Transcript ukuran lokasi dan variansi 2

UKURAN LOKASI DAN
VARIANSI
MEAN:
Mean merupakan ukuran rata-rata dari data.
Dua metode yang akan dibahas untuk
menentukan rata-rata adalah rata-rata
hitung dan rata-rata harmonik.
Rata-rata hitung
Merupakan pembagian antara jumlah nilai
dari keseluruhan data dengan banyaknya
data :
RUMUS-RATA-RATA HITUNG
Contoh 3.1 :
Apabila diketahui 5 orang istri tentara yang bekerja
dengan penghasilan yang bervariasi. Masing-masing
penghasilan (dalam rupiah) adalah 750.000, 800.000,
800.000, 850.000, 900.000, 1000.000.
Berapa rata-rata penghasilan mereka ?
Jawab :
Sangat mudah menentukan rata-rata dari data tersebut,
yaitu :
n
x
i
750.000+800.000+800.000+850.000+900.000+1.000.000
x

n
5
= 860.000
i 1
Berdasarkan rumus di atas, dapat dikembang kan
apabila datanya berkelompok, menjadi:
k
x 

i 1
k
f i xi

i 1
fi
dengan fI adalah
frekuensi dari data
ke i.
Contoh 3.2 :
Akan diteliti
banyaknya transaksi
dari 100 stan pada
suatu expo.
Diperoleh data
sebagai berikut :
No
Banyak transaksi
frekuensi
1
0
5
2
1
22
3
2
30
4
3
18
5
4
15
6
5
10
k
x
fx
i 1
k
i
f
i 1
i
0 . 5 +1 . 2 2 +2 . 3 0 +3 . 1 8 +4 . 1 5 +5 . 1 0

5 +2 2 +3 0 +1 8 +1 5 +1 0
i
= 2,46
Contoh 3.3 :
Jika diketahui data Nilai Ebtanas Murni
(NEM) karyawan yang diterima bekerja di
PT. Maju Mapan. Carilah nilai rata-rata
NEM nya :
Tabel : Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan
yang diterima bekerja di PT. Maju Mapan
No
Kelas Interval
Frekuensi
1
35 – 39
5
2
40 - 44
15
3
45 - 49
20
4
50 - 54
15
5
55 - 59
10
6
60 - 64
5
Maka dapat dicari rata-ratanya dengan terlebih dahulu membuat tabel
berikut :
No
Kelas Interval
1
2
3
4
5
6
35 - 39
40 - 44
45 - 49
50 - 54
55 - 59
60 - 64
Jumlah
Frekuensi (fi) Nilai tengah (xi)
5
15
20
15
10
5
70
37
42
47
52
57
62
fi.Xi
185
630
940
780
570
310
3415
Sedangkan rata-ratanya dicari dengan
menggunakan nilai tengah sebagai XI
untuk rumus di atas, yaitu :
k
x
fx
i 1
k
i i
f
i 1
i
3415

 48, 78
70
Apabila dipergunakan rata-rata duga, maka perumusan
rata-rata berubah menjadi:
.
 k

  fiU i 

x  x0  p  i 1k
 fi
i 1
Penjelasan :
Xo = salah satu harga titik tengah kelas
(merupakan rata-rata duga)
p = panjang kelas interval
Ui = 0 jika = Xo
= 1,2,3, … untuk kelas di atas Xo
= -1,-2,-3, … untuk kelas di bawah Xo
Contoh 3.4 :
Dari contoh nilai NEM di atas, apabila
dipergunakan rata-rata duga dengan nilai ratarata duga adalah 47, maka :
Tabel : Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang
diterima bekerja di PT. Maju Mapan
No
Kelas
Interval
1
35 - 39
2
Frekuensi (fi)
Ui
Ui . fi
5
-2
-10
40 - 44
15
-1
-15
3
45 - 49
20
0
0
4
50 - 54
15
1
15
5
55 - 59
10
2
20
6
60 - 64
5
3
15
70
3
25
Jumlah
 k

  f iU i 

x  x0  p  i 1k
 fi
i 1
dengan : Xo = 47, p = 5
x  47 
5.{5(-2)+15(-1)+15.1+10.2+5.3}
70
125
x  47 
70
x  48, 78
Modus
Merupakan nilai atau data yang paling sering
muncul.
Untuk data berkelompok :
 b1 
Mo  b  p 

 b1  b2 
Keterangan :
Dengan :
Mo = Modus
b = batas bawah kelas modus
b1 = beda frekuensi kelas modus dengan
kelas inteval yang mendahului
b2 = beda frekuensi kelas modus dengan
frekuensi kelas interval berikutnya.
P = Interval/ panjang kelas modus
 b1 
Mo  b  p 

b

b
 1 2
.
b = 44.5
p = 5
b1 = 20 - 15 = 5
b2 = 20 - 15 = 5
Mo = 44.5 + 5 {5/(5+5)}
Mo = 44.5 + 2.5
Mo = 47
Jadi data yang paling sering muncul atau
modusnya adalah 47.
Contoh 3.5 :
Dari data NEM di atas, berapa nilai yang paling
sering muncul (modusnya) ?
Jawab :
Kalau dilihat dari penyebaran datanya, maka
frekuensi tertinggi dan menyatakan kelas
interval yang paling sering muncul adalah 45 49 yaitu 20 kali. Dengan demikian, pastilah
modus dari data ini nantinya tidak akan bergeser
dari selang tersebut.
Dipergunakan rumus umum mencari modus
yaitu :
MEDIAN
Median merupakan nilai sentral dari sebuah
distribusi frekuensi. Merupakan nilai sentral
berhubungan dengan posisi sentral yang
dimilikinya dalam sebuah distribusi,
Median membagi seluruh jumlah observasi atau
pengukuran kedalam 2 bagian yang sama.
Untuk data yang berkelompok kelas yang
mengandung median adalah kelas pertama
untuk frekwensi komulatif menyamai atau
melebihi setengah dari ukuran sampel (populasi)
MEDIAN
Merupakan setengah dari data, setelah
disortir dengan cara :
Susun data mulai yang terkecil
Jika banyak data ganjil, median adalah
yang paling tengah
Jika banyak data genap, median adalah
rata-rata data tengah
RUMUS YANG DIGUNAKAN
MEDIAN.... 1
(n/2) - F
= B + ----------------- X i
Fm- F
Dimana :
B
Fm
F
n
i
= Tepi kelas bawah dari interval dimana mediannya terletak
= Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan tepi kelas atas
dari interval dimana median dihitung.
= Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan B
= nilai observasi
= Interval kelas
RUMUS YANG DIGUNAKAN .....2
md
(n/2) - ( n - F' m)
=A - -------------------------- X i
F' m - F'
Dimana :
A = Tepi kelas atas dari interval dimana mediannya terletak
F' m = Frekwensi komulatif yang sesuai dengan A
F' = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan
tepi kelas atas dari interval dimana median dihitung
i = Interval kelas
Hasil Ujian Statistik 111 orang
Mahasiswa FEUI
53,53
63,49
73,55
62,66
52,49
33,88
34,88
45,77
70,51
48,10
58,21
61,50
57,07
65,41
51,61
44,06
60,48
63,48
40,48
56,34
54,09
51,13
20,07
63,14
58,63
50,74
66,60
53,35
52,26
58,87
63,28
56,72
47,83
44,14
50,91
45,41
69,65
47,76
47,54
74,63
43,01
48,67
32,61
51,74
60,36
49,03
50,84
56,00
59,16
61,61
47,92
59,84
48,75
66,12
56,31
67,48
34,38
71,16
54,96
29,10
50,09
54,31
52,94
66,19
62,98
35,54
54,51
55,15
51,77
46,98
50,37
55,54
64,00
56,23
69,79
59,06
51,54
58,77
63,85
55,78
52,26
53,02
39,19
55,27
50,75
57,29
45,09
38,87
52,43
67,79
41,22
46,33
44,82
50,94
58,94
42,59
56,71
44,54
44,88
53,94
36,41
56,57
45,01
73,53
48,97
44,48
51,31
55,05
37,57
27,43
26,87
MEDIAN
Tabel nilai Ujian 111 orang Mahasiswa yang mengikuti statistik FEUI
tahun 1967
Nilai Ujian
mi
fi
mi. Fi
Tepi
Kelas
19,995
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
Jumlah
-
29,99
39,99
49,99
59,99
69,99
79,99
X
= 52,743
24,995
34,995
44,995
54,995
64,995
74,995
4
9
25
48
20
5
111
99,980
314,955
1.124,875
2.639,760
1.299,900
374,975
5.854,445
29,995
39,995
49,995
59,995
69,995
79,995
Frekwensi
Komulatif kurang dari
0
4
13
38
86
106
111
HISTOGRAM FREKUENSI HASIL UJIAN STATISTIK
FEUI
Y = JUMLAH
MAHASISWA
60
24,995
34,995
44,995
54,995
64,995
74,995
50
40
30
20
10
0
x = NILAI UJIAN
POLIGON FREKWENSI
KUMULATIF UJIAN STATISTIK
FEUI
Y = JUMLAH
MAHASISWA
120
14,995
100
24,995
80
34,995
60
40
44,995
20
54,995
0
64,995
X = NILAI MAHASISWA
74,995
MEDIAN
(111/2 - 38
= 49,995 +
X 10
86 -38
= 49,995 + 3,645
= 53,640
PENENTUAN MEDIAN DARI DATA TERTINGGI KE TERENDAH
(111/2) – (111 – 86)
= 59,995 X 10
86 -38
= 59,995 - 6,354
= 53,640
KUARTIL
Cara menghitung kuartir pada dasarnya sama
dengan menghitung median, secara teoritis Xi
yang ordinatnya membagi seluruh distribusi
kedalam empat bagian yang sama, dimana nilainilai kuartil (Q1 merupakan kuartil pertama yang
nilai Xi memiliki frekuensi kurang dari sebesar
n/40.
Q1, Q2, dan Q3 pada dasarnya sama dengan
menghitung median.
Cara menghitung Q1
n/4 = 111/4 = 27,75
(111/4) - 13
Q1= 39,995 +
X 10
38 - 13
= 45,895
Q2 = Median
3 n/4 = 83,25
83,25 – 38
Q 3 = 49,995 +
X 10
86 -38
= 60,0512
PENGUKURAN DESIL
Desil nilai-nilai Xi yang membagi seluruh
luas segi empat panjang dari histogram
kedalam 10 bagian yang sama. D1
merupakan Desil pertama nilai Xi memiliki
frekwensi komulatif “kurang dari” sebesar
n/10
Pengukuran persentil
Persentil adalah nilai-nilai Xi yang
membagi seluruh distribusi kedalam 100
bagian yang sama. P1 merupakan
persentil pertama, dimana nilai Xi memiliki
frekwensi komulatif “ kurang dari” sebesar
n/100
P 50 merupakan sentil ke 50 dimana nilai
Xi memiliki frekwensi komulatif “ kurang
dari” sebesar 50 n/100
SOAL QUIS
Jika dikelompokkan nilai ujian
Matematika I seluruh Kadet tingkat I
yang berjumlah 150 orang dalam 6 kelas
interval hasilnya adalah sebagai berikut :
No
1
2
3
4
5
6
Kelas Interval
31- 40
41 - 50
51 - 60
61 - 70
71 - 80
81 - 90
Frekuensi
5
10
35
50
30
20
Carilah :
Mean
Modus
Median
Kuartil
Persentil pertama