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LAGRANGIAN POINT
한양대학교 물리학과 14 학번 강정훈 , 14 학번 오승민 , 14 학번 조현일 , 14 학번 정 은호
CONTENTS
5.
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7.
8.
1.
2.
3.
4.
9.
라그랑지안 포인트 정의 라그랑지안 포인트 구하는 방법 에너지계산을 통하여 라그랑지안 포인트 위치 구하기 [ 태양 지구 ] 계에서 L1, L2, L3 위치 [ 태양 지구 ] 계에서 L4, L5 의 위치 에너지의 변화율로 판단한 라그랑지안 포인트의 안정성 힘의 합력으로 판단한 라그랑지안 포인트의 안정성 안정성을 강화하는 방법 결론
라그랑지안 포인트
(
라그랑주 포인트
)
정의 • 두 물체가 질량중심을 회전중심으로 하는 일정한 주기의 등속원운 동을 하고 있을 때 질량을 무시할 수 있는 작은 물체가 두 물체의 중력에 영향을 받아 같은 주기로 등속원운동을 하는 지점
라그랑지안 포인트 구하는 방법 1.
2.
두 물체에서 작은 물체에 작용하는 합력이 작은 물체가 두 물체와 같은 주기로 두 물체의 질량중심을 돌게끔 하는 구심력으로 작용 하는 것을 이용하여 위치를 구한다 .
두 물체에서 작용하는 중력으로 인한 퍼텐셜 에너지의 변화량이 가장 작은 지점이 가장 안정한 지점 , 즉 라그랑지안 포인트임을 이 용하여 위치를 구한다 .
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • 회전 좌표계 도입 • 회전 좌표계 도입 이유 𝐿 4 𝐿 4
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • 포텐셜 에너지 구하기
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • 1.
수식정리 상대속도 = 0 2.
퍼텐셜 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • 3.
수식정리 두 물체에서 작은 물체까지의 거리 대입 4.
케플러 제 2 법칙 적용
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • 적분상수 C 의 의미 위 식에서 같은 C 의 값에 따른 그래프를 그려보면
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • 에너지에 관한 함수로 생각하면 … • 변화량이 0 일 때 가장 안정적인 지점 !
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • y=0 일 경우 • x 의 범위에 따라 세 가지의 지점이 나온다
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • y≠0 일 때 • 위 아래 식은 y≠0 이므로 아래 식에서 위 식에서 빼주면 y 를 나누고 다시 x 를 곱해서
에너지계산을 통하여 라그랑지안 포 인트 위치 구하기 • X1, X2 대입 • 놀랍게도 재 L4 와 L5 는 두 물체를 이은 직선의 수직이등분선 상에 존 • 앞서봤던 식에 대입했더니 …
[
태양
-
지구
]
계에서 라그랑지안 포인트 의 위치 • • 1.
2.
[ 태양 지구 ] 계에서 라그랑지안 포인트의 위치를 구하기 위해 … M1=Ms( 태양질량 ), M2=Me( 지구질량 ) 질량비 R=149598261km Ms/Me=333000 L1, L2, L3 의 위치를 구할 때 편의를 위해 이동한 식을 사용 –x 축 방향으로 x1 만큼 평행 L1 의 위치 – 평행이동을 하고 질량을 치환한 식 • 정리해서 계산을 하면 • 지구에서부터의 거리를 구하면
[
태양
-
지구
]
계에서 라그랑지안 포인트 의 위치 • • 동일한 방법으로 L1, L2, L3 의 위치를 구하면 지구에서 L1 까지의 거리 • 지구에서 L2 까지의 거리 • [ 태양 지구 ] 질량중심에서 L3 까지의 거리
[
태양
-
지구
]
계에서 라그랑지안 포인트 의 위치 • L4 와 L5 의 회전 반지름 구하기 • 지구의 회전 반지름과 비교하면
에너지의 변화율로 판단한 라그랑지 안 포인트의 안정성 • • 목표 다 .
: 에너지의 변화율을 이용하여 각 지점의 안정성을 판단해본 방법 : 각 라그랑지안 포인트에서 회전중심으로 동일한 거리만큼 이동했을 때 에너지의 변화 양상을 확인하여 안정성을 확인한다 . 이때 변화가 가장 큰 부분이 불안정할 것이다 .
• 수식의 간략화를 위해 G=1 R=1 M1=9 M2=1 로 가정하고 계산하였다 .
• 순서 : 각 라그랑지안 포인트 위치 구하기 각 라그랑지안 포인트에서 질량중심으로 위치를 구하기 0.1
만큼 이동한 곳의 그 지점에서 에너지의 변화율을 계산 가장 급격하게 변하는 곳을 확인
에너지의 변화율로 판단한 라그랑지 안 포인트의 안정성 • 각 라그랑지안 포인트 위치 구하기 • 이전과 동일한 방법으로 계산
에너지의 변화율로 판단한 라그랑지 안 포인트의 안정성 • 각 라그랑지안 포인트에서 질량중심으로 좌표 0.1
만큼 이동한 지점의 • 이 좌표를 대입하면
힘의 합력으로 판단한 라그랑지안 포 인트의 안정성 • L1, L2, L3 - x 축 어느 방향으로든 한번 움직이기 시작하면 물체에 작용하는 힘의 균형이 깨져서 어느 한쪽으로 떨어지게 된다 .
- y 축 방향으로 움직이면 힘의 합력이 라그랑지안 포인트 방향으로 작용하여 돌아온다 .
다 .
- L3 는 지구와의 거리가 멀어서 금성 등의 다른 천체의 인력을 받는 𝐿 1
힘의 합력으로 판단한 라그랑지안 포 인트의 안정성 • L4, L5 에서의 힘을 엄밀히 계산 • 코리올리힘이 크게 작용
안정성을 강화하는 방법 • • 헤일로 궤도 – 라그랑지안 포인트를 중심으로 태양계 평면에 수직 한 원궤도로 주기적으로 회전하는 궤도 왜 안정한가 ? – 궤도상 물체가 받는 힘의 분해 • (Fx=[ 태양 = 지구 ] 질량중심을 회전하게 하는 힘 , Fy= 라그랑지안 포인 트를 회전하게 하는 힘 ) 라그랑지안 포인트에서 가만히 있는 물체가 받는 힘과 비교
안정성을 강화하는 방법 • 리사주 궤도 라그랑지안 포인트를 중심으로 리사주 곡선을 그리 며 반주기적으로 움직이는 궤도
결론 • 우주기지로의 적합성 판단 L4 와 L5 판단 – 매우 안정적 , 거리가 멈 L1 과 L2 판단 도가 좋아보임 – 불안정 , 거리가 가까움 , 우주기지특성상 헤일로 궤 L3 판단 – 매우 불안정 , 거리가 매우 멈 , 발전가능성은 있음
현재 실제로 진행되거나 진행될 예정 인 미션 소개
Q & A
학술제