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유체역학 2-5,6,7,8 환경공학과 20081453 안다미 HW 2-5 삼각 수문(GATE) (그림 2.12)가 를 따라 힌 지(HINGE)로 연결되어 있고 에 작용하는 수직력 에 의하여 열려진다. 수문 윗부분에는 비중 O.8인 기름 이 채워져 있고 아래 부분은 대기 중에 개방되어 있 다. 수문의 무게를 무시하고 다음을 구하여라. (A) 수 문에 작용하는 힘의 크기를 적분으로, 그리고 식 (2.5.2)를 적용하여 구하라. (B)압력중심의 위치, (C) 수문을 여는데 필요한 힘의 크기 . HW2-5 A) 수문에 작용하는 힘의 크기를 적분으 로, 그리고 식 (2.5.2)를 적용하여 구하라 (a) 그림 2.12를 참조하여 적분하면 F pdA sin A yxdy sin 3 6 .5 a b a, b에 관해서 풀고, a, b의 값을 제 1식에 대입하여 x의 값을 y의 항으로 나타낼 수 있다. 6 48 6 b x 5 ( y 8) 5 같은 방법으로 y=13 , x=6 과 y=18, x=0으로부터 x=6(18y)/5, 따라서 6 13 F sin [ ( y 8 ) dy 5 5 18 (18 y ) ydy ] 13 이 식을 적분하고 rsinθ의 값을 대입하면, 합력의 크기를 얻는 다. 6 y y 13 3 F 62 . 4 ( 0 . 8 )( 0 . 05 ) xydy 6 .5 0 4a b 5 9 x가 y에 따라 선형적으로 변화하고, y = 4에서 x = O, y = 6.5 에서 x=3이므로 a xydy sin 4 x ay b 6 .5 식 (2.5.2)로부터 3 15 9734 . 41 lb 4 y 9 y 5 3 3 13 5 2 2 F p G A y sin A 62 . 4 ( 0 . 08 )( 13 )( 0 . 05 )( 30 ) 9734 . 4 lb (B)압력중심의 위치, (C)수문을 여는데 필요 한 힘의 크기 . (b) 도시된 좌표축에 대하여 도심의 위치는 x 2 .0 , 이다. 식 (2.5.8)을 다시 쓰면 I xp xy y 13 x yA 작용면은 x축에 평행한 도심축에 관하여 대칭이므 로 I 0, 따라서 x x 1 .0 m 이다. 식 (2.5.11)로부터 p xy yp y IG yA 2 1 3 2 .5 3 12 6 . 5 7 . 5 0 . 16 m 즉, 압력중심은 도심보다 수문면을 따라 측정해서 O.32 ft 아래에 위치한다. (c) 기름에 의한 효과를 합력으로 대치하고, CD에 관한 모멘트평형을 취하면 ( P )( 6 ) 9734 . 4 ( 2 ) P 3244 . 8 lb 2-6 수로의 높이가 일정 높이 [그림 2.14(A)]로 되면 수문이 열려 물이 쏟아지도록 설계된 구조물이 있다. 수문 은 2,500의 무게를 갖는 강철판으로 되어있다. 높이 를 구 하라. HW 지면에 수직으로 단위 폭을 갖는 수평부분 [그림 2.14(b)]에 작용하는 힘을 밑면적 1.2m2, 일정높이 yN / m 인 압력프리즘의 부피로 주어지므로 그 크기가 F y 1 . 2 yN 이고 압력중심은 밑면의 도심이 된다. 수직면의 압력프리즘은 밑면이 ym2 이고 높이가 0부 터 ryN / m 2 까지 변하는 쐐기모양이다[그림 2 F y / 2N y / 2 x 2.14(c)]. 평균높이가 이므로 이다. 쐐기모양 프리즘의 체심은 힌지로부터 y/3 높이에 있다. 수문 밑면부분의 강판 무게 3,000N이 그의 중심에 작용한다. 그림 2.14(d)는 모든 힘과 모멘트 계산을 위한 거리가 圖示(도시)되어 있다. 수문이 기울기 시작하려는 순간의 높이 에 대하여 평형방정 식을 세우면, 힌지에 대문이 기울기 시작하려는 순 간의 높이 에 대하여 평형방정식을 세우면, 힌지에 대한 모멘트 합이 0이어야 하므로 2 M ( 3000 N )( 0 . 6 m ) (1 . 2 yN )( 0 . 6 m ) ( y 2 2 N )( y 3 m) 0 혹은 M y 4 . 32 y 1 . 1014 0 3 위 방정식은 두개의 근 중 오직 하나만이 식의 근을 갖는다. 그 값은 2와 3사이의 값임을 쉽게 알 수 있 다. Newton-Raphson법(부록 B.5)을 사용하면 이 방법은 일종의 축차법이다. y의 초기값을 적절히 가정한다. 예컨대, y=2.5로 하 고 식의 우변에 대입하면 좀 더 근접한 y값이 나온 다. 세 번 반복하여, y=2.196m를 얻는다. hw 2-7 평면에 작용하는 압력에 의한 힘의 한 응용으로서 중력 댐(gravity dam)의 설계가 있다. 댐에 작용하는 힘들로 부터 댐 밑면에서의 최대압축응력과 최소압축응력을 계 산할 수 있다. 그림 2.15는 콘크리트 댐의 한 단면을 표 시한 그림이다. 콘크리트의 비중량은 2.5이고, 는 물의 비중량이다. 폭 1ft의 댐을 자유물체로 생각한다. 자유물 체에 작용하는 힘들은 콘크리트, 물, 기초압력 (foundation pressure) 그리고 정수력학적 융기 (hydrostatic uplift)등에 의한 힘을 들 수 있다. 정수력 학적 융기의 크기를 결정하는 문제는 이 책의 정도를 벗 어나지만, 여기서는 댐의 상단에서 정수압력수두 (hydrostatic head)의 1/2이 작용하고, 이것이 선형적으 로 감소하여 하단에서는 0이 된다고 가정한다. 충분한 마찰력, 다시 말해서 전단응력이 댐의 밑바닥에 발생되 어 수압에 의하여 댐을 밀어내는 힘과 평형을 이루어 야 한다. 즉, 이다. 밑바닥에서 댐을 밀어 올리려는 결과력 은 댐의 무게에서 정수력학적융기력을 뺀 것과 같다. 즉, 이고, 작용점은 자유물체가 평형을 이루는 점이다. 0점 에 관한 모멘트를 취하면 M 그리고 0 0 R y x 5000 ( 33 . 33 ) 2625 ( 5 ) 1750 ( 23 . 33 ) x=44.8ft 통상 기초압력은 댐 밑면에 걸쳐 선형적으로 변화하는 것으로 가정한다. 즉, 압력 프리즘은 Ry와 같은 부피를 갖는 사다리꼴이 된다. 따라서, 70 7625 max min 2 여기서бmax 와бmin 은 lb/ft2의 단위라 표시한 최대, 최소 압축응력이다. 압력프리즘의 체심은 x=44.8ft지점에 위 치한다. 체심의 위치를 бmax 와бmin 항으로 나타내기 위하 여 점0에 관한 모멘트를 취한다. 식을 정리하면 max 11 . 75 min 따라서 max 210 12500 lb / ft 2 min 17 . 1 1067 lb / ft 2 을 얻는다. 밑면에 작용하는 합력의 작용점이 댐 밑면을 3등분 했을 때 중앙부분에 오기만 하면 бmin 은 항상 압 축응력이 된다. 콘크리트는 인장에 매우 취약하므로 좋 은 설계가 되기 위해서는 합력이 밑면의 3등분 중 중앙 에 작용하도록 설계하는 것이 요망된다. 2-8 곡면에 작용하는 합력의 수평성분을 구 하는 방법을 그림을 이용하여 식을 포함하여 설 명하라. HW 곡면에 작용하는 전압력의 수평성분은 곡면의 연직투영 면적에 작용하는 전압력과 같다. 연직투영면과 수평성분 의 방향은 서로 수직한다. 그림 2.18의 곡면은 임의의 3 차원 곡면을 나타내고 있다. 는 미소 면적소이고 에 수직 한 수직선은 음의 x축과 의 각을 이룬다. 의 한쪽 면에 F x p A cos 작용하는 전압력의 x방향성분은 이다. 여기서cos A 는 x축과 수직한 평면에 대한 δA의 투영면적과 같다. 그러므로 δA의 투영면적에 작용 하는 힘의 크기는 pcosθδA이고, 이 힘의 방향은 x 축 방향이다. 각각의 면적을 x축에 수직한 평면에 투영시켜 합한 면적은 곡면 전체를 x축에 수직한 연 직면에 투영시킨 면적과 같다. 따라서 연직면에 사 용한 곡면의 투영면적에 작용하는 전압력은 곡면에 작용하는 전압력의 투영면에 수직한 방향의 수평성 분과 같다. 곡면에 작용하는 전압력의 x축에 수직한 방향의 수평성분(y 방향)을 구하려면, x축과 평행한 (y축에 수직한)연직면에 그 곡면을 사용한 투영면 적에 작용하는 전압력을 계산하면 된다. 곡면에 작용하는 합력의 수평성분이 작용하는 작용 선을 구하려면, 각면적에 작용하는 힘의 성분으로 구성되는 평형력계의 합력을 필요로 한다. 이 합력 은, 두 역계가 본질적으로 동일한 수평성분력 분포 를 가지므로, 토영면상에 위치한다.