B

EFEKTETÉSEK TECHNIKAI KÉRDÉSEI

(nem lesz számon kérve)

Portfólió-választás (I.)



Láttuk: cél a maximális várható hasznosságot nyújtó portfólió kialakítása (Markowitz/Sharpe)



Szükséges input paraméterek:

 Várható hozamok  Szórások  Korrelációs együtthatók  Kockázatkerülési együttható 

Ezek ismeretében: optimális súlyok kiszámítása

Portfólió-választás (II.)

 Hogyan becsüljük a szükséges input paramétereket?

 Jellemzően múltbeli adatokból…  Ehhez fontos feltételezés: a hozamok (együttes) valószínűség-eloszlásának időbeli stabilitása  Azaz: a várható hozam, szórás, korreláció időben nem változik  Tehát a különböző időpontbeli megfigyelések mind ugyanabból az elméleti eloszlásból származnak  Ekkor a múltbeli megfigyelésekből rekonstruálható (persze némi bizonytalansággal) az elméleti eloszlás  → Statisztika, becsléselmélet

Portfólió-választás (III.)

 Várható hozam: múltbeli

hozamok egyszerű számtani átlaga:

𝑖 = 𝑛 𝑡=1 𝑟 𝑖,𝑡 𝑛 = 𝑖   Hozam szórása: múltbeli

hozamok korrigált empirikus szórása:

𝑖 = 𝑛 𝑡=1 Korrelációs együttható:

múltbeli hozamok közötti empirikus korrelációs együttható:

𝑘 𝑖,𝑗 = 𝑛 𝑡=1 𝑛 𝑡=1 𝑟 𝑖,𝑡 𝑟 𝑖,𝑡 − 𝑖 − 𝑖 𝑟 𝑗,𝑡 2 𝑛 𝑡=1 𝑟 𝑖,𝑡 𝑛 − 1 − 𝑗 𝑟 𝑗,𝑡 − 𝑖 − 𝑗 2 2

Portfólió-választás (IV.)

   Ezek az elméleti paraméterekre vonatkozó becsléseink, „legjobb tippjeink” De nem (biztosan) egyenlőek az elméleti paraméterrel, mert egy véletlen mintán alapulnak (És a három közül csak a várható hozam becslése ún. torzítatlan, azaz várhatóan az elméleti paramétert adja; matekosan: 𝐸 )  Technikai kérdések/problémák:  Milyen időtávon reális az állandóság feltételezése? (azaz, milyen távolra tekinthetünk a múltba?) Pl. egy hónap, egy év?

 Minél nagyobb a minta, annál jobb a becslés, de annál kevésbé reális az állandóság…  Milyen felbontást nézzünk: napi, havi, éves?

Portfólió-választás (V.)

Még egy-két megjegyzés a hozamokhoz…  Árfolyamadatokból számoljuk őket – szükség lehet az árfolyamadatok korrekciójára   Pl. osztalékfizetés és címletmegosztás miatt 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑃 𝑡 + 𝐷 𝑃 𝑡−1 𝑡 − 1 D: osztalék, „ex-dividend” napon hozzáadva (=ameddig a napig meg kell venni a részvényt, hogy jogosult legyen az osztalékra)    f: címletmegosztási faktor – pl. ha 1 db részvényből lett 2 db, akkor f = 2; ha 2 db-ból 3 db, akkor f = 1,5 Azonos devizában számoljunk Reálhozamokat számoljunk – a devizának megfelelő inflációval

Portfólió-választás (VI.)

Még egy-két megjegyzés a hozamokhoz… (folyt.)  Különböző hosszúságú időszakokra vonatkozó hozamok közötti átváltások:    Fontos feltételezés: az egyes időszakok hozamai korrelálatlanok egymással!

Várható hozam: 𝐸 𝑟 𝑇 = 1 + 𝐸 𝑟 𝑡 𝑇 𝑡 − 1  ~kamatos kamatozás Hozam szórása: 𝜎 𝑟 𝑇 = 𝜎 2 𝑟 𝑡 + 1 + 𝐸 𝑟 𝑡 2 𝑇 𝑡 − 1 + 𝐸 𝑟 𝑡 2 𝑇 𝑡  Pl. haviból éves: t = 1 hónap, T = 12 hónap

Portfólió-választás (VII.)

    Kockázatkerülési együttható mérése: pl. kérdőíves módszerrel Pl. Hanna és Lindamood (2004): nyugdíjkonstrukciók közötti választás „Tegyük fel, hogy Ön éppen most készül nyugdíjba vonulni, és

nyugdíját illetően az alábbi két lehetőség közül választhat:



Az A lehetőség a nyugdíjazása előtti éves jövedelmével megegyező éves jövedelmet kínál.



A B lehetőség 50% eséllyel az eddigi éves jövedelmének dupláját kínálja, azonban ugyanekkora a valószínűsége annak is, hogy Ön ezentúl eddigi jövedelménél csak x %-kal kisebb éves összeghez jut.

(Ön semmilyen egyéb jövedelemmel nem rendelkezik majd nyugdíjas évei alatt. Minden jövedelem adózás után értendő.)”

Portfólió-választás (VIII.)

 Az x% helyére beírt 50%, 33%, 20%, 10%, 8% és 5% változatok  Ábra illusztrálja a döntési helyzetet:

A B~5% B~8% B~10% B~20% B~33% B~50%

 Több lépcsőben, mindig két változat közül kell választani

Portfólió-választás (IX.)

 A minősítések:

x%

50% nál több 33 –50% 20 –33% 10 –20% 8 –10% 5 –8% 5% nál kevesebb

Minősítés

különösen alacsony nagyon alacsony alacsony közepes magas nagyon magas különösen magas

A

0,5 (0 –1) 1,5 (1 –2) 2,9 (2 –3,8) 5,7 (3,8 –7,5) 8,4 (7,5 –9,3) 11,9 (9,3 –14,5) 16 (14,5 –)

Portfólió-választás (X.)

 A kérdőíves felmérések átlaga A = kb. 2-7 40% Férfiak Nők 30% 20% 10% 0,5 Különösen alacsony 1,5 Nagyon alacsony 2,9 Alacsony 5,7 Közepes 8,4 Magas 11,9 Nagyon magas 16,0 Különösen magas

A

Portfólió-választás (XI.)

 Ha mindezzel megvagyunk, jöhet az optimalizálás!

 A korábbi képletek helyett praktikusabb a mátrixos felírás, ahol a: súlyvektor, r: hozamvektor, valamint C: kovariancia-mátrix: 𝑎 = 𝑎 1 𝑎 2 ⋮ 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛 𝑟 = 𝐸 𝑟 1 𝐸 𝑟 2 ⋮ 𝐸 𝑟 𝑛−1 𝐸 𝑟 𝑛

Portfólió-választás (XII.)

𝐶 = 𝑐𝑜𝑣 𝑟 1 , 𝑟 1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 2 , 𝑟 1 ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛−1 , 𝑟 1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛 , 𝑟 1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 1 , 𝑟 2 𝑐𝑜𝑣 𝑟 2 , 𝑟 2 ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛−1 , 𝑟 2 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛 , 𝑟 2 ⋯ ⋯ ⋱ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 1 , 𝑟 𝑛−1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 2 ⋮ , 𝑟 𝑛−1 ⋯ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛−1 , 𝑟 𝑛−1 ⋯ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛 , 𝑟 𝑛−1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 1 , 𝑟 𝑛 𝑐𝑜𝑣 𝑟 2 , 𝑟 𝑛 ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛−1 , 𝑟 𝑛 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛 , 𝑟 𝑛  Érdemes megjegyezni, hogy: 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑖 , 𝑟 𝑗 = 𝑘 𝑖,𝑗 𝜎 𝑟 𝑖 𝜎 𝑟 𝑗 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑖 , 𝑟 𝑖 = 𝜎 2 𝑟 𝑖  Látható, hogy a már ismert képletet írjuk, csak más formában…  (Megj.: az alábbi képlettel becsült kovariancia torzítatlan) 𝑛 𝑖 , 𝑟 𝑗 = 𝑡=1 𝑟 𝑖,𝑡 − 𝑖 𝑟 𝑗,𝑡 − 𝑗 𝑛 − 1

Portfólió-választás (XIII.)



A célfüggvény: 𝑈 = 𝑎

𝑇

𝑟 − 0,5𝐴𝑎

𝑇

𝐶 𝑎 → 𝑚𝑎𝑥!



Korlátozó feltételek:

𝑎 𝑇 𝐽 = 1

𝐸 𝑟

𝑃

𝜎

2

𝑟

𝑃 

Kvadratikus programozási feladat



(Megj.: a

T

r = r

T

a, és J pedig egy csupa 1-esekből álló

vektor, 0 pedig egy csupa 0-ból álló vektor)

Bétabecslés (I.)

    Index választása piaci portfóliónak Az adott befektetés és az index múltbeli hozamainak kiszámítása  Lásd hozamszámítási megjegyzéseket korábban!

Továbbra is feltételezzük az együttes eloszlások időbeli stabilitását  Időtáv és felbontás itt is kérdés Az alábbi egyenletet becsüljük (indexmodell; α tengelymetszet, ε „véletlen zaj”) [lineáris regresszió]:

𝑟

𝑖

− 𝑟

𝑓

= 𝛼

𝑖

+ 𝛽

𝑖

𝑟

𝑀

− 𝑟

𝑓

+ 𝜀

𝑖

Bétabecslés (II.)

     Nézzük meg részletesebben az egyenlet tagjait!

r i

– r

f

és r

M

– r

f

hozamprémiumok (excess returns), jelölésileg gyakran R

i

és R

M

A

β

a karakterisztikus egyenes meredeksége Az ε a korábban tárgyalt feltételes eloszlás, a diverzifikálható kockázati hatás, várható értéke nulla Így a becslendő egyenlet várható értékét véve: 𝐸 𝑟 𝑖 − 𝑟 𝑓 = 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 𝐸 𝑟 𝑀 − 𝑟 𝑓   Ami alapjában a már jól ismert CAPM egyenlet Az α tehát nem különbözhet nullától, ha a CAPM szerinti egyensúly fennáll!

Bétabecslés (III.)

 Az említett egyenlet paramétereinek becslésére tipikusan alkalmazott módszer: klasszikus legkisebb négyzetek (OLS) módszere  Elve (az indexmodell jelöléseivel): 𝑛 𝑄 = 𝑅 𝑖,𝑡 − 𝑖 − 𝑖 𝑅 𝑀,𝑡 𝑡=1 2 → 𝑚𝑖𝑛!

 Ahol n a megfigyelések száma, a kalap pedig a becsült paramétert jelöli  Ezen becslés statisztikai tulajdonságaira most nem térünk ki részletesen…

Bétabecslés (IV.)

   Mivel a becslés valamilyen véletlen mintán alapul, így a becsült paraméterekkel kapcsolatban van valamilyen bizonytalanság Mit próbálunk megvizsgálni ezzel a bizonytalansággal kapcsolatban? – például:  Az alfa statisztikailag szignifikánsan különbözik-e nullától?

 „Statisztikailag szignifikáns”: nem a véletlen műve, hogy olyat mértünk, amilyet – pl. nem véletlenül mértünk nullától különböző alfát, mert az elméleti (valós) alfa is különbözik nullától  Persze erről is csak „korlátozott bizonyossággal” nyilatkozhatunk  Milyen tartományba esik az elméleti (valós) béta adott valószínűséggel?

Ezekkel az ún. hipotézisvizsgálatokkal technikailag részletesebben most nem foglalkozunk…

T

ŐKEPIACI HATÉKONYSÁG

Tőkepiaci hatékonyság (I.)

 Néhány gondolat a tőkepiaci hatékonyságról…  Hatékonyság ~ valaminek a működési „jósága”  Tőkepiacon most: az árazás megfelelősége  ~Tökéletes tőkepiaci árazás  A tőkepiaci árfolyamok minden pillanatban az akkor rendelkezésre álló összes információt teljességgel tükrözik,  Egyensúlyban vannak, amely egyensúlyból csak új információ hatására mozdulhatnak ki  → A piac az újonnan megjelenő információkra azonnal és helyesen reagál  Efficient market hypothesis (EMH)

Tőkepiaci hatékonyság (II.)

 A definíció így eléggé általános: pl. mit jelent, hogy „teljességgel tükrözi”, „egyensúly”, „helyesen reagál”?

 Szükség van egy egyensúlyi modellre: pl. CAPM  Persze nem a CAPM az egyetlen lehetséges modell…  Mi tárgyalásunkban most: egy árfolyam a rendelkezésre álló információkat teljeséggel tükrözi, ha a pillanatnyi várható hozama megegyezik a CAPM alapján megadhatóval  Két fő „hozam-elem”:  Normál hozam: az egyensúlyi modell szerinti várható hozam  Abnormál hozam: ami a normál hozam felett vagy alatt adódik

Tőkepiaci hatékonyság (III.)

 A hozam valószínűségi változó, a várható értéke csak egy kitüntetett érték → valamekkora abnormális hozam szinte mindig van (~várható vs. tényleges hozam)  Az EMH nem tagadja az abnormál hozamok létezését, de azt mondja, hogy ezek várható értéke nulla!

 Ugyanígy: az új információk elmozdíthatják az árfolyamot, de mégsem érhetünk el velük várhatóan többlethozamot  Az érkező információk végtelenül gyorsan beépülnek az árfolyamba  Így árfolyamváltozás csak új információk hatására következhet be  Az „új” pedig épp attól új, mert jelen tudásunknak egyáltalán nem része – teljességgel véletlenszerű kell, hogy legyen (nulla várható értékkel)  Más szóval: ha tudnánk, hogy holnap emelkedni fog, már ma emelkedett volna

Tőkepiaci hatékonyság (IV.)

 Ha az abnormális hozamok előre jelezhetetlenek, akkor az árfolyamok a normál hozamok szerint rendeződnek  Következmény: tőkepiaci tranzakciók nulla NPV-jűek kell, legyenek  Tőkeköltségük pont a várható hozamuk → gazdasági profit zérus – vö. profit forrásai (különleges tudás hiánya)  Ezt is tekinthetnénk a tőkepiaci hatékonyság általános definíciójának (NPV = 0)  Az árfolyamok bolyongása (random walk [with drift])  Minden időpontban a normál hozam szerinti emelkedésre számíthatunk + egy véletlen „zaj” komponensre (abnormál hozam, új információk érkezése) nulla várható értékkel  A „trendtől” tetszőlegesen eltávolodhat, és a távolabbi jövő egyre bizonytalanabb (időben növekvő variancia)

Tőkepiaci hatékonyság (V.)

40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0

 Példa lehetséges bolyongó árfolyam-realizációkra:

40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 Dátum Dátum

Tőkepiaci hatékonyság (VI.)

  A háttérben embertömegek viselkedése, mi csak a „végeredményt” látjuk – így teljességében nem is vizsgálható A hatékonyság szintekre bontása:  Gyenge szint (weak form): a különböző pénzügyi változók (pl. árak, volumenek, osztalékok, kamatok, számviteli eredmények stb.) idősorának információtartalmát teljességgel tükrözik (historical information)  Félerős szint (semi-strong form): a nyilvánosan bejelentett, vállalat (befektetés, részvény) jövőjére vonatkozó információkat teljességgel tükrözik (public information)  Erős szint (strong form): a magán („titkos”) információkat is teljességgel tükrözik (private information)  A különböző szintek tesztelésére különböző módszerek vannak

Tőkepiaci hatékonyság (VII.)

Az alfáról újra…  Az alfa az abnormális hozam várható értéke  Hatékony árazódás esetén az alfa nem különbözhet nullától   Különben az adott befektetés várható hozama nagyobb/kisebb lenne, mint a CAPM által diktált (azaz, mint az elvárt hozam, a tőkeköltség) → a befektetés NPV-je pozitív/negatív lenne Az alfa alapján tehát megítélhető pl. egy befektetési stratégia eredményessége: képes volt-e (szignifikáns) pozitív alfát elérni?

 Azaz, tőkeköltség feletti várható hozamot produkálni  Jensen (1968) után „Jensen-alfa”  Metódus: a stratégia szerinti hozamok előállítása, majd alfájának becslése + hipotézisvizsgálat A témáról részletesebben: Tőzsdei spekuláció (BMEGT35A007)