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第三章
二維運動
Ch03 二維運動
2
3.1
位置向量、速度向量與加速
度向量
位置與位移
• 一物的位置可由它
的位置向量 r 來表示
• 物體的位移定義為
該物前後位置的變
化
r  r f  ri
Ch03 二維運動
4
平均速度
• 平均速度為位移與發
生這一位移所需時間
的比值
v avg
r

t
• 平均速度的方向與位
移的方向相同
Ch03 二維運動
5
平均速度
• 二點之間所計算出來的平均速度和連接這
二點的路徑無關

這是因為平均速度來自於位移，而位移與路徑
是無關的

假設有一質點自某一點出發，於繞行某段路徑
後又回到原出發點，由於此一行程位移為零，
是故其平均速度也是零
Ch03 二維運動
6
瞬時速度
•瞬時速度是當平均速度的分母(時間間隔) ∆t
趨近於零時的結果
r d r
v  lim

t 0 t
dt
• 在質點移動的路徑上，任意一點的瞬時速
度方向是在該點與路徑相切的切線上，且
指向物體運動的那一方
• 瞬時速度的大小即為速率
Ch03 二維運動
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平均加速度
• 一質點移動時的平均加速度是瞬時速度的
變化除以該變化所經歷的時間
aavg
v f  vi
v


t f  ti
t
Ch03 二維運動
8
平均加速度
•質點移動時瞬時速度的變化 v
，由下圖中即可看
出，可由不同的方式得到
•平均加速度是向量，其方向與 v
相同
Ch03 二維運動
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瞬時加速度
• 瞬時加速度是平均加速度的分母 ∆t 趨近於
零時的結果
v d v
a  lim

t 0 t
dt
Ch03 二維運動
10
加速度的形成
• 下列各種不同的變化都會導致加速度的產
生

改變速度向量的大小

改變速度向量的方向
• 即便是它的大小並沒有改變

速度的大小與方向同時在改變
Ch03 二維運動
11
簡答題 3.1
• 考慮下列汽車的控制系統：油門、煞車、
方向盤。下列的控制系統中可使汽車產生
加速度的是 (a) 所有的控制系統；(b) 煞車
和油門；(c) 只有煞車；(d) 只有油門。
Ch03 二維運動
12
簡答題 3.1
(a)。因為加速度發生於速度改變時，不管是速率的
增減、方向的改變，或兩者都有，所有三項控制器
都存在於加速系統。油門使汽車加速，煞車使汽車
減速。方向盤控制速度向量之方向。
Ch03 二維運動
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3.2
二維等加速度運動
二維運動中的運動方程式
• 若二維運動為等加速度運動，那麼就會有
一系列的方程式依等加速度的特徵發展出
來
• 這些方程式和一維運動時類似
Ch03 二維運動
15
運動方程式
• 位置向量
r  xˆi  yˆj
• 速度

d r dx ˆ dy ˆ
v

i
j  vx ˆi  v y ˆj
dt dt
dt
由於加速度為常數，我們照樣能將速度透過時
間來加以表示：
v f  vi  at
Ch03 二維運動
16
運動方程式
•速度可以它的分量形
式表示
•一般而言末速度 v 的方
f
向既不會和初速度 方vi
向相同，也不會和加速
度與時間相成的量 同at
方向
Ch03 二維運動
17
運動方程式
•位置向量也能夠用時間來表示:
1 2
r f  ri  v i t  at
2

上式告訴我們，位置向量是由三個向量相加來
的:
•其一為最初位置的位置向量 r
i
•其二為初速度乘時間 v i向量
t
2
•最後一項是來自於加速度和時間平方相乘 12 at的向
量
Ch03 二維運動
18
運動方程式
•右圖為位置向量的向
量表示法
•一般來說，末位置向
量 r並不會和初速度
f
v或加速度
同方向
a
i
•位置向量r f一般也不
會和末速度 v同方向
f
Ch03 二維運動
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Ch03 二維運動
20
運動方程式－分量表示
• 計算末速度與末位置的方程式均為向量程
式，是故它們都可以寫成分量的形式
• 這樣一來，對於二維等加速度運動就可以
將它看成二個完全獨立的運動行為

其中一個是沿 x 方向運動，而另外一個則沿 y
方向運動
Ch03 二維運動
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運動方程式－利用分量來呈現
• v f  v i  at 可以寫成

vxf  vxi  axt 和

v yf  v yi  a y t
1 2
• r f  ri  v i t  at 可以寫成
2

1 2
x f  xi  vxi t  axt 和
2

1 2
y f  yi  v yi t  a y t
2
Ch03 二維運動
22
例題3.1
• 一質點在 xy 座標系統中運動，在 t = 0 時通
過原點且初速 v  (20ˆi 15ˆj) m/s 。若加速度
i
a  4.0ˆi m/s 2。
A.決定速度的分量為時間的函數與任何時間
之下速度向量。
• 解答
Ch03 二維運動
23
例題3.1(續)
vxf  vxi  axt  (20  4.0t )
v yf  v yi  a y t  15 m/s
v f  vxf ˆi  vyf ˆj  [(20  4.0t )ˆi  15ˆj]
Ch03 二維運動
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例題3.1(續)
B.計算在時間 t = 5.0 s時，質點之速度與速率。
• 解答
v f  {[20  4(5.0)]ˆi  15ˆj} m/s  (40ˆi  15ˆj) m/s
 v yf
  tan 
 vxf

1

1  15 m/s 
  tan 
  21
 40 m/s 

v f  v f  v  v  (40)  (15) m/s  43 m/s
2
xf
2
yf
2
Ch03 二維運動
2
25
3.3
拋體運動
拋體運動
• 一個物體它可以同時朝 x 與 y 方向運動
• 接下來要處理此類二維運動我們稱為拋體
運動
Ch03 二維運動
27
拋體運動的一些假設條件

•自由落下的運動中，全程的加速度均為 g

而且它是永遠指向下方(地面)的
•在運動過程中空氣阻力是被忽略的
•基於上述二項假設，物體做拋體運動時，其軌跡
為拋物線

此一路徑稱為軌跡

這種假設就是一個簡化的模型，本章即採用此一模型
Ch03 二維運動
28
拋物線軌跡的驗証
• 參考座標的選擇

取 y 軸為垂直軸且以向上為正
• 加速度的分量分別是

ay   g 和 a  0
x
• 初速度的二個分量是

vxi  vi cos  和 v yi  vi sin 
Ch03 二維運動
29
拋體運動－速度方程式
• 在任意時刻 t 時速度的二個分量分別是：
vxf  vxi  vi cos i  定值
v yf  v yi  gt  vi sin i  gt
Ch03 二維運動
30
拋體運動 – 位置的表示法
• 以時間來表示位移的二個分量
x f  xi  vxi t  (vi cos i )t
1 2
1 2
y f  yi  v yi t  gt  (vi sin i )t  gt
2
2
• 將上面二式合併消去時間：

g
y f  (tan i ) x f   2
2
 2vi cos i

 2
 xf

上式和拋物線的標準方程式 y = ax – bx2 有相同
的形式
Ch03 二維運動
31
拋體運動的解析
• 我們可以把拋體運動看做是在 x 與 y 方向的二個
獨立運動的重疊
• 沿 x 方向的運動是等速度運動

ax = 0
• 沿 y 方向的運動式自由落體運動

ay = -g
• 它在任意時刻的位置是由下式表示
1 2
r f  ri  v i t  gt
2
Ch03 二維運動
32
拋體運動的向量
• r  r  v t  1 gt 2
f
i
i
2
• 物體最後的位置向量是由
初位置向量 vi (在本圖中 vi
= 0)， t 所提供的向量以及
加速度 v i t 所提供的 12 gt 三
個向量相加得到
Ch03 二維運動
33
拋體運動的圖形
Ch03 二維運動
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Ch03 二維運動
35
拋體運動－具有的一些特徵
• 在拋體到達最高點時它的 y 方向運動分量為
零
• 加速度在拋體全程運動中保持不變
Ch03 二維運動
36
簡答題 3.2
• 當一個投射物被向上拋出並沿拋物線路徑
行進 (如圖3.6)，在路徑上那一點會造成其
速度和加速度向量互成垂直？(a) 沒有；(b)
最高點；(c) 發射點。在路徑上那一點會發
生其速度與加速度向量成平行狀態？(d) 沒
有；(e) 最高點；(f) 發射點。
Ch03 二維運動
37
簡答題 3.2
(b)，(d)。只有一點，投射軌跡的峰點，會使速度和
加速度向量互成垂直。速度向量在該點成水平，同
時加速度向量朝下。加速度向量總是朝下的。如果
物體沿著如圖3.6之路徑的話，速度向量決不會是垂
直的。
Ch03 二維運動
38
拋體運動的射程與最大高度
• 當針對拋體運動加以分析
時有二個特徵十分有趣
• 其一為射程，即拋體運動
的水平距離
• 其二為拋體所能達到的最
大高度 h
Ch03 二維運動
39
拋體的最大高度－方程式表示
• 拋體的最大高度可以透過初速度 vi 加以計
算
vi2 sin 2 i
h
2g
• 上式僅適用於拋體運動的軌跡是以最高點
的垂直線呈對稱的情形
Ch03 二維運動
40
拋體運動的射程－方程式表示
• 拋體的射程可利用它的初速度來表示：
vi2 sin 2i
R
g
• 上面的射程表示法也僅限於對拋體軌跡是
對稱的情況
Ch03 二維運動
41
和拋體射程有關的另一些訊息
Ch03 二維運動
42
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Ch03 二維運動
43
拋體的射程－最後的一些討論
• 最大射程出現在拋體射出時仰角i = 45o 時
• 射出時的仰角當二者相加成 90o 時，此二拋
體具有相同的射程

但是二者拋體的最大高度不同

此外這二個拋體在空中飛行的時間也不相同
Ch03 二維運動
44
簡答題 3.3
• 按互動圖3.8針對不同發射角所成之五條路
徑做排序，依飛行時間長短，從最短飛行
時間排至最長飛行時間。
15°, 30°, 45°, 60°, 75°。最大高度越大，投射體達
到那高度所花的時間越長。所以隨著發射角的增
加，飛行時間也會增加。
Ch03 二維運動
45
拋體運動－解題的一些提示
1. 概念

將拋體運動時的拋物線軌跡想像出來
2. 分類

首先確認題目中的質點在 y 方向為自由落體，
並且空氣的阻力可以忽略

選擇適當的座標
Ch03 二維運動
46
拋體運動-解題的一些提示
3. 分析



把最初的速度分解成 x 與 y 分量
要記住水平運動與鉛直運動二者是各不相干的
• 針對水平運動，以等速度條件來處理
• 對於垂直方向的運動，則以等加速度來處
理
還要記住一點，那就是水平與垂直運動他們所
花的持間是相同的
4. 總結

核對最後的結果
Ch03 二維運動
47
非對稱型的拋體運動
• 它也遵循拋體運動的
一般規則
• 把 y方向的運動區分成
向上與向下二個部分


先向上運動，然後再往
下
或是先處理絡回原高度
的對稱拋物線，然後再
計算拋體剩下來所下降
的高度
• 這種非對稱的情形也
有可能以另一種形式
呈現
Ch03 二維運動
48
例題3.2
• 一個石頭在建築物頂端以初速20.0 m/s、仰
角30.0° 被擲出，如圖3.9。
A.若建築物高45.0 m，求石頭的「飛行時間」？
• 解答
vxi  vi cos i  (20.0 m/s)(cos30.0)  17.3 m/s
v yi  vi sin i  (20.0 m/s)(sin 30.0)  10.0 m/s
Ch03 二維運動
49
例題3.2(續)
Ch03 二維運動
50
例題3.2(續)
1 2
y f  yi  v yi t  gt
2
1
2 2
45.0 m  0  (10.0 m/s)t  (9.80 m/s )t
2
Ch03 二維運動
51
例題3.2(續)
B.石頭撞擊地面前之速率若干？
• 解答
vyf  vyi  gt
 10.0 m/s  (9.80 m/s )(4.22 s)  31.4 m/s
2
v f  vxf2  v yf2
 (17.3)  (31.4) m/s  35.9 m/s
2
2
Ch03 二維運動
52
例題3.3
• 一架阿拉斯加救難飛機投下一個緊急救難
糧食包裹給一個受困探險隊，如圖3.10所示。
若飛機距地面100 m水平飛行，其速度為40.
0 m/s，試問包裹落地時相對於投下處之距
離？
• 解答
x f  xi  vxi t  0  (40.0 m/s)t
Ch03 二維運動
53
例題3.3(續)
Ch03 二維運動
54
例題3.3(續)
1 2
y f  yi  v yi t  gt
2
1
100 m  0  0  (9.80 m/s 2 )t 2
2
t 2  20.4 s 2
t  4.52 s
x f  (40.0 m/s)(4.52 s)  181 m
Ch03 二維運動
55
例題3.4
• 奧運會在赤道處舉行，其 g = 9.78 m/s2，一
運動員擲出80.0 m。4年後奧運會在北極舉
行，其 g = 9.83 m/s2 ，假設投擲者擲出標槍
之初速與他在赤道處擲出時相同，請問標
槍在北極將飛行多遠？
• 解答
R北極
v sin 2 i

g北極
2
i
Ch03 二維運動
56
例題3.4(續)
R赤道
R北極
R赤道
R北極 
g赤道
g北極
v sin 2 i

g赤道
2
i
 vi2 sin 2 i

g北極


 vi2 sin 2 i

 g赤道
R赤道


  g赤道
 g北極


9.78 m/s 2

(80.0 m)  79.6 m
2
9.83 m/s
Ch03 二維運動
57
3.4
質點做等速率圓周運動
等速率圓周運動
• 當一物以相同的速率在圓形路徑上運動時，
我們稱此種運動為等速率圓周運動
• 此時仍然具有加速度，這是因為速度的方
向在改變

速度方向的改變關係到物體運動時的加速度
• 這種運動的瞬時速度方向是沿著物體運動
軌跡的切線方向
Ch03 二維運動
59
等速率圓周運動的速度變化
• 速度的改變，來自於它的方向上的變化
• 速度變化的向量圖形表示
v  v f  v i
Ch03 二維運動
60
向心加速度
•此一加速度永遠和運動的路徑垂直
•此加速度永遠指向圓周運動的圓心
•此一加速度因此被稱為向心加速度

向心意謂指向(往)圓心的意思
•向心加速度ac的大小可表為
v2
ac 
r
•向心加速度的方向一直在改變，以保持它
永遠指向圓周運動的圓心
Ch03 二維運動
61
週期
• 週期 T 表示物體繞圓一圈所需要的時間
• 物體運動的速率可以用圓周長度除以週期
得到
• 是故，週期 T 可以表為
2 r
T
v
Ch03 二維運動
62
簡答題 3.4
• 下列那一段敘述可以正確描述一粒子做圓
周運動時之向心加速度向量？(a) 定值且總
是與該粒子之速度向量垂直；(b) 定值且總
是與該粒子之速度向量平行；(c) 大小不變
且總是與該粒子之速度向量垂直；(d) 大小
不變且總是與該粒子之速度向量平行。
Ch03 二維運動
63
簡答題 3.4
(c)。我們不可選擇 (a) 或 (b)，因為向心加速度向
量不是固定的；它持續地改變方向。在其餘的答
案中，只有 (c) 說明 ac 和 v 正確的關係，互為垂直。
Ch03 二維運動
64
例題3.5
• 地球繞太陽運轉之向心加速度為何？
• 解答
 2 r 
v 2  T 
4 2 r
ac 

 2
r
r
T
2
4 (1.5  10 m) 
1 yr


2
7
(1 yr)
 3.16 10
3
2
 5.9  10 m/s
2
11
Ch03 二維運動


s
2
65
3.5
切線與徑向加速度
切線加速度
• 物體運動時的速度大小也有可能改變

就如同速度方向的改變一樣
• 導致速度大小發生變化是由於切線加速度
的作用
Ch03 二維運動
67
合加速度
• 切線加速度使質點運動的速率發生改變
• 徑向(法線、向心)加速度是來自於速度在方向上
的改變
Ch03 二維運動
68
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Ch03 二維運動
69
合加速度－數學式
• 切線加速度 a  d v
t
dt
2
v
• 徑向(法線)加速度 a  a  
r
c
r
• 合加速度 a  ar2  at2

是合加速度的大小

合加速度的方向由切線與法線二相垂直的加速度來決
定
Ch03 二維運動
70
簡答題 3.5
• 一粒子沿一路徑運動且其速率隨時間增加。
(i) 下列那一種情況會造成其加速度向量與
速度向量互為平行？(a) 路徑是圓的；(b) 路
徑是直線的；(c) 路徑是拋物線形的；(d) 不
可能。(ii) 從相同選項中，那一種情況使得
其加速度和速度向量在路徑上之任一點皆
互為垂直？
Ch03 二維運動
71
簡答題 3.5
(i)，(b)。速度向量正切於路徑。如果此加速度向量水平
於速度向量，它就必須正切路徑。為達到正切須使加速度
向量無任何分量垂直於此路徑。如果此路徑改變方向，此
加速度向量就會有徑向之分量，也就垂直於路徑。所以路
徑必須是直的。(ii)，(d)。如果加速度向量垂直於速度向量
，它必無分量可正切路徑。換句話說，如果速率正在改變
，必有一加速度分量正切路徑。所以，在這種狀況速度和
加速度向量絕不互為垂直。只有在速率不變之下它們才可
互相垂直。
Ch03 二維運動
72
3.6
相對速度
相對速度
•對於相互間有運動的二位觀察者而言，一般來說
他們觀察同一實驗(現象)所得結論並不完全一致
•例如，站在路旁的觀察者看到紅車的車速，會較
坐在藍車內的觀察者所見同一輛紅車的車速為快
Ch03 二維運動
74
相對速度－一般表示法
• 參考座標 S 是靜止不動
的
• 座標 S’則以速度 v OO 相
對於 S’ 朝右運動
• 假設在 t = 0 時，二座標
的原點重合在一起
Ch03 二維運動
75
相對速度－方程式表示
• 由二座標所見空間某一點的位置向量，可以透過
二座標間的相對速度 v OO 來表示
rPO  rPO  vOOt
• 上式的位置關係經對時間微分後會得到速度的關
係式
v PO  v PO  vOO
• 上面的速度關係，也可以移項後表示成在 O’上見
到的P點速度
vPO  vPO  vOO
Ch03 二維運動
76
例題3.6
• 一船朝北以相對河水10.0 km/h之速度過河，
河水以對地面5.00 km/h之速率朝東流去。
A.河邊一靜止觀察者所測量船之速度為何？
• 解答
vbE  vbw  v wE  (10.0ˆj  5.00ˆi ) km/h
Ch03 二維運動
77
例題3.6(續)
vbE  v
2
bw
v
2
wE
 (10.0) 2  (5.00) 2 km/h  11.2 km/h
 vwE 
1  5.00 
  tan 
  tan 
  26.6
 10.0 
 vbw 
1
Ch03 二維運動
78
例題3.6(續)
B.若船直接朝北渡河，則船頭須朝何方向前
進，同時船對地球之速率為何？
• 解答
 vwE 
1  5.00 km/h 
  sin 
  sin 
  30.0
 10.0 km/h 
 vbw 
1
vbE  v  v
2
bw
2
wE
 (10.0) 2  (5.00) 2 km/h  8.66 km/h
Ch03 二維運動
79
例題3.6(續)
Ch03 二維運動
80
3.7
延伸議題：
汽車之橫向加速度
汽車(自動車)的加速度
• 汽車的側向加速度是指當
車輛在轉彎時，不致造成
翻覆的最大向心加速度
• 側向加速度的大小，受到
車輛質心高度與左右輪距
的影響
Ch03 二維運動
82