Transcript Matematika a filozófiában

Matematika a
filozófiában
Készítette: Gábriel Anna
Városmajori Gimnázium
Felkészítő tanár: Kertai Helga
Mi a matematika?
Értelmező szótár: az anyagi világ általános összefüggéseiből mennyiségek, formák, stb - elvont fogalmakat alkotó és logikai
elemzéssel általános törvényeket megállapító tudomány.
Filozófiai megközelítések:
●
Platonizmus: matematikai objektumok tőlünk függetlenül léteznek
●
Empirizmus: minden matematikai tudást tapasztalati úton szerzünk
●
Logicizmus: a logika kiterjesztése
●
Formalizmus: “játék a betűkkel”
●
Intuicionizmus: az emberi agy produktuma
●
Strukturalizmus: a mintázatok elmélete
Mi tesz egy matematikai állítást igazzá?
Realizmus:
Matematikai platonizmus:
Intuicionizmus:
Egy matematikai állítás
akkor igaz, ha megfelel a
minket körülvevő fizikai
valóságnak
A matematika klasszikus
fogalmainak önálló létezést
tulajdonít
A matematikai objektumoknak
nincs konstrukciójuktól független
létezése –> intuíció létezése,
mely a priori adott –>
objektivitás, használhatóság
Közös: a matematikai állításoknak jelentése van
De: matematika formalista felfogása: matematikai objektumoknak nincs
jelentése! → formális rendszerek tudománya (Hilbert)
Filozófia a matematikában – ókortól az újkorig
●
●
●
●
Eleai filozófia hatására megjelenik a
deduktív bizonyítás
Pithagoreusok: -tökéletes számok
-barátságos számok
Platón ideatana → matematikai tételek
objektivitása
Tétel bizonyításának két módja:
-mutatunk rá példát
-nem létezésének feltételezéséből ellentmondásra jutunk
●
Végtelen definíciója
●
Paradoxonok
Modern matematikafilozófia által felvetett
problémák
●
●
Mik az irracionális számok?
Euler-féle poliéder tétel megcáfolása
→ Galois nemszerkeszthetőségi tétele
Cantor: négyzet oldalán kevesebb pont mint a négyzetben?
-nem
-igen: „Látom, de képtelen vagyok elhinni”
→ nem folytonos függvények
-cáfolat: Peano-görbe
Gödel-tételek
I: Minden ellentmondásmentes, a természetes
számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus
elméletben megfogalmazható olyan mondat,
mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.
II: Ellentmondásmentes, a természetes
számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus
elméletben az 'ez az elmélet ellentmondásmentes'
mondatnak megfelelő formális kijelentés nem
bizonyítható.
→ következmények, eredmények
A matematika alapfogalmait tárgyaló filozófiai
kérdések
●
●
●
Mi a nulla?
- a mennyiség hiánya
- 'semmi' → de a nulla létezik, vagyis a semmi van. Akkor viszont már
valami → eredeti feltevés cáfolata
Mik a negatív számok?
- nullánál kisebb számok → a semminél kisebb → lehetetlen
- viszonyítási kérdés?
Mi a végtelen?
- határtalan, a legnagyobb mennyiség
- számértékileg a nulla reciproka
- megszámlálhatóan/nem megszámlálhatóan végtelen?
→ ugyanannyi pozitív szám, mint egész szám?
→ rövidebb szakaszon ugyanannyi pont, mint egy hosszabb
szakaszon?
Hilbert Grand Hotel paradoxonja
●
Végtelen mennyiségek paradox viselkedését demonstrálja
Végtelen sok szoba, végtelen sok vendég, új vendég elhelyezése mégis
megoldható → mindenki a szobaszámánál eggyel nagyobb szobába költözik
●
●
●
Végtelen sok vendég elhelyezésének kérdése
Végtelenszer végtelen sok vendég?
Végtelen sok végtelen férőhelyes busz érkezése esetén
→ elhelyezés lehetséges – prímszámok hatványai mindig küldönböző
páratlan számok
●
Paradoxon? → nem! (megszámlálhatóan végtelen)
●
Teljes indukció nulladik lépésének szükségesége
Források
Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok
Stanislas Dehaene: A számérzék – Miként alkotja meg az elme a
matematikát?
Sain Márton: Matematikatörténeti ABC
http://hu.wikipedia.org/wiki/A_matematikafilozófia_története
http://hu.wikipedia.org/wiki/Matematikafilozófia