Transcript 2.kuartil,desil,persentil,SD

Probabilitas dan Statistika
UKURAN PENYEBARAN DATA
Pengertian



Ukuran dari serangkaian atau sekelompok data
yang menunjukkan seberapa jauh nilai-nilai dari
sekelompok data tersebut menyimpang dari nilai
rata-ratanya.
Bila dalam sekelompok data penyebarannya kecil,
maka data bersifat homogen.
Bila dalam sekelompok data penyebarannya besar,
maka data bersifat heterogen.
A. Daerah Jangkauan (Range)
Adalah : selisih antara nilai terbesar dan nilai
terkecil dari serangkaian data
J = Xmax - Xmin
1. Range data tunggal
ket :
J
= daerah jangkauan (Range)
Xmax = nilai terbesar
Xmin = nilai terkecil

Contoh : Apabila ada 6 orang mahasiswa mengikuti
ujian praktikum dengan nilai masing-masing : 80,
70, 90, 50, 85, 60. Hitung nilai jangkauannya !
Jawab :
J = Xmax - Xmin
J = 90 – 50 = 40
Jk = Bmax - Bmin
1. Range data berkelompok
ket :
Jk = daerah jangkauan (Range)
Bmax = batas atas kelas dari kelas tertinggi
Bmin = batas bawah kelas dari kelas terendah
Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika
mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP
semester juli-desember 2011 :
No. Kelas
1
2
3
4
5
6
7
Interval Kelas
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
75-84
85-94
Frekuensi
6
8
11
14
12
8
6
65
Jawab :
Jk = Bmax - Bmin
Jk = 94 – 25 = 69
B. Simpangan Rata-rata (SR)
Adalah nilai rata-rata dari harga mutlak semua
simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya.
 Harga mutlak (absolut) : setiap nilai negatif dianggap
positif
1. Simpangan rata-rata data tunggal
SR = Simpangan rata-rata
X = data pengamatan
X = rata-rata

Contoh :
Data nilai probabilitas dan statistik mahasiswa :
50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80
Hitung simpangan rata-rata !
Jawab :
a. Hitung Nilai rata-rata
b. Hitung selisih antara nilai Xi dengan nilai rata-rata
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nilai (Xi)
Rata-rata ( )
50
64
40
64
70
64
75
64
75
64
80
64
65
64
75
64
30
64
80
64
Jumlah
14
24
6
11
11
16
1
11
34
16
∑ = 144
c. Hitung simpangan rata-rata (SR)
Jadi, dapat diartikan bahwa terjadi penyimpangan
sebesar 14,4 terhadap nilai rata-ratanya.
2. Simpangan rata-rata data berkelompok
ti = titik tengah
Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika
mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP
semester juli-desember 2011 :
No. Kelas
1
2
3
4
5
6
7
Interval Kelas
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
75-84
85-94
Hitung nilai simpangan rata-rata !
Frekuensi
6
8
11
14
12
8
6
65
Jawab :
Tentukan titik tengah :
Kelas ke-1 ti = (25+34) / 2 = 29,5
 Kalikan frekuensi dengan titik tengah
Misal kelas ke-1 : f.ti = 6 x 29,5 = 177
 Hitung nilai rata-rata


Tentukan nilai
Misal kelas ke-1 :


Kalikan frekuensi dengan
Misal kelas ke-1 :
Nilai Frekuensi
Interval
(fi)
25 – 34
35 – 44
45 – 54
55 – 64
65 – 74
75 – 84
85 – 94
6
8
11
14
12
8
6
∑ = 65
Titik
tengah
(Ti)
29,5
39,5
49,5
59,5
69,5
79,5
89,5
f. ti
177
316
545
833
834
636
537
∑ = 3878
59,7
59,7
59,7
59,7
59,7
59,7
59,7
30,2
20,2
10,2
0,2
9,8
19,8
29,8
181,2
161,6
112,2
2,8
117,6
158,4
178,8
∑ = 912,6

Hitung Simpangan rata-rata :
C. Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Adalah nilai yang menunjukkan tingkat variasi
kelompok data atau ukuran standar penyimpangan
dari nilai rata-ratanya.
 Lambang SD untuk populasi : σ (tho)
 Lambang SD untuk sampel : s
1. Simpangan baku data tunggal :
a. Kategori sampel :

b. Kategori populasi :
Keterangan :
s = standar deviasi sampel
σ = standar deviasi populasi
Xi = data pengukuran
n = jumlah data
Contoh :
Data nilai probabilitas dan statistik mahasiswa :
50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80
Hitung simpangan baku (SD) !
Jawab :
a. Hitung Nilai rata-rata
b. Hitung selisih antara nilai Xi dengan nilai rata-rata
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nilai (Xi)
Rata-rata ( )
50
64
40
64
70
64
75
64
75
64
80
64
65
64
75
64
30
64
80
64
Jumlah
196
576
36
121
121
256
1
121
1156
256
∑ = 2840
c. Hitung nilai standar deviasi :
2. Simpangan Baku data berkelompok :
a. Kategori sampel :
b. Kategori populasi :
Keterangan :
s = standar deviasi sampel
σ = standar deviasi populasi
Xi = data pengukuran
n = jumlah data
Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika
mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP
semester juli-desember 2011 :
No. Kelas
1
2
3
4
5
6
7
Interval Kelas
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
75-84
85-94
Hitung nilai simpangan baku (SD) !
Frekuensi
6
8
11
14
12
8
6
65
Jawab :
Tentukan titik tengah :
Kelas ke-1 ti = (25+34) / 2 = 29,5
 Kalikan frekuensi dengan titik tengah
Misal kelas ke-1 : f.ti = 6 x 29,5 = 177
 Kuadratkan ti (ti2)
Misal kelas ke-1 : (ti2) = (29,5)2 = 870,3
 Kalikan f dengan (ti2) = 6 x 870,3 = 5221,5

Nilai
Frekuensi Titik
interval (fi)
tengah (Ti)
f. ti
(t1)2
f. (t1)2
25 – 34 6
29,5
177
870,3
5221,5
35 – 44 8
39,5
316
1560
12482
45 – 54 11
49,5
545
2450
26952,8
55 – 64 14
59,5
833
3540
49563,5
65 – 74 12
69,5
834
4830
57963
75 – 84 8
79,5
636
6320
50562
85 – 94 6
89,5
537
8010
48061,5
∑ = 65
∑ = 3877,5
∑ = 250806

Tentukan SD :
D. Koefisien Varians (KV)

Adalah perbandingan antara standar deviasi dengan
harga rata-rata (mean) dinyatakan dalam persen (%).
Tujuan : untuk mengetahui tingkat keseragaman data
Semakin kecil nilai KV semakin seragam data tersebut,
dan sebaliknya.
KV untuk populasi :

KV untuk sampel :



Contoh :
Data nilai probabilitas dan statistik mahasiswa :
50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80, 30, 80, 90, 75, 60
Hitung koefisien varians (KV) !
Jawab :
a. Hitung Nilai rata-rata

Buat tabel penolong :
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Nilai (Xi)
50
40
70
75
75
80
65
75
30
80
30
80
90
75
60
Jumlah
Rata-rata ( )
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
225
625
25
100
100
225
0
100
1225
225
1225
225
625
100
25
∑ = 5050

Hitung SD :

Hitung KV :
E. Kuartil
1. Kuartil : adalah sekumpulan data yang telah disusun mulai
dari yang terkecil sampai yang terbesar, kemudian dibagi
menjadi empat bagian yang sama.
Ada 3 jenis kuartil : kuartil bawah (K1), kuartil tengah (K2), dan
kuartil atas (K3)
a. Kuartil data tunggal
Langkah menghitung kuartil data tunggal :
1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar
2. Tentukan letak kuartil
3. Tentukan nilai kuartil
Nilai kuartil dapat ditentukan dengan rumus :
i (n + 1)
Ki = ------------4
Ket :
Ki = nilai kuartil
LKi = letak kuartil
n = data
Contoh : Data nilai statistik 10 orang mahasiswa : 50, 40,
70, 77, 75, 80, 65, 30, 85, 82. Hitung nilai K1,K2,dan K3
Jawab :
a. Susunan data : 30,40,50,65,70,75,77,80,82,85
b. Letak kuartil = LKi = 1, 2, 3
1 (10 + 1)
c. Nilai kuartil bawah K1 :
K1 = ------------- = 2,75
4
Letak K1 = antara data ¾ dari data ke-2 dan ke-3
K1 = data ke-2 + 0,75 (data ke-3 – data ke-2)
K1 = 40 + 0,75 (50-40)
K1 = 47,5
Nilai kuartil tengah K2 :
2 (10 + 1)
K2 = ------------- = 5,5
4
Letak K2 = antara ½ dari data ke-5 dan ke-6
K2 = data ke-5 + 0,5 (data ke-6 – data ke-5)
K2 = 70 + 0,5 (75-70)
K1 = 72,5
Nilai kuartil atas K3 :
3 (10 + 1)
K3 = ------------- = 8,25
4
Letak K3 = antara ¼ dari data ke-8 dan ke-9
K3 = data ke-8 + 0,25 (data ke-9 – data ke-8)
K3 = 80 + 0,25 (82-80)
K3 = 80,5
b. Kuartil data berkelompok
Letak kuartil ke-i untuk data kelompok (LKi) :
i.n/4 - Jf
Ki = Bb + P ( -------------)
f
Ket :
Ki = nilai kuartil ke-i
Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai kuartil
P = panjang kelas
i = letak kuartil ke – I
Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum
kelas kuartil
Langkah-langkah menghitung nilai kuartil data
berkelompok :
a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur kuartil
dengan rumus : LKi / 4 x (n)
b. Menentukan batas bawah kelas kuartil (Bb )
c. Menentukan panjang kelas kuartil (P)
d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil (Jf)
e. Menentukan banyak frekuensi kelas kuartil (f)
f. Menghitung nilai kuartil
Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika
mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP
semester juli-desember 2011 :
No. Kelas
1
2
3
4
5
6
7
Interval Kelas
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
75-84
85-94
Hitung nilai K1,K2,dan K3
Frekuensi
6
8
11
14
12
8
6
65
1. Nilai Kuartil Bawah (K1)
i/4 x n = ¼ x 65 = 16,25
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 16,25
= 6 + 8 + 11 = 25
jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas ke-3
Bb = 45 – 0,5 = 44,5
P = 45 s.d 54 = 9
f = 11
Jf = 6 + 8 = 14
i.n/4 - Jf
Ki = Bb + P ( -------------)
f
K1
1.65 / 4 - 14
= 44,5 + 9 (------------------)
11
= 44,5 + 9 (0,2045)
= 46,3
2. Nilai Kuartil Tengah (K2)
i/4 x n = 2/4 x 65 = 32,5
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 32,5
= 6 + 8 + 11 + 14 = 39
jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas ke-4
Bb = 55 – 0,5 = 54,5
P = 55 s.d 64 = 9
f = 14
Jf = 6 + 8 + 11= 14
i.n/4 - Jf
Ki = Bb + P ( -------------)
f
K2
2.65 / 4 - 25
= 54,5 + 9 (------------------)
14
= 54,5 + 9 (0,536)
= 59,3
3. Nilai Kuartil Atas (K3)
i/4 x n = ¾ x 65 = 47,8
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 47,8
= 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51
jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas ke-5
Bb = 65 – 0,5 = 64,5
P = 65 s.d 74 = 9
f = 12
Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39
i.n/4 - Jf
Ki = Bb + P ( -------------)
f
K3
3.65 / 4 - 39
= 64,5 + 9 (------------------)
11
= 64,5 + 9 (0,813)
= 71,8
F. Desil
2. Desil, sekumpulan data yang telah disusun mulai
dari yang terkecil sampai yang terbesar, dibagi
menjadi sepuluh bagian yang sama.
Disimbolkan dengan D1, D2, …, D9.
a. Desil data tunggal
Langkah menghitung desil data tunggal :
1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar
2. Tentukan letak desil
3. Tentukan nilai desil
Nilai desil dapat ditentukan dengan rumus :
i (n + 1)
Di = ------------10
Ket :
Di = nilai desil
i = desil ke-i
n = data
Contoh : Data nilai statistik 10 orang mahasiswa : 50, 40,
70, 77, 75, 80, 65, 30, 85, 82. Hitung nilai D1,D2,dan D3
Jawab :
a. Susunan data : 30,40,50,65,70,75,77,80,82,85
b. Letak desil = LDi = 1, 2, 3, 4, … 9
1 (10 + 1)
c. Nilai desil D1 :
D1 = ------------- = 1,1
10
Letak D1 = antara data ke-1 dan ke-2
D1 = data ke-1 + 0,1 (data ke-2 – data ke-1)
D1 = 30 + 0,1 (40-30)
D1 = 33
Nilai desil D5 :
5 (10 + 1)
D5 = ------------- = 5,5
10
Letak D5 = antara data ke-5 dan ke-6
D5 = data ke-5 + 0,5 (data ke-6 – data ke-5)
D5 = 70 + 0,5 (75-70)
D5 = 72,5
Nilai desil D9 :
9 (10 + 1)
D9 = ------------- = 9,9
10
Letak D9 = antara data ke-9 dan ke-10
D9 = data ke-9 + 0,9 (data ke-9 – data ke-10)
D9 = 82 + 0,9 (85-82)
D9 = 84,7
b. Desil data berkelompok
Letak desil ke-i untuk data kelompok (LDi) :
i.n/10 - Jf
Di = Bb + P ( -------------)
f
Ket :
Di = nilai desil ke-i
Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai desil
P = panjang kelas
i = letak desil ke – i
Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum
kelas desil
Langkah-langkah menghitung nilai desil data berkelompok:
a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur desil
dengan rumus : i/10 x n
b. Menentukan batas bawah kelas desil (Bb )
c. Menentukan panjang kelas desil (P)
d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas desil (Jf)
e. Menentukan banyak frekuensi kelas desil (f)
f. Menghitung nilai desil
Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika
mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP
semester juli-desember 2011 :
No. Kelas
1
2
3
4
5
6
7
Interval Kelas
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
75-84
85-94
Hitung nilai D3,D6,dan D9
Frekuensi
6
8
11
14
12
8
6
65
1. Nilai desil 3 (D3)
i/10 x n = 0,3 x 65 = 19,5
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 19,5
= 6 + 8 + 11 = 25
jadi, kelas desil 3 terletak di kelas ke-3
Bb = 45 – 0,5 = 44,5
P = 45 s.d 54 = 9
f = 11
Jf = 6 + 8 = 14
i.n/10 - Jf
Di = Bb + P ( -------------)
f
D1
3.65 / 10 - 14
= 44,5 + 9 (------------------)
11
= 44,5 + 9 (0,5)
= 49
2. Nilai desil 6 (D6)
i/10 x n = 0,6 x 65 = 39
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 39
= 6 + 8 + 11 + 14 = 39
jadi, kelas desil 6 terletak di kelas ke-4
Bb = 55 – 0,5 = 54,5
P = 55 s.d 64 = 9
f = 14
Jf = 6 + 8 + 14 = 25
i.n/10 - Jf
Di = Bb + P ( -------------)
f
D6
6.65 / 10 - 25
= 54,5 + 9 (------------------)
14
= =54,5 + 9 (1)
= 63,5
3. Nilai desil 9 (D9)
i/10 x n = 0,9 x 65 = 58,5
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 58,5
= 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51
jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas ke-5
Bb = 65 – 0,5 = 64,5
P = 65 s.d 74 = 9
f = 12
Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39
i.n/10 - Jf
Di = Bb + P ( -------------)
f
D9
9.65 / 10 - 39
= 64,5 + 9 (------------------)
12
= 64,5 + 9 (1,625)
= 79,125
G. Persentil
3. Persentil, sekumpulan data yang telah disusun
mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar,
dibagi menjadi seratus bagian yang sama.
Disimbolkan dengan P1, P2, …, P99.
a. Persentil data tunggal
Langkah menghitung Persentil data tunggal :
1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar
2. Tentukan letak Persentil
3. Tentukan nilai Persentil
Nilai Persentil data tunggal dapat ditentukan dengan
rumus :
i (n + 1)
Pi = ------------10
Ket :
Pi = nilai Persentil
i = Persentil ke-i
n = data
b. Persentil data berkelompok
Letak Persentil ke-i untuk data kelompok (LDi) :
i.n/100 - Jf
Pi = Bb + P ( ---------------)
f
Ket :
Di = nilai Persentil ke-i
Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai Persentil
P = panjang kelas
i = letak Persentil ke – i
Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum
kelas Persentil
Langkah-langkah menghitung nilai Persentil data
berkelompok:
a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur
Persentil dengan rumus : i/100 x n
b. Menentukan batas bawah kelas Persentil (Bb )
c. Menentukan panjang kelas Persentil (P)
d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil
(Jf)
e. Menentukan banyak frekuensi kelas Persentil (f)
f. Menghitung nilai Persentil
Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika
mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP
semester juli-desember 2011 :
No. Kelas
1
2
3
4
5
6
7
Interval Kelas
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
75-84
85-94
Hitung nilai P10, P50, dan P90
Frekuensi
6
8
11
14
12
8
6
65
1. Nilai Persentil 10 (P10)
i/10 x n = 10/100 x 65 = 6,5
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 6,5
jadi, kelas Persentil 10 terletak di kelas ke-1
Bb = 25 – 0,5 = 24,5
P = 25 s.d 34 = 9
f =6
Jf = 6
i.n/100 - Jf
Pi = Bb + P ( ---------------)
f
P10
10.65/100 - 6
= 24,5 + 9 (--------------------)
6
= 25,25
2. Nilai Persentil 50 (P50)
i/100 x n = 50/100 x 65 = 32,25
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 32,25
= 6 + 8 + 11 = 25
jadi, kelas Persentil 50 terletak di kelas ke-3
Bb = 45 – 0,5 = 44,5
P = 45 s.d 54 = 9
f = 11
Jf = 6 + 8 = 14
i.n/100 - Jf
Pi = Bb + P ( ---------------)
f
P50
50.65/100 - 14
= 44,5 + 9 (--------------------)
11
= 59,6
3. Nilai Persentil 90 (P90)
i/100 x n = 90/100 x 65 = 58,5
Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 58,5
= 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51
jadi, kelas Persentil bawah terletak di kelas ke-5
Bb = 65 – 0,5 = 64,5
P = 65 s.d 74 = 9
f = 12
Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39
i.n/100 - Jf
Pi = Bb + P ( ---------------)
f
P10
90.65/100 - 39
= 64,5 + 9 (--------------------)
12
= 79,1
LATIHAN
1. Data berikut menunjukkan hasil pengukuran
tegangan dari 15 kali percobaan :
62, 57, 65, 70, 53, 52, 48, 56, 55, 57, 57, 65, 70,
53, 52. Carilah nilai kuartil bawah, kuartil tengah,
dan kuartil atas.
2. Nilai ujian probabilitas dan statistika yang diikuti
oleh 83 mahasiswa jurusan Teknik Elektro FT UNP
adalah :
Carilah nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas.
No. Kelas
1
2
3
4
5
6
7
Interval Kelas
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
75-84
85-94
Frekuensi
5
10
13
16
19
12
8
83
3. Data berikut menunjukkan hasil pengukuran arus
pada suatu percobaan dalam mata kuliah
rangkaian listrik : 162, 157, 163, 170, 153, 152,
148, 155, 155, 157, 159, 165, 70, 150, dan 158
mA. Hitunglah nilai D1, D5, dan D9.
4. Dari soal nomor 7, berapa nilai desil 3 (D3), desil 6
(D6), dan desil 9 (D9)
5. Dari soal nomor 7, berapa nilai persentil P10, P50,
dan P90.