Transcript Méca 4 : OSCILLATEURS MECANIQUES

PCSI
Physique
PCSI
Physique
Méca 4 : OSCILLATEURS MECANIQUES LIBRES A UN
Questions de cours
DEGRE DE LIBERTE.
1. Qu’est-ce qu’un oscillateur harmonique ? Comment le caractérise-t-on ? (deux méthodes). Citer
deux exemples d’oscillateurs harmoniques.
Dans ce chapitre on étudie un système mécanique incontournable : l’oscillateur harmonique.
Ce modèle convient pour décrire aussi bien les oscillations du Butafumeiro de la cathédrale de Pise, que les
vibrations d’un atome dans une molécule autour de sa position d’équilibre.
Nous commençons par caractériser le modèle de l’oscillateur harmonique puis ensuite nous envisageons le
cas d’oscillations libres amorties par frottements fluides.
Nous étudierons dans un prochain chapitre le cas des oscillations entretenues pour lesquelles on s’oppose à
l’amortissement par apport d’énergie du milieu extérieur.
OSCILLATEUR HARMONIQUE.
I.
1. Définition.
2. Equation différentielle du mouvement.
3. Exemples.
a.
b.
c.
d.
Pendule élastique horizontal.
Pendule élastique vertical.
Pendule simple AUX PETITES OSCILLATIONS.
Petites oscillations autour d’une position d’équilibre stable.
4. Aspect énergétique ; équipartition de l’énergie.
OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES.
II.
1. Equation différentielle du mouvement.
2. Etude des différents régimes libres.
a. Oscillateur fortement amorti : régime apériodique.
b. Amortissement critique : régime critique.
c. Oscillateur faiblement amorti : régime pseudo-périodique.
3. Aspect énergétique.
a. Cas général.
b. Cas d’oscillations TRES FAIBLEMENT AMORTIES.
III. ANALOGIES ELECTROMECANIQUES.
2. Pendule élastique horizontal : on considère un mobile de masse m lié au bâti par un ressort ( k , l0 ) .
Le mobile peut se déplacer horizontalement le long d’un axe Ox où sa position est repérée par
son abscisse x .
a. Utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour déterminer l’intégrale première du
mouvement du mobile. (On introduira la variable X représentant l’allongement)
b. En déduire l’équation différentielle du mouvement.
c. Quelle est la pulsation propre des oscillations ? Leur période propre ?
d. Quelle est la forme de x ( t ) ?
3. Pendule élastique vertical : on considère un mobile de masse m suspendu à un ressort ( k , l0 ) . Le
mobile peut se déplacer verticalement le long d’un axe Oz (descendant) où sa position est
repérée par sa cote z .
a. Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour déterminer l’équation différentielle
du mouvement.
b. Effectuer le changement de variable Z = z − léq . En déduire l’équation différentielle en Z du
mouvement.
c. Quelle est la pulsation propre des oscillations ?
d. Quelle est la forme de z ( t ) ?
4. Pendule simple AUX PETITES OSCILLATIONS : on considère un pendule simple ( m, l ) dont
la position est repérée par l’angle θ que fait le fil avec la verticale.
a. Exprimer l’énergie mécanique du système. Que devient-elle pour des oscillations de faible
amplitude ?
b. En déduire l’intégrale première du mouvement puis l’équation différentielle du mouvement.
c. Quelle est la pulsation propre des oscillations ?
d. Quelle est la forme de θ ( t ) ?
5. Petites
oscillations autour d’une position
d’équilibre stable : on considère un point
matériel M de masse m décrit par un seul degré
de liberté noté x ( t ) . On s’intéresse au
mouvement de ce point matériel dans un champ
de forces conservatives, au proche voisinage de
la position d’équilibre stable xe . On note EP ( x )
l’énergie potentielle du point matériel.
a. Effectuer un développement de Taylor à l’ordre 2 de EP ( x ) au voisinage de xe .
 ∂2 E 
Introduire la constante k =  2P  .
 ∂x  x = x
e
b. Exprimer l’énergie mécanique du système en fonction de x puis en fonction de X = x − xe .
c. En déduire l’équation différentielle du mouvement.
d. Quelle est la pulsation propre des oscillations ?
Méca 4
Méca 4
PCSI
Physique
PCSI
Physique
6. Aspect énergétique d’un oscillateur harmonique : on considère un mobile de masse m lié au bâti
par un ressort ( k , l0 ) . Le mobile peut se déplacer horizontalement le long d’un axe Ox où sa
position est repérée par son abscisse x .
a. Rappeler l’équation différentielle du mouvement en X = x − l0 . Quelle est la pulsation propre
des oscillations ?
On a alors : X ( t ) = X m cos (ω0t + ϕ ) .
b. Calculer l’énergie cinétique, l’énergie potentielle élastique puis l’énergie mécanique du
système. Tracer sur un même graphe l’allure des courbes EP ( t ) , EC ( t ) et EM ( t ) .
c. Que dire de l’énergie mécanique de l’oscillateur harmonique ?
d. Calculer les moyennes temporelles de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle
élastique. Conclure.
Objectifs
Savoirs :
Savoir caractériser un oscillateur harmonique (amorti ou non en régime libre) par son
équation différentielle du mouvement ou son intégrale première dans le cas de l’oscillateur
harmonique.
Savoir et savoir montrer qu'un oscillateur harmonique permet de modéliser les petites
oscillations autour d'une position d'équilibre stable.
Connaître et savoir développer les analogies électromécaniques.
7. Quelle est l’équation différentielle caractéristique d’un oscillateur libre amorti ? (Introduire les
grandeurs (ξ , ω0 ) , ( Q, ω0 ) , (τ e , ω0 ) et les nommer). Citer un exemple.
Quels sont alors les différents mouvements (transitoires) observables ?
Savoirs faire :
8. Aspect énergétique d’un oscillateur libre et amorti : on considère un mobile de masse m lié au
bâti par un ressort ( k , l0 ) . Il est de plus soumis à une force de frottements fluides de la forme
f = −α v . Le mobile peut se déplacer horizontalement le long d’un axe Ox où sa position est
repérée par son abscisse x .
Savoir déduire de l'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur libre harmonique,
la pulsation propre du système, son facteur de qualité et la nature du régime libre.
Savoir résoudre les équations différentielles du mouvement d'oscillateurs libres harmoniques
amortis ou non.
a. Effectuer un bilan d’énergie sur un oscillateur libre et amorti. Introduire la variable
X = x − l0 .
Connaître et savoir réaliser un bilan énergétique de l'oscillateur harmonique libre, amorti ou
non.
dE
b. En déduire l’expression de m .
dt
Savoir lire et interpréter un portrait de phase : présence ou non de frottements, identification des
positions d’équilibre stables ou instables, lien entre caractère fermé du portrait de phase et le
caractère périodique du mouvement.
c. Cas d’oscillations TRES faiblement amorties :
i. Donner l’expression générale de X ( t ) . En déduire l’expression de Xɺ ( t ) .
−t
ii. Montrer que l’énergie mécanique du système peut s’écrire Em ( t ) = Em ( 0 ) e τ .
9. Développer les analogies électromécaniques (entre circuit ( R, L, C ) série et système {masseressort-amortisseur}).
e
Méca 4
Méca 4