Transcript Wyk??ad 1

Tomasz Szumlak, WFiIS, 01/03/2013
1
Otaczającą nas rzeczywistość poznajemy wykonując eksperymenty
• nie można ‘wymyśleć’ równań ruchu – doświadczenia
• pojęcie pomiaru jest tu zasadnicze
• w dalszym ciągu wykładu poznamy dodatkowo pojęcie jego precyzji
• analiza statystyczna może pomóc w planowaniu eksperymentu i kontroli/wyznaczeniu
precyzji jego wyniku
• X  X [jednostki] – wynik pomiaru (X może zawierać kilka składników, niektóre z
nich mogą być asymetryczne – błąd systematyczny)
• Ogólnie typy wykonywanych doświadczeń możemy podzielić na dwa
rodzaje (podział nie jest ostry, mamy tu często do czynienia z
komplementarnymi ) eksperymentami:
• chcemy wyznaczyć (oszacować) wartość pewnej wielkości fizycznej
• chcemy sprawdzić czy pewna teoria (model) jest zgodna z danymi, które
uzyskaliśmy
2
To samo możemy wyrazić używając ‘bardziej profesjonalnego’ języka
statystyki jako:
• estymacja parametrów
• testowanie hipotez
• Przykłady
• Skuteczność nowego składnika nawozu (rozkład i rozrzut)
• Badanie jakości wyprodukowanych procesorów (próbka i populacja)
• Weryfikacja modelu – wyznaczenie parametru(ów) modelu (testowanie
hipotez)
• Parametry modelu, których nie można wyznaczyć teoretycznie (rozpad
spontaniczny, dopasowanie modelu do danych)
3
Literatura (google is your friend…)
• Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w
zadaniach, W. Krysicki et al., 2005, PWN
• Zadania z probabilistyki, A. Plucińska, E. Pluciński, 1983, PWN
• Statystyka dla fizyków, R.N. Nowak, 2002, PWN (+ zbiór zadań)
• Analiza danych, S. Brandt, 1998, PWN
• Internet, Wikipedia,…
4
5
6
7
Analiza danych
Wnioskowanie statystyczne dostarcza nam narzędzi matematycznych do oceny
wiarygodności jednego, bądź kilku modeli (często konkurujących ze sobą)
• estymacja parametrów modelu
• estymacja niepewności pomiarowych
Liczymy, że nasza praca zaowocuje poprawnymi wnioskami, które opierają się na:
• próbce danych eksperymentalnych, które zebraliśmy
• wiedzy i doświadczeniu zdobytym w poprzednich eksperymentach
8
Prawdopodobieństwo i ‘rozsądne postępowanie’ (próba oceny
postępowania w oparciu o dostępne informacje i przewidywanie skutków
tego postępowania)
Decyzja X spowodowała tragiczne skutki, jednakże
podjęta została po analizie dostępnych informacji i
wydawała się być w jej świetle najlepszą z możliwych
Decyzja Y doprowadziła do szczęśliwego wyniku,
chociaż nie było żadnych przesłanek aby tego
oczekiwać
X – DOBRA
Y - ZŁA
9
W zasadzie, prawdopodobieństwo jest prostym
pojęciem – to nic innego jak zdrowy rozsądek
wyrażony poprzez odpowiedni aparat
matematyczny
Prawdopodobieństwo =? Wiarygodne wnioskowanie
Rozumowanie dedukcyjne i
Rozumowanie indukcyjne
10
Rozumowanie dedukcyjne
‘Przyczyna’
‘Możliwe skutki’
Teoria, zwykle kompletna, nie
zawierająca stwierdzeń
fałszywych
Przewidywania wysnute na
podstawie teorii
Rozumowanie indukcyjne
‘Możliwe Przyczyny’
Konkurujące teorie/modele
‘Obserwacje’
W jaki sposób podjąć decyzję, który z proponowanych modeli jest poprawny…?
11
Rozumowanie dedukcyjne
‘Przyczyna’
‘Możliwe skutki’
Teoria, zwykle kompletna, nie
zawierająca stwierdzeń
fałszywych
Przewidywania wysnute na
podstawie teorii
Rozumowanie indukcyjne
‘Możliwe Przyczyny’
Konkurujące teorie/modele
‘Obserwacje’
Który z nich jest najbardziej wiarygodny…? (Bayes – c.d.n.)
12
Układy, które nie są deterministyczne (znając odpowiednie warunki
początkowe, możemy przewidzieć zachowanie układu) nazywamy
losowymi
Opisu takich układów losowych możemy dokonać przy pomocy rachunku
prawdopodobieństwa
Pojęcia pierwotne RP (Rachunku Prawdopodobieństwa)
• Przestrzeń zdarzeń elementarnych 
• Zdarzenie elementarne ai   (ekskluzywne)
• Zdarzenie losowe A = {a1, a2,… , an}  
Przykłady
- Rzut jedną monetą, ‘orzeł’ = 0, ‘reszka’ = 1,  = {0, 1}
- Podwójny rzut monetą,  = {00, 01, 10, 11}
- Pomiar czasu życia żarówki ti [h], ti   = (0, tMAX), gdzie ti  tMAX
13
Graficzna interpretacja jest często użyteczna, np. podwójny rzut
monetą - przestrzeń i zdarzenie A: ‘wypadnie tylko jedna reszka’
A

Podwójny rzut
kostką
A
Suma oczek
wynosi 7 lub 11

14
Definicja ILOŚCIOWA (I)
• klasyczna
• jeżeli pewne zdarzenie A, może zajść na k różnych sposobów spośród
całkowitej liczby n (liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych) to
prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi k/n; zakładamy przy tym, że
wszystkie zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne
• częstościowa
• przeprowadzamy eksperyment n razy (gdzie n jest b. duże), jeżeli
interesujące nas zdarzenie A pojawiło się k razy to przyjmujemy, że
odpowiadające mu prawdopodobieństwo wynosi k/n (definicja
empiryczna)
W zasadzie, można uznać próbę za udaną, ale…
• równie prawdopodobne zdarzenia elementarne
• duże n – nie mamy w praktyce możliwości dokładnej definicji
15
Definicja AKSJOMATYCZNA Kołmogorowa (II)
• załóżmy, że zdefiniowaliśmy przestrzeń zdarzeń elementarnych ,
każdemu zdarzeniu A   możemy przyporządkować liczbę
rzeczywistą, P(A). Jeżeli spełnione są poniższe warunki (aksjomaty)
to liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A
1) Dla każdego A   : P(A)  0
2) Dla zdarzenia ‘pewnego’ S =  : P() = 1
3) Dla dowolnej liczby wykluczających się wzajemnie zdarzeń Ai
prawdziwa jest zależność:
P(A1  A2  …  Ai) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ai)
Ai  Aj = 
16
Definicja AKSJOMATYCZNA Kołmogorowa (II)
• wychodząc z powyższych aksjomatów można dowieść wszystkich
praw rachunku prawdopodobieństwa (kilkanaście dowodów na
ćwiczeniach)
• algebra zbiorów językiem RP (ćwiczenia)
• P możemy traktować formalnie jak funkcję:
P:   A  P(A)  [0, 1]  
P

1
A
0

17
Na podstawie dyskusji przeprowadzonej do tej pory jasne powinno być,
że w przypadku dyskretnych (skończonych) przestrzeni zdarzeń
elementarnych, obliczanie P(A) będzie opierało się na wyznaczeniu liczby
zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A
Z pomocą przychodzi kombinatoryka = ‘sprytny sposób liczenia’
• permutacje
• kombinacje
Różne smaki (czytaj odmiany) powyższych związane z:
• kolejność elementów ma/nie ma znaczenia
• elementy losowane są/nie są zwracane do populacji
• stosujemy tzw. podstawową regułę iloczynu
18
Permutacje
• załóżmy, że mamy do dyspozycji n rozróżnialnych obiektów, spośród
których wybieramy r i porządkujemy (wariacje bez powtórzeń)
pierwszy element możemy wybrać na n sposobów, drugi na n-1,…
dalej, korzystamy z definicji silni i dostajemy:
jeżeli r = n
Np. ile różnych ciągów 3-literowych można utworzyć spośród liter: a, b,…, g
19
Permutacje
• załóżmy teraz, że liczba obiektów, które chcemy uporządkować składa się
z: n = n1 + n2 + … nk , czyli, k zestawów elementów nierozróżnialnych
(permutacje z powtórzeniami – k elementów, z których 1 powtarza się n1
razy itd.)
Np. ile różnych permutacji można utworzyć z liter słowa MORTADELA
(proszę dokończyć…)
20
Kombinacje
• tym razem kolejność nie jest istotna abc = bac
• liczba kombinacji zbioru r elementowego wybranego z n elementów:
• łatwo pokazać (patrz permutacje), że:
Np. na ile sposobów można wylosować 3 karty spośród 8 różnych kart:
21
• Układy losowe opisujemy przy pomocy pojęcia prawdopodobieństwa
• Prawd. związane jest z ‘rozsądnym rozumowaniem’
• Miara ilościowa reprezentująca naszą ‘wiarę’ w wynik procesu losowego
• Prawd. zdefiniowane przy pomocy aksjomatów Kołmogorowa
• Formalnie funkcja przypisująca zdarzeniom liczby rzeczywiste [0, 1]
• Zasady prawd. wyrażamy w języku algebry zbiorów
• Kombinatoryka ‘sprytnym’ narzędziem do zliczania
22
23