Transcript Mi az S(t)

Elektronikus kereskedelem
PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS
KOCKÁZATANALÍZIS
IX. Előadás
ALAPTERMÉKEK ÁRALAKULÁSÁNAK
MODELLEZÉSE
Az Európai Szociális Alap támogatásával
Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében
Tartalom
A binomiális háló modell
A folytonos multiplikatív modell
A Wiener folyamat
ITO-Folyamatok
Folytonos idejű árfolyammodellek
A diszkontált árfolyamat
GBM vs BLM
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
2
BEVEZETÉS
A cél: az alaptermék áralakulásának modellezése
Két alapmodell:
• binomiális háló
• Ito - folyamatok
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
3
A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL (BLM) I.
Választunk egy periódust, pl. 1 hét
A modell:
• egy periódus elején az ár: S
• ekkor a periódus végén az ár
S+ = Su vagy Sd
• itt u > 1, d < 1 fix
• a növekedés valószínűsége p, a csökkenés valószínűsége 1-p
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
4
A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL II.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
5
FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL I.
Választunk egy periódust, pl. 1 hét (jav: v helyett u irandó)
vagy
ahol
normális eloszlású
Ekkor
2006
független. (Jav: v helyett )
lognormális. (Jav: v helyett u irandó)
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
6
FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL II.
A log-dinamikából kapjuk:
Itt a 2. tag normális !
Feltevés: S(0) konstans, így S(k) lognormális ! (Jav: v helyett )
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
7
EMPIRIKUS LOG-HOZAM ADATOK
log S(k) eloszlása:
(INSERT: Fig 11.3, p.302)
Észrevétel: vastagfarkú eloszlás!
Tipikus értékek:  = 12%,  = 15%
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
8
LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS
Definíció (ism.): u lognormális, ha w = ln u normális.
A lognormális eloszlás:
(INSERT: Fig 11.4, p.304)
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
9
LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS II.
Tegyük fel, hogy w:
Ekkor
-re:
Értelmezés: ew felfelé szóródik, alulról korlátos, pozitív
 = 15% esetén:
!
De: nagyobb volatilitás esetén az
2006
korrekció jelentős
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
10
A WIENER FOLYAMAT I.
Véletlen tagok összege → véletlen bolyongás
Legyen (k) független, standard normális, N(0,1).
A
részletösszegek sorozata egy véletlen bolyongás.
.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
11
A WIENER FOLYAMAT II.
Egy véletlen bolyongás átskálázása:
legyen  t > 0, tk = k t
Ábrázolás: a (t,z) síkon.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
12
WIENER FOLYAMAT III.
Egy véletlen bolyongás:
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
13
A WIENER FOLYAMAT IV.
A z(tk) folyamat jellemzői:
z(tk) egy Gauss folyamat :
Ha [t1,t2] és [t3,t4] nem metszik egymást, akkor
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
14
A WIENER FOLYAMAT V.
 t → 0 esetén: a Wiener-folyamat formális, heurisztikus definíciója:
ahol (t) standard normális, és
’
’’
t ≠ t
Alternatív terminológia:
esetén.
Brown mozgás
dz(t): Gauss fehér zaj
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
15
A WIENER FOLYAMAT VI.
Precíz definíció:
z(t) Wiener-folyamat, ha
1.
Minden s < t -re z(t) – z(s) normális,
2.
Ha [t1,t2] és [t3,t4] nem metszik egymást, akkor
3.
z(0) = 0 és z(t) folytonos 1 valószínűséggel
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
16
ITO – FOLYAMATOK I.
Klasszikus kalkulus: ha x(t) differenciálható, akkor
(Leibniz-fromalizmusa)
Formáslis differenciál (infinitezimális) kalkulus: alapja a linearitás ill.
Példa:
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
17
ITO - FOLYAMATOK II.
Sztochasztikus kalkulus:
a z(t) Wiener folyamat nem-differenciálható.
Egy új formálsi infinitezimális elem: dz(t).
Az új infinitezimális kalkulus objektumai:
Értelmezés: drift + diffúzió
Az x(t) folyamat neve: Ito - folyamat.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
18
ITO - FOLYAMATOK III.
Műveleti szabályok: alapja linearitás és
Példa:
Ekkor
Az utolsó tag:
2006
az Ito-féle korrekciós tag !
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
19
AZ ITO - LEMMA
Általában: legyen
Kérdés: Mi az
folyamat sztochasztikus differenciálja.
Ito-lemma: legyen F elég sima, kétszer folyt. diff.ható. Ekkor
Az utolsó tag:
az Ito-féle korrekciós tag.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
20
FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK I.
Az árfolyam a t időben: S(t)
A modell: (jav: 3 helyett +, r helyett )
Ez megoldható:
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
21
FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK II.
Mi az S(t) dinamikája?
Legyen
Ekkor:
,így
Az utolsó tag: az Ito korrekciós tag. Innen
Tehát S(t) dinamikája: (jav: v helyett )
Terminológia: S(t) egy geometriai Brown mozgás (GBM)
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
22
FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK III.
Nyilvánvaló:
S(t) lognormális, ui. ln S(t) normális:
Innen a korábbi elemi eredmény alapján:
Jelölés:
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
23
FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK –
ÖSSZEFOGLALÁS
Legyen az S(t) árfolyamat egy geometriai Brown-mozgás:
Ekkor:
A log-hozamra: (jav: ln a tört egészére vonatkozik). (Hf: alkalmazzuk Ito-t)
ahol
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
és
24
A DISZKONTÁLT ÁRFOLYAMAT
Definiáljuk a diszkontált árfolyamatot:
Ekkor (jav: 2. tagban dS(t) áll)
Innen
Észrevétel: a drift 0 !
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
25
GBM vs. BLM I.
Vegyünk egy GBM-t:
és vegyünk egy t periódust, és tekintsük S(t) -t!
A cél: szerkesszünk egy BLM-t, amely illeszkedik S(t) –re úgy hogy:
és
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
26
GBM vs. BLM II.
A keresett BLM paraméterei:
u,d,p
Ekkor $1 dollárból indulva:
Az U = ln u, és D = ln d jelöléssel az illeszkedés egyenlete:
Három ismeretlen, két egyenlet. Tegyük fel, hogy D = -U !
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
27
GBM vs. BLM III.
Ennek közelítő megoldása kis t –re, (p kb ½ alapján):
Megjegyzés: itt , empirikusan nyerhető adatok !
Az illesztés értelme: a BLM könnyen kezelhető.
2006
HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10
28