Transcript Penzugyek_diasor_3

Piaci portfólió tartása (I.)

Sharpe-modell
 William
Sharpe (1964), később Nobel-díj
 Lintner, Mossin, Treynor

A modell fő peremfeltételei:
 Tökéletes
tőkepiac: pl. tökéletes informáltság, nincs
tranzakciós költség, stb.
 Kockázatmentes befektetés és hitelfelvétel lehetősége
(azonos kamattal)
 Racionális befektetők (~Markowitz-modellt követik)
 Homogén várakozások hipotézise: mindenki ugyanazt
gondolja a befektetések paramétereiről („tojáshéjuk
ugyanott van”)
Piaci portfólió tartása (II.)

Egy kockázatmentes (i) és egy kockázatos (j) lehetőség
kombinációja:
E ( r P )  a i E ( ri )  a j E ( r j )
 ( rP ) 

a i  ( ri )  a j  ( r j )  2 k i , j a i  ( ri ) a j  ( r j )
2
2
2
2
0  a j  (r j )  0 
2
2
a j  (r j )
2
2
 a j (r j )
Ha ai negatív szám, akkor kockázatmentes hitelfelvétel
(egyúttal a felvett hitel kockázatos befektetése, mert ai + aj = 1)
Piaci portfólió tartása (III.)
E(r)

Ábrázolva:
U5
U5
E (r)
E (r)
p l.: -0 ,5 i + 1 ,5 j
U4
M
p l.: 0 ,6 i + B
0 ,4
j
1
j
A
U4
U3
A
U2
i
U1
rf
σ (r)
U3
U2
U1
σ (r)
σ (r)
A legjobb lehetőségek az rf – M egyenesen vannak
σ(
Piaci portfólió tartása (IV.)


E(r)
Ha a „tojáshéj” mindenkinek „ugyanott van”,
akkor az M
U
5
portfólió
is mindenkinél ugyanaz lesz – ezt kombinálják
E(r)
kockázatkerülésüktől függően rf-vel
U5
A kockázatos rész tehát minden befektetőnél ugyanaz!
E (r)
C1
U4
U4
M
C2
U
U33
A
rf
U2
σ (r)
U2
U
Piaci portfólió tartása (V.)


Mindenki ugyanazt az M-et tartja → M összetétele meg kell,
hogy egyezzen a világ összes kockázatos értékpapírját
tartalmazó ún. piaci portfólióéval
Csak az arányok ugyanazok, a befektetett összegek
különbözhetnek
T ők ep iaci egyen es
E (r)
P iaci p ortfólió
A legjobb lehetőségek:
tőkepiaci egyenes (Capital
Market Line, CML) – erről
választanak a befektetők:
E (r M )
M
rf
σ (r M )
σ (r)
Piaci portfólió tartása (VI.)

A befektetői döntés ennek megfelelően:
E ( rP )  a f r f  a M E ( rM )
E (r)
 ( r P )  a M  ( rM )
C
a f  aM  1
U  E ( r )  0 ,5 A   ( r )  max
E (r M )
M
2
a M , opt 
E ( rM )  r f
A  ( rM )
2
Passzív portfólió-menedzsment
rf
σ (r M )
σ (r)
Választás a Sharpe-modellben – példa (I.)







Egy A=2 kockázatkerülésű befektető a piaci portfólió (M) és
a kockázatmentes lehetőség (f) kombinálásával alakítja ki
portfólióját
A paraméterek: rf = 2%, E(rM) = 8%, σ(rM) = 18%
Mekkora annak a portfóliónak a várható hozama és szórása,
amelyben fele-fele arányban szerepel a két lehetőség?
Optimális-e ez a fele-fele arány a befektetőnek?
Ha nem, hogyan érheti el az optimumot és mik az optimális
portfólió paraméterei?
Gondoljuk végig ugyanezt egy A=8 kockázatkerülésű
befektetőre!
Ábrázoljuk döntéseiket és magyarázatukat! (csak
jelleghelyesen)
Választás a Sharpe-modellben – példa (II.)
Megoldás
 Fele-fele arány, tehát af = 0,5 és aM = 0,5
 E(rP) = 0,5*0,02 + 0,5*0,08 = 0,05 = 5%
2
2
1/2
 σ(rP) = [(0,5*0) + (0,5*0,18) + 2*0*0,5*0*0,5*0,18]
= 0,5*0,18 = 0,09 = 9%
2
 aM,opt = (0,08 – 0,02)/(2*0,18 ) = 0,93, tehát nem
optimális, mivel 0,93 ≠ 0,5
 Az optimumhoz növelni kell M súlyát 0,93-ra, illetve
csökkenteni f súlyát 1 – 0,93 = 0,07-re
 Az optimális portfólió paraméterei:
E(rP,opt) = 0,07*0,02 + 0,93*0,08 = 0,0758 = 7,58%
 σ(rP,opt) = 0,93*0,18 = 0,1674 = 16,74%

Választás a Sharpe-modellben – példa (III.)





Mi a helyzet az A=8 befektető esetén?
A „fele-fele” portfólió várható hozama és szórása
ugyanaz marad, viszont az optimum más
aM,opt = (0,08 – 0,02)/(8*0,182) = 0,23, tehát a felefele megosztás most sem optimális, mivel 0,23 ≠ 0,5
Az optimumhoz most viszont csökkenteni kell M
súlyát 0,23-ra, illetve növelni f súlyát 1 – 0,23 = 0,77re
Az optimális portfólió paraméterei:
 E(rP,opt)
= 0,77*0,02 + 0,23*0,08 = 0,0338 = 3,38%
 σ(rP,opt) = 0,23*0,18 = 0,0414 = 4,14%
Választás a Sharpe-modellben – példa (IV.)
E(r)
UoptA=8 > U0,5A=8
UoptA=2 U0,5A=2
8%
7,58%
5%
3,38%
2%
f
optA=2
optA=8
4,14%
M
0,5
9% 16,74% 18%
Csak hozzávetőleg,
jellegében helyes
ábrázolás!
σ(r)
Választás a Sharpe-modellben – példa (V.)
Akit jobban érdekel a téma, ill. gyakorlásra:
 Az előzőekben említett kombinációkhoz tartozó
hasznosságértékek (U) kiszámítása és ellenőrzése, hogy
az optimálisé tényleg nagyobb
 Az optimális súly számítására vonatkozó képlet
levezetése (ötlet: af = 1 – aM, majd egy egyváltozós
szélsőérték feladat)
 Pontosabb grafikus ábrázolás
 „Hardcore”: a béta és a CAPM képletét (lásd később)
felhasználva annak bizonyítása, hogy M-en keresztül
fut a legmeredekebb tőkeallokációs egyenes
A béta kockázati paraméter (I.)


Piaci portfólió tartása → van egy egységes,
„általános” viszonyítási alap
Egy tetszőleges i befektetési lehetőség kockázata:
nem önmagában, hanem a befektetői portfólióban!
A
befektetői portfólió a Sharpe-modell szerint: rf és M a
befektető kockázatkerülésének megfelelő kombinációja
 De i „érzékelt” kockázata szempontjából csak az M-vel
való sztochasztikus kapcsolat számít!
 Tehát lényegtelen, hogy ki milyen rf – M arányt tart

Vizsgáljuk meg i és M hozamai közötti sztochasztikus
kapcsolatot!
A béta kockázati paraméter (II.)

βi
ri

Karakterisztikus egyenes
(regressziós, OLS)
Az egyenes meredeksége: βi
Ha βi > 1, akkor növeli M szórását
 Ha βi < 1, akkor csökkenti M szórását
 βi negatív is lehet, akkor erősebben
csökkenti M szórását
1

εi

εi feltételes eloszlás, várható
értéke 0, szórása σ(εi)

rM
Adott rM-hez megadja ri szórását
 i  k i ,M
 ( ri )
 ( rM )
A béta kockázati paraméter (III.)

Az ábrából (regresszióból) következően σ(ri) felírható egy
M-től függő és nem függő rész összegeként:
k M , i  0 ;
 ( ri )   i  ( rM )   (  i )
2


2
2
2
k M , i M  1
Mivel az ε-os tag független M-től, így eliminálódik a
portfólióban (M nagy elemszámú)
A β-s tag viszont teljesen összefügg M-mel, így:
 ( ri ) releváns   i  ( rM )
2
2
2
 ( ri ) releváns   i  ( rM )

Tehát ekkora szórásúnak látjuk i-t „M-en keresztül nézve”
A béta kockázati paraméter (IV.)

Egy i befektetés teljes kockázata σ(ri), két részből áll:
 Releváns
kockázat (piaci, nem diverzifikálható,
szisztematikus): βiσ(rM)
 Feltéve
persze, hogy a befektető kockázatos részként a piaci
portfóliót tartja
 Egyedi
kockázat (diverzifikálható, nem szisztematikus): σ(εi)
 Eltűnik

a piaci portfólióban
Tehát nem az érdekel, hogy önmagában mekkora egy
befektetési lehetőség szórása, hanem hogy a piaci
portfólión keresztül mennyit érzékelek belőle!
 Pl.
lehet, hogy önmagában nagyon kockázatos, de ha pl.
bétája nulla, akkor kockázatmentes számomra!
Néhány jellegzetes példa…
ri
ri
rM
rM
ri
ri
rM
rM
A tőkepiaci várható hozamok és a béta (I.)



A β (és csak a β) megadja egy befektetés releváns
kockázatát
→ A várható hozamoknak a β függvényének kell lenni
Az összefüggés lineáris
E (r) érték p ap ír-p iaci egyen es
E ( ri )  r f   i  E ( rM )  r f

Ez az összefüggés a
CAPM (Capital Asset
Pricing Model), a
tőkepiaci árfolyamok
modellje

p iaci p ortfolió
E (r M )
rf
1
β
A tőkepiaci várható hozamok és a béta (II.)

A CAPM-ben visszaköszön a tőkeköltség két forrása:
E ( r )  ralt  rid ő  rkockázat  r f  rRP  r f   E ( rM )  r f


A CAPM megadja, hogy adott kockázathoz (amit a
bétával mérünk) a tőkepiacon mekkora várható hozam
tartozik

→ Ha ismerjük egy befektetési lehetőség bétáját, meg
tudjuk adni a tőke alternatíva költségét


Reálértelemben – mert a CAPM reálhozamok közötti
kapcsolatot ír le (minket mindig a reálhozamok érdekelnek)
Nem a CAPM az egyetlen tőkepiaci egyensúlyi modell…
Tőkeköltség kiszámítása példák

Mekkora a projekt tőkeköltsége, ha a bétája 1,3, a
kockázatmentes hozam 2% reálértelemben, a piaci portfólió
várható hozama pedig 8% reálértelemben? Milyen értelmű a
meghatározott tőkeköltség?



Behelyettesítve a CAPM képletébe: ralt = 2% + 1,3*(8% - 2%) = 9,8%
Reálértelmű, mert minden paraméter reálértelmű
Mekkora a projekt tőkeköltsége, ha a bétája 0,75, a
kockázatmentes hozam 3% reálértelemben, az átlagos piaci
kockázati prémium pedig 8% reálértelemben?



Átlagos piaci kockázati prémium: a β=1-hez tartozó kockázati
prémium, azaz E(rM) – rf
Behelyettesítve így a CAPM képletébe: ralt = 3% + 0,75*8% = 9%
(Természetesen most is reálértelmű a tőkeköltség)
Tőkeköltségek és értékek függetlensége

Láttuk: egy befektetési lehetőség tőkeköltsége a bétájától függ
(persze csak akkor, ha igaz a CAPM)

A bétája pedig csak a piaci portfólióval való sztochasztikus
kapcsolattól függ

→ Tőkeköltségek függetlensége: egy üzleti projekt
tőkeköltsége független a vállalati környezettől (azaz a vállalat
többi projektjének tőkeköltségétől)

Mivel „érték = tőkeköltséggel diszkontált pénzáramok”, ezért
Pénzáramok függetlensége + Tőkeköltségek függetlensége =
Értékek függetlensége

Az egyes üzleti projektek értékelése elválik a vállalati
környezettől

Más szóval a projektek „mini-vállalatokként” tekintendők
Belső megtérülési ráta (IRR)

„Egységnyi tőke egységnyi időre vonatkoztatott várható hozama”

Matematikailag: az a tőkeköltség (diszkontráta), amelynél az NPV
zérus:
N
 F0 
E  Fn 
 1  IRR 
n
0
n 1

A projekt megvalósítandó akkor és csak akkor, ha IRR > ralt, ami
ekvivalens azzal, hogy NPV > 0

Az IRR-nek számos gyakorlati problémája van, ezért inkább az
NPV-t használjuk…

Pl. kiszámítása nem mindig egyértelmű, összehasonlításra is alkalmatlan
CAPM paraméterei a gyakorlatban (I.)

Kockázatmentes hozam
 Egyértelmű, általános kockázatmentes eszköz nincs
 Hogyan becsüljük tehát?
 Nemfizetés kockázata → legnagyobb biztonság:
állampapírok
 De
legtöbbször ez is csak nominális ígéret!
 Inflációs
kockázat → infláció-indexelt állampapírok
 A stabilitás miatt leginkább USA állampapírok
 Lejárat: a vizsgált projekt időtávjához hasonló
 Általános becslés: évi kb. 2-3% reálértelemben
CAPM paraméterei a gyakorlatban (II.)

Piaci portfólió






Az összes elérhető befektetési lehetőség – mi az „elérhető”?
A fejlettebb tőkepiacok többnyire átjárhatók → globális megközelítés
→ Az árak is globálisan határozódnak meg
 Többletkockázatot vállal a csak otthon befektető → érdemes
nemzetközileg diverzifikálni
 Mo. esete: sok nagy, külföldi befektető → globális árazódás vs. csak
itthon befektető hazaiak
→ Globális piaci portfólió ~ globális tőzsdeindex: pl. MSCI (All
Country) World Index, vagy akár S&P, Dow Jones, stb.
Várható hozam: múltbeli hozamok átlagával (időbeli stabilitás!)
Általában inkább a kockázati prémium (rM – rf) becslése, évi kb. 6%
reálértelemben (tehát E(rM) ≈ évi 8% reálértelemben)
CAPM paraméterei a gyakorlatban (III.)

Üzleti projekt bétája
~üzleti tevékenység érzékenysége a világgazdaság ingadozására
 Iparágakra jellemző értékek figyelhetők meg → iparági béták
 Részvények csoportosítása 100-300 iparág szerint, múltbeli
hozamadatokból béták
 Béták időbeli stabilitása kell, hogy múltbeli adatokból
becsülhessünk
 Sok vállalatból számolnak egy iparágban – feltehetően
megbízható becslés
 Az egyik iparághoz soroljuk projektünket és annak bétáját
használjuk, esetleg több iparág súlyozott átlagát
 Iparági bétatáblázat – példák: Energia 0,53, Bank 0,37,
Autóalkatrész 1,47, Biotech 1,07, Szoftver 0,92, Építőanyag 0,99
