Transcript Atomic Structure 原子結構

第4章
原子結構
Atomic Structure
Modern Physics
4.1 核原子 The Nuclear Atom
原子內部具有很大的空間
• 西元1898年時，英國的物理學家湯姆森(J.J. Thomson)提
出一個假設，認為原子其實只是一團帶正電的物質，而電
子埋在這些物質裡面，好像水果蛋糕裡面的葡萄乾一樣
（圖4.1）。
J.J. Thomson原子模型。
Modern Physics
拉塞福散射實驗。
Modern Physics
p

p
Modern Physics
(Ze)( 2e) b
2Ze 2
p  Ft 
 
2
40b v 40bv
2Ze 2
40 bv
2Ze 2


mv
40 mv2 b
p  mv

Ze 2 
 tan  

2 
20 mv b 

Modern Physics
散射角
40 KE
cot  
b
2
Ze
• 拉塞福散射公式
– 截面積
   b2
– 將截面積中的b代入
2
 Ze 
 cot 2 
f  nt
 40 KE 
2
Modern Physics
Problem
• 求出能量為7.7 MeV的 粒子束入射到厚度為3107 m的金箔片時，散射角大於45°
的比例。這些數據為Geiger和Marsden當初使用的數據。
• 答
原子數
質量/m 3

– 首先，利用下式求出單位體積金箔內所含的金原子數 n 
m3
質量 / 原子
– 因為金的密度為1.93104 kg/m3，金原子質量為197 u，1 u = 1.661027 kg，可得
1.93 10 4 kg/m 3
n
(197 u/atom)(1. 66 10-27 kg/u)
 5.90 10 28 atom/m 3
– 金的原子序為79，動能為7.7 MeV(相當於 1.231012 J)，且 = 45°；從這些數據
可以得到被散射的角度大於45° 以上的 粒子比例 f 為
f  7 10 5
– 大約只有0.007% 。一個這麼薄的金箔對於粒子來說幾乎是透明的。
Modern Physics
拉塞福散射公式
Ni ntZ2 e 4
N( ) 
(80 )2 r 2 KE 2 sin 4 ( / 2)
N ( )  單位面積上以散射角  到達屏幕的  粒子數
N i  到達屏幕的所有  粒子數
n  金箔單位體積內的原子數
Z  金箔原子的原子序
r  屏幕與金箔的距離
KE   粒子的動能
t  金箔厚度
拉塞福散射。N()代表單位面積上以散射角 到達屏幕的入射粒子； N(180)代表
反方向散射的粒子數。這個實驗的結果符合原子核模型推論的曲線。
Modern Physics
原子核的尺寸最小距離
2Ze 2
R
4 0 KEinitial
 粒子的最大動能為 7.7 MeV = 1.210−12 J
(2)(9.0  109 N  m 2 /C2 )(1.6  10 19 C)2 Z
R
1.2  1012 J
 3.8  1016 Z m
Z = 79, R(Au) = 3.010−14 m
(4.2)
Modern Physics
拉塞福原子模型。
Modern Physics
拉塞福的分析是有效的嗎？
• 拉塞福推導散射公式的時候所運用的物理定律，運用在原
子穩定性的問題上是失敗的。
• 因此拉塞福建構的電子在遙遠的距離圍繞中心原子核的原
子模型，是原子真正的結構模型嗎?
• 為了驗證古典力學至少是近似正確的結果，首先考慮在速
度為 2.0  107 m/ s 的時候，粒子的德布羅依波長為
h
6.63  1034 J  s


m (6.6  1027 kg)(2.0  107 m / s)
 5.0  1015 m
• 此波長的粒子最接近金原子核的距離為310-14 m，是德布
羅依波長的六倍。因此，在整個作用過程中將粒子視為古
典粒子尚稱是合理的。
Modern Physics
4.2 電子軌域 Electron Orbits
原子的行星模型及其謬誤
• 拉塞福原子模型經過實驗的強力佐證，描繪的是一個緊密、
厚實的正電原子核，在相對遙遠的外圍環繞著相當數量的
電子，使整個原子保持電中性。
Fc  Fe
mv2
1 e2

r
40 r 2
e
– 電子速度 v 
40 mr
– 氫原子的總能量 E = KE + PE
氫原子內的力平衡。
E
e2
80r
Modern Physics
Example 4.1
• 實驗顯示需要13.6 eV的能量才能將氫原子的質子和電子分
離；也就是說，氫原子的總能量為E = 13.6 eV。求出氫原
子的軌道半徑和電子速度。
答
– 因為 13.6 eV  2.2  1018 J，
(1.6 1019 C) 2
11

5.3

10
m
r

12
18
80 E
(8 )(8.85 10 m)( 2.2 10 J)
e2
求出的原子半徑和利用其他方法得到的答案一致。
– 電子速度：
v
e
40 mr

1.6 10 19 C
( 4 )(8.85 10 12 m )(9.1110 31 kg )(5.3 10 11 m )
 2.2 106 m/s
因為v << c，在氫原子的情況下可以忽略特殊相對論的效應。
Modern Physics
古典力學的矛盾
• 以上的分析結果是直接由古典物理的兩大
棟樑--牛頓運動定律和庫侖定律--所得結果。
如同實驗的觀察結果，原子會處於穩定狀
態。然而，這樣的分析並不能滿足古典物
理的另一個棟樑--電磁學理論--所預測，加
速運動中的電荷會以電磁波的形式輻射出
能量。電子沿著曲線軌道行進具有加速度，
因此會持續地失去能量並且很快地以螺旋
形的軌跡向內墜落至原子核。
• 但實際上原子並沒有崩潰。這個矛盾進一 因為原子內的電子在加
步說明了前兩章所看到的問題：在巨觀世 速度運動過程中會向外
界裡適用的物理定律，在微觀世界裡不一 輻射能量，根據古典物
理的觀念，電子會以螺
定成立。
旋形的軌跡快速地墜落
至原子核。
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4.3 原子光譜 Atomic Spectra
每個元素具有特定的線光譜
• 原子具有線光譜，是另一古典物理無法解釋的現象。
• 當原子密集時(固體或液體，統稱凝體)，原子間交互作用過多，
產生的輻射無法顯示特定原子的特徵。
• 原子氣體或蒸氣壓力只要略小於大氣壓力均適於被激發。通
常以施加電流的方式產生的輻射，其光譜僅包含一些特定的
波長。
光譜儀。
Modern Physics
• 每個元素具有特定的線光譜
一些氫原子、氦原子以及
汞原子的主要輻射光譜線。
一個元素的吸收
光譜中的暗線對
應到其輻射光譜
中的亮線。
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氫原子光譜系
• 波長的公式為
–可見光區Balmer series
1
 1
 R  2  2  n  3, 4,5,

n 
2
1
Rydberg constant R  1.097  107 m1  0.01097 nm1
–紫外光區Lyman series 1
1 1
 R  2  2  n  2,3, 4,

1 n 
氫原子的Balmer series光譜。H譜線
為紅色，H譜線為藍色，和H譜線為
紫色，其他的譜線則在紫外光範圍附近。
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• 紅外光的部分，已發現三個族系的光譜
線，由以下的公式可以得到波長
– Paschen series
1 
 1
 R 2  2 
n 

3
– Brackett series
1 1
 R  2  2  n  5, 6, 7,

4 n 
– Pfund series
1 
 1
 R 2  2 
n 

5
1
n  4, 5, 6,
1
1
n  6, 7, 8,
氫原子的光譜族系。每個譜系中
的波長可以簡單的公式表示。
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4.4 波耳原子 The Bohr Atom
原子中的電子波動
• 第一個成功的原子理論由波耳在1913年所提出。
– 軌道上的電子波長  
– 穩定軌道條件 n  2 rn
h
e
40 r
m
n  1, 2, 3,
n2 h 2 0
– 波耳原子的軌道半徑 rn 
me 2
n  1, 2, 3,
– 波耳半徑 a0  r1  5.292  1011 m
rn  n2 a0
Modern Physics
氫原子中電子的軌道對應到一個可以頭尾相連的德布羅依電子波。
Modern Physics
線圈的一些振動模態。在每個情況下線圈的圓周長正好為波長的整數倍。
非整數倍波長的情況不能持續存在，因為會產生
破壞性干涉。
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4.5 能階和光譜 Energy Levels and Spectra
當電子由一個能階躍遷至另一個較低能量的能階
時會釋放出光子
– 能階
me4  1  E1
En   2 2  2   2
8 0 h  n  n
n  1, 2, 3,
E1  2.18  1018 J  13.6 eV
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Example 4.2
• 一個電子和一個基態的氫原子相撞並且將它激發到 n = 3
的受激態。在這個非彈性碰撞（動能不守恆）中氫原子獲
得多少能量？
答
– 氫原子由量子數初始狀態到量子數最終狀態的能量變化為
 1 1 
E1 E1
E  E f  Ei  2  2  E1  2  2 
n

n f ni
 f ni 
– 在本題，ni = 1, nf = 3，且E1 =  13.6 eV，因此
1 1
E  13.6  2  2  eV  12.1 eV
3 1 
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Example 4.3
• 在實驗室裡已經可以製造出處於高量子數狀態的氫原子並
且可在太空中觀察到。這些氫原子稱為雷德堡原子。求
(a) 一個半徑為0.0100 mm的波耳氫原子軌道量子數。
(b) 在這個狀態下的氫原子能量為何？
答
– (a) 由rn = 1.00105 m，
n
rn
1.00  105 m

 435
11
a0
5.29  10 m
– (b)
En 
E1 13.6 eV
5



7.19

10
eV
2
2
n
(435)
– 雷德堡原子明顯地非常脆弱且容易被游離，這也是為什麼在自然的情況下，只有
接近真空的環境才可以發現它們的存在。雷德堡原子光譜分布範圍至無線電波頻
帶，它們的存在便是透過無線電波望遠鏡所觀測到的資料而確定的。
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氫原子的能階。
Modern Physics
• 如果初始（能量較高）狀態的量子數為ni，最終（能量較
低）狀態的量子數為nf，我們推斷
初始能量  最終能量  光子能量
Ei  E f  h
光子頻率為  
Ei  E f
h
E1  1
1 

 2
2

h  n f ni 
E1  1
1    ( 13.6 eV )  1  1 
氫原子光譜  
 2
2
2 
2



(
1
.
24
eV


m
)
n
n

hc  n f ni 
i 
 f

1 
7
-1  1
 (1.097  10 m ) 2  2
 n f ni 


Rydberg constant
1
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光譜線起源於能階之間的遷移。圖示為氫原子
的光譜系。當時，電子為自由狀態。
Modern Physics
Example 4.4
• 求出氫原子Balmer系光譜中最長的波長，稱為H，的譜
線。
答
– Balmer系中最終狀態的量子數為nf = 2。在這個譜系中波長最長的
譜線對應到的是能量差最小的兩個能階。因此初始能階必為ni = 3
 1
1 
 1 1
 R  2  2   R  2  2   0.139R
n


2 3 
 f ni 
1

1
1

 6.56  107 m  656 nm
7
1
0.139 R 0.139(1.097  10 m )
– 位於可見光波長內的紅光波段邊緣。
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4.6 對應原理 Correspondence Principle
量子數越大時，量子物理越接近古典物理
• 依照電磁理論，一個繞行圓形軌道的電子所輻射
出來的電磁波頻率會等於運轉的頻率和運轉頻率
之諧波頻率（也就是運轉頻率的整數倍）。
v
e
40 mr
f
v
e

2r
16 3 0 mr 3
n2 h 2 0
rn 
me 2
– 運轉頻率
me4  2 
E 2
f  2 3  3    1  3 
8 0 h  n 
h n 
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Example 4.5
• (a) 求出 n = 1和 n = 2的波耳軌道運轉頻率。(b) 當電子由n = 2的軌道
落到n = 1的軌道時放出的光子頻率為何？(c) 基本上電子落到較低能
階並放出光子之前停留在受激態的時間大約為108秒。在這段時間內
電子在的波耳軌道上轉了幾圈？
答
4
me  2 
E1  2 




 
8 02 h3  n3 
h  n3 
E1  2   2.18  1018 J 
f1    3   
2  6.58  1015 rev/s
 34
h  1   6.63  10 J  s 
f
E 2
f 2   1  3   1  0.823  1015 rev/s
h 2  8
– (a) 由 f 
– (b) 由  
Ei  E f
h
E1  1
1   2.18  1018 J  1 1 

 2  
 2  2   2.88  1015 Hz
2

34
h  n f ni   6.63  10 J  s  1 2 
這個頻率介於之f1與f2間。
– (c) 電子運轉圈數為 N  f 2 t  (8.23  1014 rev / s)(1.00  108 s)  8.23  106 rev
地球需要8.23百萬年才能繞行太陽這麼多圈。
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由 n 躍遷至 n-p
E1  1
1 
E1  1
1
E1  2np  p 2 
 
 2  
 2  2
2
2
2


h  n f ni 
h  ( n  p) n 
h  n ( n  p) 
當 n >> p
2np  p 2  2np
(n  p)2  n2
光子頻率    E1  2 p3 
h n 
p = 1， 即為電子運轉頻率，
p = 2, 3, 4,…，即為其運轉的諧波頻率
與古典電
磁學相容
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4.7 原子核運動 Nuclear Motion
• 原子核質量影響光譜線的波長
• 目前為止我們都假設軌道上的電子運轉時，氫原
子核（質子）是靜止不動。
– 減縮質量 m 
mM
mM
– 氫原子考慮原子核運動後修正
的能階
4
F1 F

F  m a
m1 m1
m' e F11  F2 m'  1E1 1 1 
E 'n   2 2  2    F2 2 m2 a2 a  F2   F
2
8 0 h  n   m  n
m2
m2
a1 
m'
M
1836m

 a  a1  a2 0.99945
m m  M m  1836m
 1
F  F 
1 




– 減縮質量的修正對deuterium(氘)的發現相當重要。

 
 F 

m1  m2 
 m1 m2 
H,D = 656.1 nm
H,H = 656.3 nm

F
m'
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Example 4.6
• 正子原子(positronium atom)是一個正子(positron)和一個電子相互繞
行的系統。試比較正電子原子的光譜線波長與一般氫原子光譜線的波
長。
答
– 在這裡兩個粒子具有相同的質量m，因此縮減質量為
mM
m2 m
m 


m  M 2m 2
– m為電子質量。由式 (4.23) 可得正電子「原子」的能階為
E1
 m  E1

En    2  2
2n
 m n
– 這表示雷德堡常數在正電子原子中為一般氫原子的一半。因此正電子原
子光譜線所有的波長均為氫原子光譜線波長的兩倍。
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Example 4.7
• 介子(muon)是一種不穩定的基本粒子，質量為電子質量(me)的207倍，
帶一單位的正電或負電，一個負介子()可被原子核攫取而形成一個
介子原子。(a) 一個質子攫取一個 。求出這個原子的第一波耳軌道
半徑。(b) 求出這個原子的游離能。
• 答
– (a) 此處， m  207me，且 M  1836me ，所以減縮質量為
m 
(207me )(1836me )
mM

 186me
mM
207me  1836me
n = 1 的軌道半徑為
h 2 0
r1 
me 2
其中 r1  a0  5.29  1011 m 。因此對應到減縮質量的半徑為
 me
m
r1    r1  
 m 
 186me

13
 a0  2.85  10 m

Modern Physics
– 介子比電子靠近質子，大約為186倍，因此一個包含介子的氫原子會遠小
於一般的氫原子。
– (b) n = 1且E1 =  13.6 eV，可以得到
 m 
E1    E1  186E1  2.53  103 eV  2.53 keV
m
因此游離能為2.53 keV，為一般氫原子的186倍。
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4.8 原子激發 Atomic Excitation
原子如何吸收和釋放能量
碰撞激發
一些能量被原子吸收，使原子達到受激
態。之後原子釋放出一個光子並回到基
（正常）態。
Modern Physics
吸收光子
輻射和吸收光譜的起源。
吸收光譜中的暗線不是
完全黑暗的。
Modern Physics
Franck-Hertz 實驗
Franck-Hertz 實驗裝置圖。
Franck 與 Hertz 觀察受電子轟擊時的
水銀輻射光譜，發現至少電子能量要
4.9 eV 才能激發出 235.6 nm 的譜線，
而 235.6 nm 的光子能量恰為 4.9 eV。
Franck-Hertz 實驗的結果，顯示出水
銀蒸氣的臨界電壓。
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4.9 雷射 The Laser
如何產生完全一致的光波
雷射Laser (Light Amplification by Stimulated
Emission of Radiation)是一種可以產生具有下
列卓越特性光的元件。
– 幾乎為單色光。
– 具有同調性，也就是完全相同的相位。
– 雷射光幾乎完全不會散開。
– 能量密度高，比起任何其他的方法產生的
光束都強得多。
雷射產生的光波具有相同的頻率
(單色光)和相位(同調)。光束彼此
之間非常的平行，經過很長的距離
後散開的程度仍然非常微小。
Modern Physics
要產生雷射的關鍵為原子能階存在1個或多個亞穩態
(metastable)，以造成居量反轉(population inversion)
一般能階 life time 約108 s，亞穩態可大於103 s。
在產生輻射以前，原子相對於一般能階而言，在亞穩態能階可
以停留較長的時間。
Modern Physics
 dN1 

   10 F N1
 dt  st
 dN 0 

   01F N 0
 dt 
由E1態受激躍遷至E0的速率
由E0態吸收光子產生躍
遷至E1的速率
愛因斯坦證明
10   01  
dF  F( N1  N0 )dz
Ni：處於狀態i的原子數
F：光通量
：激發(吸收)截面
F + dF
F
N1 > N0  amplifier
dz
在一個原子中兩個能階之間的遷移，可以藉由受激吸收、自發輻射以及受激輻射
而產生。
Modern Physics
雷射的原理
Modern Physics
紅寶石雷射。為了使受激輻射效應超過受激吸收效應，紅寶石棒中半數的正三價鉻離
子必須處於亞穩態。這種雷射在每一次氙氣燈閃光後會產生一個紅光脈衝。
Modern Physics
四能階雷射
Modern Physics
氦氖雷射。像這樣的四能階雷射，連續運作是可能的。氦氖雷射常被用來讀取
條碼。
Modern Physics
3, 4, 5, 10, 13, 16, 18, 22, 24, 29, 33, 35, 36, 37
Modern Physics
圖4.32 散射角隨著撞擊參數的增加而遞減。
Modern Physics
圖4.33 在拉塞福實驗中，偵測到的散射 粒子是介於 與   d 的散射角之間。
Modern Physics