Transcript Chap. 2 Equa Diff

1. DÉRIVÉE
Définition
tangente
f(x)
sécante
f(t)
 ,t
Soit l’application f de
définie et continue sur un intervalle [a,b].
La dérivée f'(x0 ) de f au point x0  [a,b]
est définie par
f(x0+h)
f(x0 )
h
f(x0+h)-f(x0 )
f
= lim
h
h0
x 0 x
f'(x0 ) = lim
x
df
dx
Conséquences . Géométriquement, la dérivée est le coefficient directeur
(la pente) de la tangente à f(x) en x0 . En physique, elle exprime la vari ation locale (ou instantanée lorsque x désigne le temps) de la fonction f.
a
x0
x 0+h
b
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Notation : f'(x) =
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1. DÉRIVÉE
Exemple.
f(x) = x2
f(x0+h)-f(x0 )
(x0+h)2 -x2
0
f'(x0 ) = lim
=lim
h
h
h 0
h0
x2
 2x0h+h2 -x2
2x0h+h2
0
0
=lim
 lim
= 2x0
h
h
h0
h 0
Equation de la tangente.
1.
2.
Elle passe par le point (x0, f(x0))
Son coefficient angulaire est f'(x0)
f(x)
tangente
f(x0+h)
f(x0 )
On trouve
h
y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)
x
0
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x0 x 0+h
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 1. La croissance exponentielle de la population.
Soit y(t) la population (en milliers) et  le taux de croissance (par milliers
et par an). On a l’équation différentielle (la relation entre y et sa dérivée):
dy
y   y t, ou encore
 y
y
dt
On sépare les variables :
dy
  dt
y
On intègre membre à membre :
y(t)  y(0) et
Cette croissance est très rapide (l’exponentielle
n
croît plus vite que x , n>0 ). Par exemple :
3
e
10
 20, e
> 20 000 (e = 2, 7 18281828...)
0, 69
t
=
La population double tous les 2

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0
t
Cas où >0
et y(0) = 0.
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 2. Décroissance exponentielle de la population.
y
Si  < 0, la population décroît
y(t)  y(0) e
t
y(0)
Cas où  < 0
La tangente recoupe l’axe
horizontal pour
t=
α
2

t
y
La population a diminuée de moitié
lorsque
t1 =
1
0
1
0, 69
α
y(0)
y(0)
2
0
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Cas où  < 0
0, 69

t
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 3. Intervention extérieure par apport de population.
Pour remédier à cette situation, on apporte  milliers d’individus par an
y   y t   t, ou encore
dy
  y
dt
L’état stationnaire (encore appelé
état permanent) correspond à
dy
0
dt
y



soit
y( ∞=) -
β
β

α
α
t
0
Cas où  < 0 et
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
> 0.
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Résolution. La
solution de l’équation différentielle linéaire du
premier ordre à coefficients constants avec une
entrée extérieure b
 dy
 a y  b, où a et b  , avec

 dt

y(0) comme condition initiale (C.I.)
est
y(t) 
b
(1  eat )  y(0) eat
a
y(t) 
b
a
b
(1  eat )
a
Si y(0)  0 , la solution s’écrit :
y(t) 
b
(1  eat )
a
Preuve : on vérifie qu’elle obéit à
l’équa. diff. et qu’elle vérifie la C.I.
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t
0
Cas où a et b > 0 et où y(0) = 0
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Résolution. Soit l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients
d2y
dt2
constants sans entrée extérieure (sans second membre)
 2z0
dy
 2
0y  0, où z et 0  ,
dt
On pose y(t) = er t. On obtient ainsi l’équation caractéristique :
r2  2z0r  2
0  0.
1. Si z > 1, les racines r1 et r2 sont réelles. Les solutions sont de la forme :
y(t) = A er1 t  B er2 t (régime apériodique), A et B cttes
2
2. Si z < 1, complexes conjuguées: r1,2    in , avec   z0 et n=0 1  z
y(t) = A e-α t c os(nt  ) (régime oscillatoire amorti), A et  cttes
3. Si z =1, on a une racine double r  0 . La solution est de la forme :
y(t) = A t e-0t  B e-0t (régime apériodique critique), A et B cttes
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Mise sous forme matricielle.
Soit l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants sans
entrée extérieure (sans second membre)
..
.
y 2z0 y 2
0 y  0, où z et 0  ,
.
.
..
2
On pose x1  y et x2  y, soit x 2  y  0 x1  2z0 x2
dx1
 a11 x1  a12 x2
dt
dx2
 a21 x1  a22 x2
dt
avec a11  0, a12  1, a21  2
0 , a22  2z0
Les valeurs propres de la matrice 2x2 des 4 coefficients [aij] sont aussi
les racines de l’équation caractéristique de l’équation différentielle.
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 5. Système linéaire prédateur-proie.
Soit y1(t) la population d’une proie et y2(t) celle d’un prédateur. Ce
dernier prélève a12 individus par milliers (de prédateurs) et par an. Cette
nutrition amène un supplément de a21 prédateurs par milliers de proies et
par an. Les taux de croissance respectifs sont a11 et a22. On obtient un
système d’équations différentielles linéaire homogène du second ordre à
coefficients constants, avec a12 < 0 et a21 > 0 dans un système prédateur
– proie, que l’on sait résoudre mathématiquement :
y1  a11 y1 t  a12 y2 t
soit
y2  a21 y1 t  a22 y2 t
dy1
 a11 y1  a12 y2
dt
dy2
 a21 y1  a22 y2
dt
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Systèmes linéaires du second ordre.
On pose S = a11+a22 et P = a11a22 - a12a21 et on cherche les racines de
l’équation caractéristique suivante, qui sont aussi les valeurs propres de la
matrice 2x2 des 4 coefficients [aij] :
l2 – Sl + P = 0
1. COL. Lorsque P<0, les racines (les valeurs propres) l1 et l1 sont
réelles et de signe contraire. Le point singulier (point d’équilibre, point
de repos), localisé en l’origine, est un col. Un col est toujours instable.
2. NŒUD. Lorsque P>0 et S2-4P>0, les racines sont réelles et de même
signe. Le point singulier est un nœud, stable si S<0, instable si S>0.
3. FOYER. Si P>0 et S2-4P<0, les racines sont complexes conjuguées. Le
point singulier est un foyer, stable si S<0, instable si S>0.
4. CENTRE. Si P>0 et S2-4P=0, les racines sont imaginaires pures et de
signe contraire. L’amplitude de l’oscillation est constante. Le point
singulier est un centre.
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Systèmes linéaires du second ordre.
1. COL dans le plan
des
phases.
Les
valeurs propres sont
réelles et de signe
contraire. Un col est
toujours instable :
quelles que soient
les C. I. y1(0 et y2(0)
- excepté sur l’une
des séparatrices du
col, ce qui conduit
aussi à un parcours
très instable - la
solution va à l’infini.
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Systèmes linéaires du second ordre.
2. NŒUD dans le plan
des phases. Les
valeurs
propres
sont réelles et de
même signe. Le
nœud est
- instable si S>0,
- stable si S<0 (cas
de la figure)
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Systèmes linéaires du second ordre.
3. FOYER dans le plan
des
phases.
Les
valeurs propres sont
complexes conjuguées.
Le foyer est
- instable si S>0,
- stable si S<0 (cas
de la figure)
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 6. Equations de Volterra-Lotka.
Nous avons vu que le prélèvement est proportionnel à la population des
prédateurs y2, mais il est justifié de considérer qu’il est aussi
proportionnel au nombre de proies y1. Les taux de croissance respectifs
sont inchangés : a11 et a22. Ces hypothèses conduisent à un système
différentiel non linéaire homogène du second ordre, que l’on ne sait pas
résoudre mathématiquement:
dy1
 a11 y1  a12 y1 y2
dt
dy2
 a21 y1 y2  a22 y2
dt
Le tracé du portrait en phase des solutions de l’équation de VolterraLotka permet une étude qualitative globale des solutions.
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 6. Equations de Volterra-Lotka.
1. Points singuliers
dy1
dy2

0
et
 0.
Ce sont les points d ’équilibre, définis par :
dt
dt
On trouve :
1. y1  0 et y2  0
2. y1  
a22
a
et y2   11
a21
a12
2. Matrice Jacobienne
L’équation aux variations dy1 et dy2 autour d’un point y1 et y2 est
un système linéaire à coefficients constants que l’on sait résoudre :
ddy1
 (a11 + a12 y2 )dy1  a12 dy2
dt
ddy2
 a21 dy1   a22  a21 y1  dy2
dt
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 6. Equations de Volterra-Lotka.
3. Nature des points
singuliers
y1  0
1. 
est un COL
y2  0
a22

y


 1
a21

2. 
: CENTRE
y   a11
 2
a12
Ci-contre : les solutions de
l’équation de Volterra - Lotka
dans le plan des phases pour
l’équilibre
d’un
système
phytoplancton – zooplancton.
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Théorème.
n  2:
La solution de l’équation différentielle linéaire d’ordre n à
coefficients constants avec une entrée extérieure (second
membre)
d2y
p
dy
 qy  f(t), où p et q  , ou bien
dt
dt2
dy
n  1:
 ay  f(t), où a 
dt
est la somme de deux termes :
1. La solution complète de l’équation sans second membre (ssm),
qui dépend d’une constante si n=1 ou de deux constantes si n=2,
à déterminer après la 2ème étape grâce aux conditions initiales (C.I.)
2. Une solution particulière de l’équation complète, qui est à re -chercher sous la forme d’une combinaison linéaire de sinus et
de cosinus si f(t) est sinusoïdal, d’une exponentielle si f(t) est
exponentielle ou d’un polynôme si f(t) est un polynôme.
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2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 4. Apport de population dépendant du temps.
On tient compte des variations saisonnières de l’apport de la population
par une fonction sinusoïdale de période T=1an.
dy
2p
 a y  b [1  sin(
t)]
dt
T
La solution de cette équation différentielle
linéaire du premier ordre à coefficients
constants est, pour T=2p et y(0)=0 :
b e-a t (-1 + a - a2 ) + 1 + a2 - a cos(t) + a2 sin(t)
y(t) =
a(1 + a2 )
L’amplitude de la solution asymptotique,
c’est-à-dire de la partie qui ne décroît pas
lorsque le temps croît indéfiniment, est
d’autant plus faible que a est grand.
a=1, b =1 et =1
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