Transcript Chap.3 Travail Energie Oscillations

CHAP. 3 TRAVAIL ENERGIE OSCILLATIONS
Travail
Définition. Travail d’une force le long du parcours AB
W
B
dl
 F  dl
AB
H
F
A


 F. dl.cos 
AB
Propriété. S’il existe EP tel que
F  grad EP (Fx=-
P
dEP
si une seule dimension)
dx
alors F est conservative et le travail ne dépend pas du
chemin suivi mais seulement de A et de B : W  EP (B)-EP (A)
Énergie Energie potentielle. On définit l’énergie potentielle du
champ de force conservative F comme une primitive:
EP   F  dl (+cte)
Energie cinétique. L’énergie cinétique d’une particule de masse m dont
le module de la vitesse est v est définie par Ek=(1/2)mv2.
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EXEMPLES D’ÉNERGIE POTENTIELLE
Energie potentielle accumulée par un ressort
F
Travail de la force de rappel lors du
déplacement x par rapport à la position
d’équilibre
x
1
2
W=
 -k x dx   2 k
x
0
Energie potentielle : E = 1 k x2
p
2
Energie potentielle accumulée par la dénivellation z
Travail : W =
z
 -mg dx =  mgz , énergie potentielle : Ep
= mgz
0
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ENERGIE MÉCANIQUE
Définition
L’énergie mécanique Em est égale à la somme de
l’énergie potentielle Ep et de l’énergie cinétique Ek
Em = Ep + Ek
Théorème
La variation (négative) d’énergie mécanique
lors d’un parcours AB est égale au travail des
forces non conservatives, dont l’énergie est
dissipée sous forme thermique.
B
ΔEm = ΔE p + ΔEk =  F.dl
A
En l’absence de forces dissipatives (non conservatives), l’énergie
mécanique se conserve (théorème de conservation de l’énergie
mécanique)
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OSCILLATIONS
Le pendule simple : description du phénomène


mg
h
mg
h
h
v
v
Au départ, le
pendule est porté à
la hauteur h. Son
énergie potentielle
est donc Ep = mgh.
Il est relâché avec
une vitesse nulle.
Son énergie
cinétique est donc
nulle.
On lâche le pendule.
La force de
pesanteur confère
de la vitesse à la
masse. A la
verticale, l’énergie
potentielle est
entièrement
transformée en
énergie cinétique
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L’énergie cinétique
s’est à son tour
transformée en
énergie potentielle.
Le pendule est
revenu à la hauteur
h, mais, sous l’effet
de l’inertie, l’angle
de rotation a
changé de sens.
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Le pendule revient en
position verticale et
va rejoindre sa
position initiale. Le
mouvement se
poursuivrait
indéfiniment s’il n’y
avait les frottements
de l’axe et de l’air,
faibles il est vrai.
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OSCILLATIONS
Le pendule simple: les équations. L’oscillateur harmonique
L’application du principe fondamental de la dynamique

h
l
dL

dt
T

d2 g
conduit à
 sin   0 , soit pour  petit
2
dt
l

..
d2 g
g



0
ou


0
dt2
l
l
mg
C’est l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique qui, avec les
conditions initiales
.
(0)  max et (0)  0 , a pour solution
(t)  max cos(
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g
l
t)
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OSCILLATIONS
L’oscillateur harmonique amorti
Quelques caractéristiques du mouvement sinusoïdal
En bleu est représentéeune période de
y
1.0
y(t)  ymax cos( t)
et en rouge :
0.5
y(t)  ymax sin( t)
t
0.2
0.4
0.6
0.8
avec ymax = 1 et avec les éléments suivants :
1.0
période : T  1 s
0.5
1.0
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fréquence : f 
1
 1 Hz
T
pulsation :  
2
 2 f (rad/sec ou s_1 )
T
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OSCILLATIONS
L’oscillateur harmonique amorti
L’application du principe fondamental de la dynamique
dv

dt
f
m
F
d2x
f dx k
conduit à l’équation différentielle


x0
2
dt
m dt m
qui s’écrit
d2x
dx
2

2z



0
0 x  0, avec 0 
2
dt
dt
k
f
1
et z 
m
2 km
.
Avec les conditions initiales x(0)  xmax et x(0)  0 , la solution est
x(t)  xmaxet cos(nt), où n  0 1  z2 et   z0
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OSCILLATIONS
L’oscillateur harmonique amorti
C’est le cas de l’équipage mobile
d’une suspension de véhicule
y
1.0
La pesanteur ne fait que déplacer le point
de repos. Seule la masse inerte intervient
e -α t
0.5
k
f
t
1
2
3
4
5
6
7
m
0.5
Oscillations amorties
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RESONANCE
Oscillateur harmonique amorti mû par une entrée extérieure
Lorsque la fréquence de l’entrée 
est égale à la fréquence propre n
du système, il y a résonance
y
10
5
f
m
Fm cos( t)
0
t
20
40
60
80
100
5
L’amplitude de l’oscillation croît de
manière très importante (plus que
décuplée dans la figure ci-contre).
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Résonance (0  1, z = 0,04)
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