Transcript 多边形内角和

北师大版教科书八年级下册第六章第四节
银川市十五中：郑佳
课题：多边形的内角和与外角和
背 景 分 析
教 学 目 标
课 堂 结 构
教 学 媒 体
教 学 过 程
教 学 评 价
一、背景分析
（一）学习任务分析
本节课是在多边形的初步认识及三角形
内角和基础上的拓展，是从特殊到一般的深
化 。通过本节课的学习，可以培养学生探索
与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到
一般以及转化等重要的思想方法，加深对三
角形内角和的理解。这为学生探索客观世界
中不同形状物体存在的一般规律打下基础。
【教学重点】
多边形内角和定理的探索及其初步应用
一、背景分析
（二）学生情况分析
学生在本节课之前，已学习了多边形的概
念、多边形内角和定理等相关知识，具备了
学习多边形内角和的知识基础和一定的解决
几何问题的方法.但学生对类比与化归思想的
理解和应用还处于较浅的层次
【教学难点】
如何引导学生将多边形通过不同方法分割成三
角形，并归纳出多边形内角和公式
二、教学目标设计
1、经历探索多边形内角和公式的过程，
进一步发展合情推理能力；
2、掌握多边形内角和公式，进一步发展
演绎推理能力；
3、通过多边形转化为三角形的教学，让
学生体会类比转化思想在几何中的运用。
三、课堂结构设计
欣
赏
图
片
提
出
问
题
概
括
归
纳
应
用
新
知
小
结
梳
理
引
入
新
课
展
开
探
究
形
成
新
知
解
决
问
题
课
后
延
伸
四、教学媒体设计
（一）多媒体辅助教学
运用多媒体辅助教学，直观呈现教学素材，
图文并茂，从而更好地激发学生的学习兴趣，
也为学生提供展示的平台，增大教学容量，提
高教学效率。
四、教学媒体设计
（二）学案教学的运用
运用学案教学使课前预习真正成为学生先行
探究的自主学习活动，课前发现自己的问题所
在，使得在学习过程中能更加高效，并为学生
提供检测学习效果的适当材料。
学案
设计
四、教学媒体设计
（三）设计科学合理的板书
6.4多边形内角和与外角和（一）
探索：
任意四边形内角和360°？
探索活动：
n边形内角和公式：
（n-2）×180°
（辅助性板书）
（过程性板书）
（结论性知识）
五、教学过程设计
（一） 欣赏图片
课
引入新
（二） 提出问题
究
展开探
（三） 概括归纳
知
形成新
（四） 应用新知
解决问
（一） 欣赏图片 → 引入新课
教学过程设计
观察下列生活中的图片，说说其中蕴含了哪些
平面图形？
欣赏图片 → 引入新课
教学过程设计
我们把这些图形统称为多边形.并通过足
球、钟表回顾正多边形的概念，为后面涉及
正多边形的习题做好铺垫，从而引出课题.
由这些生活中的图案转换为数学
中的图形，让学生感受数学与现实生活
的联系，激发学生的学习兴趣.
（二） 提出问题 → 展开探究
教学过程设计
1、三角形的内角和是多少？
2、正方形、长方形、平行四边形的内
角和分别是多少？
3、任意四边形的内角和是多少？
4、你是怎样得到的？
学生有以下三种回答：
（1）测量得到；
（2）类比三角形内角和，将四边形四个角拼在
一起；
（3）作一条对角线，将四边形分成两个三角形。
提出问题 → 展开探究
教学过程设计
针对学生的回答，借助几何画板的演示从测
量与拼合两个角度验证“任意四边形内角和都
是360°”这一结论。
把握了起点的问题串设计为学生课堂思维指
引了方向，同时也找到了本节课学生知识的生
长点。简单的问题串能够使学生思维顺畅，便
于独立思考，积极参与教学活动。而借助几何
画板为学生思维上升到理性层次提供感性基础。
提出问题 → 展开探究
教学过程设计
学生通过学案，展开探究：
任意四边形内角和都是360°？
你能证明它吗？你能找到几种方法？
交流前，留给学生足够的时间寻找证明
方法；交流时，注意倾听，适时点拨，关注
证明方法的多样化，为拓宽学生思路，此处
再次借助几何画板，让学生对转化思想有了
更深刻的认识，从而突破难点。
提出问题 → 展开探究
教学过程设计
将四边形转化成三角形，归纳起来，有以下几种方法：
E
A
A
B
O
B
A
B
D
C
D
C
180°×2 = 360°
180°×3－180°= 360°
D
C
A
内角和：△EBA+ △ECD=360°
A
B
B
O
C
D
180°×4－360°= 360°
C
利用平行线及△内角和
D
提出问题 → 展开探究
教学过程设计
E
A
A
B
O
B
A
B
D
C
D
C
180°×2 = 360°
180°×3－180°= 360°
D
C
A
内角和：△EBA+ △ECD=360°
A
B
B
O
C
D
180°×4－360°= 360°
C
D
利用平行线及△内角和
在充分交流后，通过及时总结方法，深化
认识，培养学生归纳、总结的习惯和能力。
（探索方法小结 —— 转化思想）
之所以选用四边形展开探究而未选用教材
中给出的五边形，原因如下：
1、四边形与五边形内角和的证明方
法类似，但四边形图形更简单，尤其在学
生作辅助线时，五边形较复杂；
2、学生已通过演绎推理证明了三角
形内角和，但对四边形内角和还停留在小
学的感性认识阶段，而且前几节学生重点
学习了特殊的四边形，因此，选用四边形
展开探究，更符合学习的连续性和学生实
际。
（三） 概括归纳 → 形成新知
教学过程设计
1、任选一种你喜欢的方法求出：五边形内
角和是
!
这道题起着承上启下的作用：既是
上面内容的应用，又为下面的探索
做了铺垫
那么六边形、七边形…n边形的内角和呢？
概括归纳 → 形成新知
教学过程设计
2、通过填写表格，完成多边形内角和公式的
推导探索过程
由任一
顶点出
发分割
多边形
A1
A1
A1
A2
A5 A2
A2
A1
A6
An
A2
A5
A5
A4
A4 A3
A3
A3
A4
A4
A3
多边形边数
4
5
6
n
三角形个数
2
3
4
n-2
多边形内角和
2×180°
3×180° 4×180° （n-2）×180°
概括归纳 → 形成新知
教学过程设计
概括归纳，得到n边形内角和公式：
（n-2）×180°
（四）应用新知 → 解决问题
教学过程设计
随堂练习是为了对所学新知识进行巩固，同时
引导学生由知识向技能过度，在练习中提倡当堂学
习，让学生学以致用。
1、例题：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
，∠B与∠D有怎样的关系？
D
A
（对四边形内角和的一个直接应用）
B
C
应用新知 → 解决问题
教学过程设计
2、（1）七边形的内角和是
度，
（2）一个多边形的内角和是1080°，它是
几边形？
（3）小明有一个设想：今年是2014年，要
是能设计一个内角和是2014°的多边形花坛该多
有意义啊！小明的这个想法能实现吗？
（对推广归纳所得公式的一个直接应用,不仅渗透
了利用逆向思维和方程思想解决问题，同时增强学
生应用知识的能力，培养创造性思维）
应用新知 → 解决问题
教学过程设计
3、（1）正六边形每个内角为
度；若正n边形
的一个内角是135度，那么n=
；
（2）小彬求出一个正多边形的一个内角是
145°，他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边
形的内角？如果不正确，请说明理由。
（利用多边形内角和公式求解正多边形的内角，进一
步增强学生对正多边形的认识）
4、（议一议）剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片
还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴
交流。
（这里渗透分类讨论的思想，以锻炼学生思维的条理
性和严密性）
＊ 小结梳理 → 课后延伸
教学过程设计
1、小结梳理
通过本节课的学习你有哪些收获？
（如知识、方法、数学思想）
课堂小结不仅具有梳理新知的作用，同时也是对探
究学习中积累数学活动经验的提升。通过交流，让
学生互相补充进行小结，尊重学生认知的多样化，
培养学生独立归纳总结的能力，引导学生养成学
习——总结——再学习的良好习惯，同时可发展学
生的语言表达能力。
小结感知 → 课后延伸
教学过程设计
2、课后延伸：
必做题：完成导学案、课本习题6.7的1、2、3题
选做题：
1、观察如图是如何将五边形内角和问题转化成三
角形问题？你能利用这种方法推导出多边形的内角
和公式吗？试试看！
2、设计一个实验（如剪纸、拼图等），说明四边
形内角和是360°
我对作业作了分层要求，让不同层次的学生在原有的
基础上都获得发展。必做题主要是巩固所学，选做题
是让学生把多边形内角和的探究延伸到课下，提高学
生思维的多样性和开阔性，设计实验还可锻炼学生的
动手实践能力，积累学生数学活动经验。
（六）教学评价设计
评价时我关注学生的学习结果，更关注学生探索
结论、分析证明思路和方法的过程。
◆探究过程中，留给学生足够的时间寻找证明方法，不以一
些思维活跃的学生的完成时间作为标准，剥夺了其他学生的
思考时间；
◆从作业的反馈情况看，尤其是选做题1题过半学生能够完
成，说明在环节二的交流过程中，借助几何画板突破难点的
做法是适当的、有效的；
◆本节课教学过程中仍存在对学生的表现进行评价时较单一，
应注意适时发挥学生间的自我评价作用。