatu data memusat atau
suatu kumpulan pengamatan memusat
(mengelompok)
• Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan
data untuk mempermudah peneliti membuat
interprestasi dan mengambil suatu keputusan.
Ukuran Pemusatan Data
Lanjutan . . .
Ukuran pemusatan data meliputi:
 Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean
 Modus
 Median
 Kuartil, Desil, Persentil
• Ukuran Statistik nantinya akan
mencakup data :
– Ungrouped Data
Data yang belum dikelompokkan)
– Grouped Data
Data yang telah dikelompokkan
 Tabel Distribusi Frekuensi
• Contoh Ungrouped
Data
Data Nilai Statistika 10
orang mahasiswa
78 62 34 57 89
67 55 75 73 56
• Contoh Grouped
Data
Data Nilai Statistika
100 orang mahasiswa
UKURAN PEMUSATAN
Rata-Rata Hitung
• Notasi :
– μ : rata-rata hitung populasi
– x : rata-rata hitung sampel
• Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data
μ : rata-rata hitung populasi
N : ukuran Populasi
x : rata-rata hitung sampel
n : ukuran Sampel
xi : data ke-i
CONTOH 1
• Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6
PTS, masing-masing tercatat mempunyai
banyak mahasiswa sebagai berikut :
850, 1100, 1150, 1250, 750, 900
Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di
kota A?
• Rata-Rata Populasi atau Sampel ?
Jawab :
(850  1100  1150  1250  750  900)

6000

6
  1000
6
CONTOH 2
• Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman
ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk
diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut
adalah data 6 kaleng minuman contoh yang
diperiksa :
13.5 12.5 13 12 11.5 12.5
Jawab :
(13,5  12,5  13  12  11,5  12,5)
x
6
75
x
6
x  12,5
Rata-Rata untuk Grouped Data
• Nilainya merupakan pendekatan.
• Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung
sampel
x : rata-rata hitung sampel
n : ukuran Sampel
fi : frekuensi di kelas ke-i
xi : Titik Tengah Kelas ke-i
CONTOH 3
Kelas
Titik Tengah
Kelas (xi)
Frekuensi
(fi)
fi.xi
16 – 23
19,5
10
195
24 – 31
27,5
17
467,5
32 – 39
35,5
7
248,5
40 – 47
43,5
10
435
48 – 55
51,5
3
154,5
56 – 63
59,5
3
178,5
50
1679
Jumlah (∑)
Perhatikan tabel diatas. Tentukan rata-rata hitungnya!
1679
Jawab : x 
50
x  33,58
METODE CODING
• Metode Coding
Metode ini untuk mempermudah perhitungan,
dengan penyederhanaan angka
M = Titik Tengah Kelas yang diberi kode 0 (ui=0)
ui = Kode
i (c) = Interval Kelas
PERHITUNGAN DENGAN METODE CODING
• Langkah :
1. Buat kolom, beri judul "ui“
2. Pilih salah satu kelas (sembarang), beri angka 0
pada kolom ui,(biasanya dipilih kelas dengan
frekuensi tertinggi)
3. Isi kolom Ui diatas 0 dengan –1, -2, -3, dst, dan
dibawah 0 dengan angka 1, 2, 3, dst.
4. Buat kolom fi * ui , isi dengan hasil perkalian antara
frekuensi kelas dengan kode
CONTOH 4
Tabel data file (dalam Kb)
Jawab : x  27,5  8 38 
 50 
x  27,5  6,08
x  33,58
MODUS
• Nilai yang paling sering muncul
• Nilai yang frekuensinya paling tinggi
• Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Contoh
Berat 5 orang bayi :
3.6 3.5 2.9 3.1 3.0  Tidak Ada Modus
• Bisa terjadi data tanpa modus
Contoh
Umur Mahasiswa (th) :
19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17
Modus : 18 dan 19
MODUS UNTUK UNGROUPED DATA
Modus untuk Ungrouped Data
• Contoh :
Sumbangan PMI warga Depok (Rp)
7500
8000
9000
8000
3000
5000
8000
• Modus : Rp. 8000
MODUS UNTUK GROUPED DATA
Modus untuk Grouped Data
• Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada
• Kelas dengan frekuensi tertinggi
TBB = Tepi Batas Bawah
d1
= Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi
Kelas sebelumnya
d2
= Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi
Kelas sesudahnya
i
= interval kelas
Kelas Modus = kelas dengan frekuensi paling tinggi
MODUS UNTUK GROUPED DATA
Kelas
Frekuensi
16 – 23
10
24 – 31
17
32 – 39
7
40 – 47
10
48 – 55
3
56 – 63
3
Jumlah (∑)
50
Kelas Modus = kelas ke-2 =24-31
23+24
TBB Kelas Modus =
= 23,5
2
i=8
frek, kelas modus = f2 = 17
frek, kelas sebelum kelas modus = f1 = 10
frek, kelas sesudah kelas modus = f3 = 7
d1 = 17-10 = 7
d2 = 17-7 = 10
Jawab :
 7 
Modus  23,5  8

 7  10 
 23,5  3,29
 26,79
 27
MEDIAN
Median  Nilai yang membagi gugus data yang telah
tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
MEDIAN untuk Ungrouped Data
• Letak Median  Letak Median dalam gugus data yang
telah tersortir
n : banyak data
CONTOH 5 :
1. Tinggi Badan 5 mahasiswa (centimeter) :
175 178 160 173 178
Sorted :
160 173 175 178 178
n=5
Letak Median = (5+1) / 2 = 3
Median = Data ke-3 = 175
2. Tinggi Badan 6 mahasiswa (centimeter) :
175 178 160 173 178 180
Sorted :
160 173 175 178 178 180
n=6
Letak Median = (6+1) / 2 = 3,5
Median = (Data ke-3 + Data ke-4) / 2 = (175+178)/2 = 176.5
MEDIAN untuk Grouped Data
• Kelas Median : Kelas di mana Median berada
• Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak
Median dengan Frekuensi Kumulatif
di mana :
TBB : Tepi Batas Bawah
i
: interval kelas
fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median
f M : Frekuensi kelas Median
MEDIAN UNTUK GROUPED DATA
Kelas
Frekuensi
16 – 23
10
24 – 31
17
32 – 39
7
40 – 47
10
48 – 55
3
56 – 63
3
Jumlah (∑)
50
𝑛
50
Letak median = =
= 25
2
2
Median = data ke-25 terletak dikelas 24-31
Kelas Median = kelas ke-2 =24-31
23+24
TBB Kelas Median =
= 23,5
2
i =8
f M =17
Frek kumulatif sebelum kelas median= 10
Jawab :
 50

 10 


Median  23,5  8 2
 17 




 23,5  8 * 0,8823
 23,5  7,0588
 30,5588
 30,6
KUARTIL
• Nilai yang membagi gugus data yang telah
tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang
sama besar
• Kuartil Untuk Ungrouped Data
CONTOH SOAL
Berikut ini adalah data upah dari
13 karyawan dalam ribuan
rupiah, yaitu
40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60,
80, 35, 85, 95, 100
Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.
PENYELESAIAN
• Pertama-tama data diurutkan dahulu :
X1=30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50,
X6=55, X7=60, X8=65, X9=70, X10=80,
X11=85, X12=95, X13=100.
• Q1 = t(n + 1)
4
= 1(13 + 1)
4
= 3½
Nilai yang ke-3½, berarti rata-rata dari X3
dan X4  (40+45)/ 2 = 42.5
Q2 = t(n + 1)
4
= 2(13 + 1)
4
= 7, nilai X7 = 60
Q3 = t(n + 1)
4
= 3(13 + 1)
4
= 10 ½, berarti rata-rata dari X10 dan X11
nilai Q3 = ½ (X10 + X11)
= ½ (80 + 85) = 82,5
Kuartil Untuk Grouped Data
Kuartil ke-q=
TBB Kelas Kuartil ke-q + i
𝑞𝑛
−𝑓𝑘𝑚
4
𝑓𝑄
Dimana :
q
: 1, 2 dan 3
TBB : Tepi Batas Bawah
i
: interval kelas
fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Kuartil
fQ
: Frekuensi kelas Kuartil ke-q
Contoh Kuartil Untuk Grouped Data
Kelas
Frekuensi
Frek
kumulatif
16 – 23
10
10
24 – 31
17
27
32 – 39
7
34
40 – 47
10
44
48 – 55
3
47
56 – 63
3
50
Jumlah
(∑)
50
------
3𝑛
3∗50
Letak kuartil ke-3 = 4 = 4 = 37,5
Kuartil ke-3 = data ke-37,5
terletak dikelas 40-47
Kelas Kuartil ke-3 = 40-47
TBB Kelas kuartil ke -3 = 39,5
i =8
f Q =10
Frek kumulatif sebelum kelas kuartil = 34
Jawab :
 3 * 50


34


4

Q3  39,5  8
10






 37,5  34 
 39,5  8

10


3,5
 39,5  8 *
10
 39,5  2,8
 42,3
DESIL
• Desil  Nilai yang membagi gugus data yang
telah tersortir (ascending) menjadi 10
bagian yang sama besar
Desil ke-d =
TBB Kelas Desil ke-d + i
𝑑𝑛
−𝑓𝑘𝑚
10
𝑓𝐷
Dimana :
d
: 1, 2, 3 . . . 9
TBB : Tepi Batas Bawah
i
: interval kelas
fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Desil
fD
: Frekuensi kelas Desil ke-d
Contoh Soal Desil
Kelas
Frekuensi
Frek
kumulatif
16 – 23
10
10
24 – 31
17
27
32 – 39
7
34
40 – 47
10
44
48 – 55
3
47
56 – 63
3
50
Jumlah
(∑)
50
------
9𝑛
9∗50
Letak Desil ke-9 = 10 = 10 = 45
Desil ke-9 = data ke-45
terletak dikelas 48-55
Kelas Desil ke-9 = 48-55
TBB Kelas desil ke -9 = 47,5
i =8
fD=3
Frek kumulatif sebelum kelas desil = 44
Jawab :
 9 * 50


44


10

D9  47,5  8
3






 45  44 
 47,5  8

3


1
 47,5  8 *
3
 47,5  2,66
 50,16
PERSENTIL
Persentil  Nilai yang membagi gugus data yang
telah tersortir (ascending) menjadi 100
bagian yang sama besar
Persentil ke-p =
TBB Kelas Persentil ke-p + i
𝑝𝑛
−𝑓𝑘𝑚
100
𝑓𝑃
Dimana :
p
: 1, 2, 3 . . . 99
TBB : Tepi Batas Bawah
i
: interval kelas
fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Persentil
fP
: Frekuensi kelas Persentil ke-p
Contoh Soal Persentil
Kelas
Frekuensi
Frek
kumulatif
16 – 23
10
10
24 – 31
17
27
32 – 39
7
34
40 – 47
10
44
48 – 55
3
47
56 – 63
3
50
Jumlah
(∑)
50
------
56𝑛
Letak Persentil ke-56 = 100 =
Persentil ke-56 = data ke-28
terletak dikelas 32-39
Kelas Persentil ke-56 = 32-39
56∗50
100
= 28
TBB Kelas persentil ke -56 = 31,5
i =8
fP=7
Frek kumulatif sebelum kelas persentil = 27
Jawab :
 56 * 50


27


100

P56  31,5  8
7






 28  27 
 31,5  8

7


1
 31,5  8 *
7
 31,5  1,14
 32,64
soal
Dari data berikut :
38 67
38 36
43 120
85
47
70
95
49
67
96
89
91
76 125 150 158 120
70 120 80 85 93
111
25 74 50 100
Buatlah:
 Tabel Distribusi Frekuensi
 Hitung mean, median, modus (data berkelompok)
 Hitung Q3, D7, P82 (data berkelompok)