Transcript 4-Tendensi Sentral (M, Mdn, Mo)

TENDENSI SENTRAL
KONSEP TENDENSI SENTRAL
• Kecenderungan pemusatan nilai dalam suatu
distribusi data.
• MEAN: nilai rata-rata distribusi data
• MEDIAN: nilai tengah distribusi data setelah
data diurutkan
• MODUS: data (nilai/skor atau titik tengah)
yang memiliki frekuensi tertinggi dalam suatu
distribusi data
POSISI TENDENSI SENTRAL
MEAN
MEDIAN
MODUS
RERATA/RATA-RATA
• Skala hitungan data paling rendah adalah
pada level interval (interval dan rasio)
• Ada tiga jenis rerata mencakup
Rerata hitung (sering disebut rerata saja)
Rerata ukur
Rerata harmonik
APAKAH RATA-RATA?
• rata-rata hitung: Mengukur nilai rata-rata
sebenarnya dari data.
• Misalnya Rata-rata nilai mata kuliah statistika
mahasiswa AN, Rata-rata jumlah pencari kerja
selama tahun 2010 sampai 2012 yang
terdaftar di Disnaker Surabaya.
MEAN/RERATA HITUNG
• MEAN (M = Mx = X)
• Rumus:
∑ fX
M =
N
Cara lain menghitung rerata
X
7
7
6
5
4
4
4
3
40
Y
10
9
9
6
5
4
3
2
1
1
50
X = 40 / 8 = 5
Y = 50 / 10 = 5
Rumus dengan Frekuensi
Rumus rerata dengan melibatkan frekuensi
X 


X 
1
X 1  X 1  X 1  ...
X 2  X 2  X 2  ...
(

 ...)
NX
f1 k a li
f 2 k a li
1
( f1 X 1  f 2 X 2  ...)
NX

fX
NX
 fX
 f
Rumus ini lebih praktis untuk data dengan
berbagai frekuensi.
Lebih mudah jika kita dibantu oleh tabel
distribusi freduensi.
Tabel 1 Persiapan Menghitung Mean
Interval
X
f
65 - 69
67
6
60 - 64
62
24
55 - 59
57
25
50 - 54
52
15
45 - 49
47
10
40 - 44
42
6
35 - 39
37
5
30 - 34
32
4
25 - 29
27
3
20 - 24
22
2
JUMLAH
-
N=100
fX
∑fX
MEAN TERKAAN
∑ fx’
M = MT + (
) i
N
KETERANGAN:
MT : mean yang diterka (titik tengah kelas interval yang diterka)
i : lebar kelas interval
x’ : x tanda (deviasi dari MT)
N : jumlah sampel
PROSEDUR MENGHITUNG MEAN TERKAAN
• Terkalah letak suatu mean (suka-suka), titik
tengah dari kelas interval tersebut adalah MT.
• Sebaris dengan kelas interval letak mean
terkaan itu, pada kolom x’ berikan tanda 0
(nol),
• Di atas angka nol tersebut, berikan berturutturut angka positif dan di bawahnya negatif.
• Kalikan f dengan x’ dan jumlahkan.
• Isikan komponen-komponen tersebut ke
dalam rumus dan hitunglah.
Tabel 2 Persiapan Menghitung Mean
dengan Rumus Mean Terkaan
Interval
X
f
x’
fx’
65 - 69
67
6
+4
+24
60 - 64
62
24
+3
+72
55 - 59
57
25
+2
+50
50 - 54
52
15
+1
+15
45 - 49
47
10
0
0
40 - 44
42
6
-1
-6
35 - 39
37
5
-2
-10
30 - 34
32
4
-3
-12
25 - 29
27
3
-4
-12
20 - 24
22
2
-5
-10
N = 100
∑fx’ = 111
MEAN TERKAAN
∑ fx’
M = MT + (
) i
N
111
M = 47 + (
) 5 = 47 + 5,55
100
= 52,55
Contoh
Kelompok
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
X
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
f
2
3
5
14
25
18
13
fX
71
Hitunglah rerata X dengan rumus biasa dan terkaan.
PARAMETER RERATA HITUNG PADA DATA DIKOTOMI
Khusus pada data dikotomi, rerata sama dengan proporsi
X =  = f/N
sehingga pada umumnya, digunakan proporsi
Contoh: Data dikatagorikan menjadi dua (dengan kode 1 dan 2)
Data X
1
2
X = 7 / 10 = 0,7
1
1
2
1
X = 7 dari 10 = 0,7
2
1
1
X = X = 0,7
1
7 (Jumlah f pada katagori 1)
3 (Jumlah f pada katagori 2)
APAKAH RATA-RATA UKUR?
• rata-rata ukur: Mengukur tingkat perubahan
(rate of change) untuk data nilai positif
• Misalnya:
(1) Rata-rata tingkat pertambahan pinjaman
setiap bulan di kantor pegadaian.
(2) Rata-rata pertumbuhan sambungan telpon
setiap bulan, berdasarkan data sambungan
telpon selama setahun.
PARAMETER RERATA UKUR
Rerata ukur adalah perkalian data yang ditarik
akarnya sebesar banyaknya data; Akar pangkat N
dari jumlah perkalian data.
N
Rumus rerata ukur
UX  N  Xi
i 1
Contoh
Data : 3 4 5
Rerata ukur
U

3
( 3) (4 ) (5)
 3 60
 3,9 1 5
Data : 2 2 4 5 7 8 8
Rerata ukur
U=
APAKAH RATA-RATA HARMONIK?
• Rata-rata harmonik: Mengukur nilai rata-rata data
yang memiliki nilai positif dan ada rasio.
• Misalnya 1: tiga pegawai bagian pembelian diberi
tugas membeli kayu di pedalaman. Setiap pegawai
mendapat uang Rp. 450 juta. Dari hasil pembelian
diperoleh bahwa pegawai ke-1 membeli kayu seharga
Rp. 30.000/m3, pegawai ke-2 Rp.35.000/m3,
pegawai ke-3 Rp.32.000/m3. Berapa rata-rata harga
kayu per meter kubik yang telah dibayar oleh
perusahaan.
• Misalnya 2: Si A bepergian pulang pergi. Saat pergi
kecepatannya 10 km/jam dan pulangnya 20 km/jam.
Berapa rata-rata kecepatan pulang pergi?
PARAMETER RERATA HARMONIK
1
N
Rumus
HX
1

Xi
 i 1
1
NX
X

NX
NX
1

i 1 X i
Contoh:
Data: 3 5 6 6 7 10 12
H 
7
 5,87
1
1
1
1
1
1
1






3
5
6
6
7
10
12
Data: 2 2 4 5 7 8 8
H=
MEDIAN
1. Dasar
• Median adalah data yang membagi dua sama besar distribusi
frekuensi data
• Proporsi di sebelah menyebelah median adalah masing-masing 0,5
0,5
0,5
median
0,5
0,5
median
2. Median pada Data Deret Hitung
Pada data deret hitung atau distribusi seragam, median terletak di tengahtengah deret
Contoh
3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
20 25 30 35 40 45
Median M = 6
9
Median M = 5,5
Median M = 32,5
RUMUS MEDIAN
½ N – cf (b)
• Mdn = L + (
) i
fd
½ N – cf (a)
• Mdn = U - (
) i
fd
KETERANGAN:
L : batas bawah nyata dari kelas
yang mengandung median
N : jumlah sampel
Cf(b) : cf di bawah kelas
interval yang mengandung
median
i : lebar kelas interval
fd : frekuensi dalam interval
yang mengandung median
U : batas atas nyata dari
interval yang mengandung
median
cf(a) : cf di atas kelas interval
yang mengandung median
LANGKAH-LANGKAH
• Buat tabel persiapan (interval, X, f, cf)
• Tentukan setengah N (½ N)
• Cari dalam kolom cf: angka (cf) yang
mengandung (½ N)
• Tandai baris yang relevan dengan itu
• Temukan komponen-komponen yang
dimaksud dalam rumus.
• Gunakan rumus dan hitung.
Tabel Persiapan Menghitung Median
Interval
X
f
cfa
cfb
65 - 69
67
6
6
100
60 - 64
62
24
30
94
55 - 59
57
25
55
70
50 - 54
52
15
70
45
45 - 49
47
10
80
30
40 - 44
42
6
86
20
35 - 39
37
5
91
14
30 - 34
32
4
95
9
25 - 29
27
3
98
5
20 - 24
22
2
100
2
100
MODUS
•Modus adalah data dengan frekuensi terbesar. Di dalam
grafik, modus menunjukkan puncak pada poligon atau
histogram
•Dalam susun data tertentu, dapat saja terjadi, ada dua atau
lebih modus
modus
modus
Letak modus pada data tunggal
• Pada data tunggal, modus terletak tepat pada data
dengan frekuensi terbesar
Contoh
Data X : 4
Frek : 3
5 6 7 8 9
5 10 15 11 6
Modus : Mo = 7
Contoh
Data X: 40 50 60 70 80 90
Frek
5 20 10 8 15 9
Modus: Mo = 50
Letak modus pada data berkelompok
• Pada data kontinu, biasanya modus perlu dihitung melalui
interpolasi, sesuai dengan letak puncak pada grafik
• Modus juga sering dikemukakan sebagai titik tengah dari
interval dengan f tertinggi.
• Rumus modus
b
Mo  b  p
1
b1  b2
b = batas bawah nyata kelas modus
p = lebar kelas interval
b1 = frekuensi kelas modus minus frekuensi kelas
interval segera sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus minus frekuensi kelas
interval segera sesudahnya
Kelas
Batas Batas Frek
bawah atas
31 – 40
30,5
40,5
1
41 – 50
40,5
50,5
2
51 – 60
50,5
60,5
5
61 – 70
60,5
70,5
15
71 – 80
70,5
80,5
25
81 – 90
80,5
90,5
20
91 – 100 90,5 100,5
12
b = 70,5
p = 10
Interval sebelumnya
Kelas modus
Interval sesudahnya
b1 = 25 – 15 = 10
b2 = 25 – 20 = 5
b1
b
b2
p
Modusnya adalah:
b1
10
Mo  b  p
 70,5  10
 77,17
b1  b2
10  5
Contoh: Hitunglah modusnya.
Kelompok
Frekuensi
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
2
3
5
14
25
18
13
Mo = 56.61