Transcript Kamatszámítás

Kamatszámítás
• A mértani sorozatok alapvető szerepet játszanak a
kamatszámítások,
törlesztőrészlet-számítások,
biztosítások,
járadékszámítások
matematikai
problémáiban. Valójában az ún. pénzügyi matematika
a matematikán belül már régen önálló területté vált.
• A témakörben sok olyan kifejezés van, melyekkel
gyakran találkozunk a mindennapi életben,
használjuk őket, sokszor anélkül, hogy jelentésükkel
pontosan tisztában lennénk. Először ezekkel a
fogalmakkal ismerkedünk meg.
• A tőke a továbbiakban mindig a befektetett (kezdeti) pénzösszeget fogja
jelenteni.
• A kamat az a pénzösszeg, amelyet adott idő elteltével vagy adott
időközönként a befektetetőnek fizet az, akinek a pénzt kölcsönadták.
• A kamatláb (általában p-vel) jelölik egy %-ban adott szám, amely azt
fejezi ki, hogy a kamat hány százaléka a befektetett összegnek.
p=
𝑘𝑎𝑚𝑎𝑡
𝑡ő𝑘𝑒
*100
A napi szóhasználatban a kamat és a kamatláb kifejezések gyakran
összemosódnak, mivel a kamat szót kamatláb értelemben használják: „12 %-os
évi kamatra felvett kölcsön”. Van amikor ez az összemosódás nem okoz
félreértést, de komoly zavar forrása is lehet.
Tőkésítésnek nevezik azt, amikor egy időszak végén a kamatot a tőkéhez
csatolják. (kamatjóváírás kifejezést is használják)
Ez után már a következő időszakban a kamattal megnövelt tőke kamatozik
tovább. Ezt kamatoskamat-számításnak nevezzük.
Tehát a tőkésítés utáni pénzösszeg: tőke*(1+
𝑝 n
)
100
Az egyenlő részletekben történő törlesztést annuitásnak nevezik.
Feladatok
1. Év elején 2 millió forintot beteszünk egy bankba, évi 10 %-os kamatláb
mellett. Mennyi pénzünk lesz 5 év elteltével, ha minden év végén tőkésítenek?
Hány %-kal több ez a betett összegnél?
2. 1626-ban az indiánok 26 dollár értékű üveggyöngyért eladták Manhattan
szigetét a holland telepeseknek. Ezt sokszor úgy emlegetik, mint a világ
legrosszabb üzletét. Tételezzük fel, hogy befektették volna az összeget évi
átlagosan 6 %-os kamatláb mellett. Mennyi pénzük lenne 2010-ben?
3. Tíz éven keresztül minden év elején 100000 forintot helyezünk el egy
bankban, ahol az éves kamatláb 8 %. Mennyi pénzt vehetünk fel a tizedik év
leteltével?
4. Egyszer 507000 forintot tettünk be a bankba, a kamatláb mindvégig évi 12
% volt, és a futamidő végén 1 millió forintot vehettünk fel. Hány évig
kamatozott a pénz, ha a kamatjóváírás évenként történt? (Az eredményt egész
számra kerekítve adjuk meg!)
5. Új lakást vásárolunk, amelyhez 10 millió forint összegű kedvezményes, évi
6 %-os kamatlábbal rendelkező lakáshitelt veszünk fel 20 év futamidőre. A
kölcsön törlesztése havonként történik, a hónap végén. Mennyi lesz a havi
törlesztőrészlet, ha a kamatláb közben végig ugyanakkora marad?
𝑝
Ha bevezetjük az r =
, A jelöli a felvett hitelösszeget, n pedig a
100
kamatlábhoz tartozó futamidőt, akkor a törlesztőrészlet:
x =A*
𝑟
1
1 − (1+𝑟)𝑛
Ide kapcsolódik az ún. életjáradék és a nyugdíj kérdése. Ekkor egy adott
összegből havonta fizetnek ki egyenlő összegeket, miközben a megmaradt
pénz tovább kamatozik. A kifizetések száma nincs meghatározva.
Könnyű meggondolni, hogy a probléma szoros kapcsolatban áll a
törlesztőrészlet kérdésével.
1
𝑛→∞ (1+𝑟)𝑛
Ha feltételezzük, hogy a havi kamatláb állandó, akkor lim
= 0 miatt a
havi összeg x = A*r.
Pl. Egy 8 millió forintos megtakarítást életjáradékra váltunk át úgy, hogy a
havi kamatláb 0,6 %, akkor a járadék havi összege 48000 Ft lesz.
Beadandó házi feladat
1.
2.
3.
4.
5.
Bankba raktunk 500000 forintot 10 évre, 12%-os kamatláb mellett.
Tegyük fel, hogy évi 9 %-os az árszínvonal emelkedése átlagosan
(infláció). A 10. év végén hányszorosa a bankból kivett pénz vásárlóértéke
a 10 évvel korábbinak?
Minden év elején 250000 forintot helyezünk el egy bankban 6 éven át.
Mennyi pénzünk lesz a hatodik év végén, ha az éves kamatláb 9 %?
Nyugdíjpénztári befizetéseink eredményeképpen 4 millió forintunk gyűlt
össze. Az összeget egy 20 év futamidejű járadékra váltjuk, ahol a
kifizetések évente történnek. Mekkora éves járadékot kapunk, ha
feltételezzük, hogy a futamidő végéig évi 12 %-os átlagos hozamot ér el a
pénztár?
Egy gépsor értéke új korában 17 millió forint. Évenként 12 %-os
értékcsökkenéssel számolva mikor kerül a gépsor értéke 8 millió forint
alá?
Egy bank 10 %-os kamatra 3 millió forintos hitelt kínál, 15 éves
futamidővel. A hitel felvétele után egy évvel kell elkezdenünk a
törlesztést, egyenlő havi részletekben. A tőkésítés évente történik.
Határozzuk meg a törlesztőrészlet értékét?