Transcript Bemutato_etananyag

MATEMATIKA
e-tananyag
9. osztály
Gömöri Márta
Tulajdonos: Varga István Közgazdasági és Kereskedelmi
Szakközépiskola és Szakiskola
Készítette:
Játékos kombinatorika
1. Három ló, Tornádó, Szélvész és Villám versenyeznek. Írd
fel az összes lehetséges eredményt! (holtverseny is
lehet)
Szélvész
Villám
Tornádó
1.
2.
3.
T
V
S
T
S
V
S
T
V
S
V
T
V
T
S
V
S
T
Játékos kombinatorika
2. 0-tól 100-ig hány olyan szám található, amely
számjegyeinek összege 10?
Megoldás: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91 – 9 darab
3. Két különböző színű kockával
- hány különböző eset lehetséges? (36)
- hány esetben lesz a szorzat páros? (18)
-
hány esetben lesz a szorzat: 1 (2), 2 (2), 4 (4), 7 (0),
11 (0), 12 (4), 13 (0)?
– vajon miért nem lehet a szorzat 7, 11 és 13?
Játékos kombinatorika
4.
Négy barátnő a cukrászdában négyféle süteményt rendel: Anna csokitortát, Bori gesztenyés
kockát, Cili japán tortát, Dóri pedig gyümölcstortát. A pincér azonban elfelejtette, hogy ki mit
rendelt, és nem kérdez semmit, csak kiosztja a süteményeket.
- Hányféleképpen teheti ezt meg? 4x3x2x1=24 – féleképpen oszthatja ki a süteményeket.
- Hányféleképpen teheti ezt meg, ha egyedül Dóri nem azt kapja, amit rendelt? - lehetetlen
- Hányféleképpen lehetséges, hogy csak Anna kapja, amit rendelt?
A
B
C
D
csokitorta
japán torta
gyümölcstorta
gesztenyés kocka
csokitorta
gyümölcstorta
gesztenyés kocka
japán torta
- Hányféleképpen lehetséges, hogy csak egyikük kapja, amit rendelt?

Halmazelmélet
A halmazelméleti alapfogalmakat egy 19. sz.-i
matematikus, Georg Cantor dolgozta ki.
Alapfogalmak:
 halmaz, jele: A,B,C…stb.
 halmaz eleme, jelölése: x Є A.
 nem eleme a halmaznak: x Є A.
Fontos: halmazban egy elemet csak
egyszer sorolunk fel!



Véges halmaz: ha elemeinek száma
egy természetes számmal megadható.
Végtelen halmaz: ha elemeinek
száma nem adható meg egy
természetes számmal.
Üres halmaz: a 0 elemű halmaz.
Jele:Ø.
Halmazok megadási módjai
A halmaz elemeit egyértelműen
meghatározó utasítással vagy
tulajdonságokkal
Pl.: C={x|x≤4 és x osztható 2-vel}
 A halmaz elemeinek felsorolásával.
Pl.: G={2;7;8}

Szemléltetés: Venn-diagrammal.
•Pozitív egész számok: N+
•Természetes számok: N
R
•Egész számok: Z
Z -33
N
0
1
-12335
Q
Z
•Racionális számok: Q
N
N+
•Irracionális számok: I vagy Q*
•Valós számok: R


Részhalmaz, valódi halmaz
Azt mondjuk, hogy két halmaz egyenlő, ha elemeik rendre
megegyeznek.
Pl.: A={2,4,6,8,10} = B={12-nél kisebb pozitív páros számok}

Definíció:

Definíció:
Azt mondjuk, hogy A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A
minden eleme a B halmaznak is eleme. Jele: A
B

A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza
B-nek és B-nek van olyan eleme, amely A-nak nem eleme. Jele: A B
Pl.: A={páros számok}
B={egész számok}

Definíció:

Minden halmaz részhalmaza önmagának.
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.
Részhalmazok képzése

soroljuk fel az {a,b,c} halmaz
összes részhalmazát!
Feladat:
0 elemű 1 elemű 2 elemű 3 elemű
Ø
{a}
{a,b}
{b}
{a,c}
{c}
{b,c}
{a,b,c}
Minden 3 elemű halmaznak pontosan 8 részhalmaza van.
Üres halmaznak pontosan egy részhalmaza van.
Ponthalmazok

a)
b)
c)
Melyek azok a pontok a síkon, amelyek az adott
A ponttól
2 cm távolságra vannak?
legfeljebb 2 cm távolságra vannak?
legalább 1 cm, de legfeljebb 2 cm távolságra
vannak?
A
A
A
Feladatok
Döntsük el, a következő állítások
közül melyek igazak?
a) {Ø} véges halmaz
b) [m;r;p;t]=[p;r;t;m]
c) {x|xЄZ és x+1≥x} véges halmaz
d) {Ø} üres halmaz
e) N  Q
f) I Z

Halmazműveletek

Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan
halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt
alaphalmaznak vagy univerzumnak nevezzük.

Definíció: Egy A halmaz komplementerhalmazának nevezzük
az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A
halmaznak nem elemei. Jele: A .
A
A
Halmazműveletek

Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt,
amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak vagy
univerzumnak nevezzük. Jele: H.

Definíció: Egy A halmaz komplementerhalmazának nevezzük az
alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A halmaznak nem
elemei. Jele: A .
H
A
A

Definíció: Két halmaz uniója vagy egyesítése mindazon elemek halmaza,
amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. Jele:  .
A B
A

B
Definíció: Két halmaz metszete mindazon elemek halmaza,
amelyek mindkét halmaznak elemei. Jele:  .
A B

Definíció: Az A és B halmaz különbsége az A halmaz mindazon
elemeinek halmaza, amelyek a B halmaznak nem elemei.
A\ B
Példa



Az a Venn-diagram, melyben egy halmaz van, két
részre osztja az alaphalmazt.
Két egymást metsző halmaz négy részre osztja az
alaphalmazt.
Hány részre osztja az alaphalmazt három halmaz,
ha Venn-diagramon ábrázoljuk? Rajzoljuk le és
minden részt jellemezzünk halmazműveletekkel!
B
Pl.: 6.= A ∩ B ∩ C
8.
6.
A
2.
1.
7.
C
5.
3.
4.
De Morgan azonosságok
A B  A B
Két halmaz metszetének komplementere egyenlő a két
halmaz komplementerének uniójával
AUB  A  B
Két halmaz uniójának komplementere egyenlő a két
halmaz komplementerének metszetével.
Gyakorló feladatok
1. Hány eleműek a következő halmazok?
A={40-nél kisebb prímszámok}
B={2n lehetséges végződései, ahol n
N}
C={X2 - 2X=0 egyenlet megoldásai}
D={X2 - 2X=0 egyenlet pozitív megoldásai}
F={14-re végződő, 4-gyel osztható egész számok}

2. Határozzuk meg az S  T ; S  T ; S  T ; S  T halmazokat!
S={10-30, a 3-mal osztható számok};
T={10-30, az 5-tel osztható számok}.
3. Az alábbi halmazok közül melyek egyenlőek?
A={páros prímszámok és ellentettjeik}
B={páros prímszámok}
C={X3 – 9X=0 egyenlet gyökei}
F={legkisebb pozitív páros szám}
G={X2 – 2X + 1=0 egyenlet gyökeinek összege}
Egy – a számtalan paradoxon közül



Egy napon Athén piacterén, néhány ezer évvel ezelőtt,
a krétai Epimenidész, a közismert Zeusz-pap és
varázsló, elkiáltotta magát - talán vitája volt valakivel
éppen - : „A krétaiak mind örök hazugok és naplopók!”
Értsd: minden krétainak minden mondata hazugság.
Lássuk be, hogy ő maga is hazug (ti. hogy nem
mondhatott igazat, mert szavaiból éppenséggel
kikövetkeztethető egy olyan krétai létezése, aki nem
mindig hazudik)!
Igazat semmiképp nem mondhatott, hiszen ha
Epimenidésznek igaza lenne, és minden krétai csak
örökké hazudna, akkor - lévén maga is krétai - a
fenti mondata is hazugság lenne. Tehát hazudott. Ez
azt jelenti, hogy nem mondott igazat, azaz nem
minden krétaira igaz, hogy minden mondata
hazugság. Ezért kell lennie egy krétainak, akinek
legalább egy mondata igaz.
Megjegyzés: Ez az ún. Epimenidész-paradoxon.