Transcript Tőkepiaci árfolyamok modellje

Elektronikus kereskedelem
PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS
KOCKÁZATANALÍZIS
VI. Előadás
TŐKEPIACI ÁRFOLYAMOK MODELLJE
Az Európai Szociális Alap támogatásával
Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében
Tartalom
Piaci egyensúly
Optimális portfólió
Tőkepiaci egyenes
Árazási modell
Béta faktor
Értékpapírpiaci egyenes és piaci kockázat
A CAPM alkalmazásai
A kockázatmentes egyenértékes
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
2
KÉT ALAPPROBLÉMA
•
az optimális portfolió meghatározása
•
a fair ár meghatározása
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
3
A PIACI EGYENSÚLY I.
Feltételek:
• minden piaci szereplő a várható hozam és a szórás
figyelembevételével optimalizál (mean-variance optimális)
mindenki azonos átlagokkal és kovarianciákkal számol
• mindenki számára ugyanaz a kockázatmentes kamat: rf
Kérdés: mi fog történni a piacon?
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
4
A PIACI EGYENSÚLY II.
A one – fund tétel és a feltevések következménye: minden opt. portfólió:
egyetlen kockázatos F és a kockázatmentes eszköz keveréke
Ami változik:
a portfóliók összetétele: kockázataikban különböznek
kockázatkerülés: az F hányada kicsi
kockázatkeresés: az F hányada nagy
Kérdés: mi az F ?
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
5
A PIACI EGYENSÚLY III.
Meggondolás:
mindenki F -et veszi – adja → a kockázatos termékek aránya ugyanaz
ez az arány megegyezik a piacon forgalmazott összes eszköz arányával !
A piaci portfolió (market portfolio):
az összes forgalmazott eszköz együttese
(a forgalmazott IBM, Microsoft stb. részvények teljessége)
Következmény:
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
6
A PIACI EGYENSÚLY IV.
F = piaci portfolió
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
7
Az i -dik eszköz wi súlya = az i -dik eszközhöz tartozó tőkehányad
(capitalization weights)
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
8
AZ OPTIMÁLIS PORTFOLIÓ KIALAKULÁSA
Meglepetés: Hogyan alakul ki a F az
és  ismerete nélkül -
vagyis a Markowitz - probléma megoldása nélkül
vagy: hogyan találja meg a paic a wi súlyokat ?
Önjavító (adaptiv) mechanizmus:
az átlaghozam és  becslései alapján mean-variance opt pf. -k
ha az order nem teljesithető: adjust price →
új átlaghozam és  becslések →
egyensúly: mean-variance opt. az egyensúlyi átlagh. és  -ra
„Oldják meg mások a problémát!”
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
9
A TŐKEPIACI EGYENES I.
Észrevétel: F = M
az
síkon.
A hatékony portfoliók halmaza: a tőkepiaci egyenes (capital market line)
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
10
A TŐKEPIACI EGYENES II.
Formális összefüggés:
A meredekség:
Ez a kockázat ára !
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
11
EGY PÉLDA (MR SMITH) I.
•
a kockázatmentes kamat: 6%
•
a piaci portfolió várható hozama: 12%
•
a piaci portfolió várható szórása: 15%
•
Kezdeti tőke: $ 1.000,00
•
Cél: $ 1 millió
•
Kérdés: hány év alatt érhető el a portfolió várható hozamával ? (10/7 rule)
•
Pontosabban: 60 év alatt érhető el !
Kérdés: Elérhető-e $ 1 millió 10 év alatt valamilyen hatékony portfolió
hozamával ?
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
12
MR SMITH II.
A cél átfogalmazása:
átlagos duplázás évente (210 = 1024) → 100%-os átlagos hozam évente
A tőkepiaci egyenes alapján a keresett  –ra:
Innen:
 = 10
vagyis
 = 1.000%
Nagyon kockázatos portfólió!
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
13
AZ ÁRAZÁSI MODELL I.
A tőkepiaci egyenes: egy efficiens eszköz hozama vs. kockázata (szórása)
Kérdés: tetszőleges eszköz hozama vs. kockázata ?
Tőkepiaci árfolyamok modellje (capital asset pricing model, CAPM):
Állítás: Ha az M piaci portfolió hatékony, akkor tetszőleges i eszköz várható
hozama,
eleget tesz az
összefüggésnek, ahol
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
14
AZ ÁRAZÁSI MODELL II.
A bizonyítás alapgondolata:
Veszünk egy  portfoliót:

rész
1 -  rész
i eszköz
M piaci portfolió
A várható hozam:
A várható szórás:
Tekintsük a
2006

görbét.
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
15
AZ ÁRAZÁSI MODELL III.
Megjegyzés: az i eszköz a tartomány belsejében van.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
16
AZ ÁRAZÁSI MODELL IV.
A
görbe érintőjének meredeksége  = 0 -ban (M mellett):
Ezt egyenlővé téve a tőkepiaci egyenes meredekségével, ami
és megoldva
2006
-re kapjuk a CAPM-t.
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
17
BÉTA ()
i : az i -dik eszköz bétája
Ez egy eszköz az igazi kockázati karakterisztikája.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
18
CAPM – DISZKUSSZIÓ
Diszkusszió:
 = 0, a piaccal nem korrelált eszköz
ekkor
!
→
Nincs kockázati prémium !
Magyarázat: a kockázat 0 -ra diverzifikálható !
Diszkusszió:
<0
→
!
Értelmezés: az eszköz piaci kockázata kisebb, mint M
Alkalmazás: biztosításban
„They do well when everything else does poorly.”
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
19
CAPM: PÉLDA
• a kockázatmentes hozam:
rf = 8%
• a piaci várható hozama:
= 12%
• a piaci várható hozam szórása: M = 15%
Legyen egy i eszközre:
iM = 0,045
Ekkor:
Így a várható hozamra
→ 16%
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
20
RÉSZVÉNYEK BÉTÁJA I.
A béták becslése: historikus adatok alapján
pénzügyi szolgáltatók
Tapasztalati tény: a béták viszonylagos stabilitása !
Agresszív vállalkozások:
magas béta érték
Konzervatív vállalkozások: alacsony béta érték (kisebb piacfüggés)
A táblázat: -k és  -k (volatilitások)
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
21
RÉSZVÉNYEK BÉTÁJA II.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
22
EGY PORTFOLIÓ BÉTÁJA
A relatív portfolió:
Innen a hozam:
Ezért:
Következik, hogy
Megjegyzés: az ri -k korreláltak is lehetnek !
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
23
ÉRTÉKPAPÍRPIACI EGYENES
Értékpapírpiaci egyenes (security market line)
Két lineáris kapcsolat:
vs. Cov(r,rM)
és
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
vs. 
24
SZISZTEMATIKUS VAGY PIACI KOCKÁZAT
Szisztematikus vagy piaci kockázat (systematic risk)
Írjuk fel az ri hozamot az
alakban
Ekkor várható értéket véve ill. kovarianciát rM –mel, kapjuk:
E i = 0
Cov(i, rM) = 0
Így (javitás: gamma helyett M irandó)
Az előtag a szisztematikus vagy piaci kockázat. Nem diverzifikálható !
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
25
A CAPM BERUHÁZÁSI ALKALMAZÁSA
A piaci portfolió szintetizálása:
befektetési alapok (mutual funds)
index alapok (pl. S & P 500, index funds)
Egy kockázatmentes eszköz: pl. amerikai kincstárjegy (US Treasury bill)
Egy CAPM feltétel: azonos információk
A CAPM meghaladása: inkrementális javitás
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
26
CAPM, MINT ÁRAZÁSI FORMULA I.
Hozamok és árak:
egy eszköz ismeretlen vételi ára: P
az eszköz későbbi, véletlen eladási ára: Q
Kérdés: mi legyen a P ?
A hozam: r = (Q-P)/P. Ezt a CAPM-be írva:
P-re megoldjuk.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
27
CAPM, MINT ÁRAZÁSI FORMULA II.
A CAPM árazási formula: egy periódus után Q véletlen kifizetésű (payoff)
eszköz jelenlegi árát a
összefüggés adja meg.
Értelmezés: P a várható hozam diszkontált értéke.
A kockázattal kiigazított hozam:
(risk adjusted interest rate)
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
28
AZ ÁRAZÁSI FORMULA LINEARITÁSA
Két eszköz együttesét vesszük:
Igaz-e, hogy:
?
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
29
KOCKÁZATMENTES EGYENÉRTÉKES I.
Kockázatmentes egyenértékes (certainty equivalence form of CAPM).
Írjuk fel, hogy r = Q / P – 1 !
Így
Innen
A CAPM-árazó formulába beírva és P -vel átosztva:
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
30
KOCKÁZATMENTES EGYENÉRTÉKES II.
Állítás: Egy Q véletlen kifizetésű eszköz jelenlegi P árára:
A zárójelben:
Q kockázatmentes egyenértékes
diszkontálás: szokásos
Észrevétel: a P érték lineáris Q -ban !
A lineáris árazás más értelmezése: arbitrázs megfontolás
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
31