ch8 - 轉動 § 8-1 角速度與角加速度 § 8-2 等角加速度轉動 § 8-3 力矩與轉動方程式 § 8-4 角動量與角動量守恆定律 § 8-5 轉動動能.
Download
Report
Transcript ch8 - 轉動 § 8-1 角速度與角加速度 § 8-2 等角加速度轉動 § 8-3 力矩與轉動方程式 § 8-4 角動量與角動量守恆定律 § 8-5 轉動動能.
ch8 - 轉動
§ 8-1 角速度與角加速度
§ 8-2 等角加速度轉動
§ 8-3 力矩與轉動方程式
§ 8-4 角動量與角動量守恆定律
§ 8-5 轉動動能
§ 8-1 角速度與角加速度
1. 前言:
• 日常生活裡,常可見到許多物體在運動的過程中,除了移
動外,還伴隨著轉動。我們分析物體的運動可分為兩方面,
一方面為其質心的移動,另一方面為各部位繞著其質心轉
動。
• 在這章只討剛體繞固定軸轉動的情況。當剛體繞固定軸轉
動時,剛體上的各質點都以相同的角速度繞此軸作圓周運
動。
• 當一物體內各點的相對位置恆保持不變時,稱之為剛體。
• 以角位移Δθ,角速度ω及角加速度α來描述剛體的轉動。
2. 角位置θ:如右圖,繞固定軸轉動的剛體,
剛體內的任意點 p 繞軸作圓周運動。轉軸
到 p 點的連線與 x-軸所夾的角度θ稱為角位
置。角位置以弧度(rad)為單位。
3. 角位移Δθ:如右圖所示,剛體在時間
Δt 內的角位置變化量Δθ。稱為剛體在時
間Δt 內的角位移。
4. 角速度:角位移對時間的變化率
(1) 平均角速度:
t
t 0 t
(2) 瞬時角速度: lim
p
θ
x
t t
t
① 弧度 / 秒(rad / s)
(3) 單位: ② r. p.s. ( 轉 / 秒) 2( rad / s)
③ r. p.m. ( 轉 / 分)
(4)方向:角速度為向量,其方向以右手定則
表示,如右圖所示。轉動方向以右手四個
彎曲的手指頭表示,則拇指的方向即代表
角速度的方向。
如討論剛體繞固定軸轉動的問題,則角速
度為一維向量,以 +、- 號來表示其方
向。習慣上以逆時針方向為 "+" 號,順
時針方向為 "-" 號。
角速度方向
轉動方向
5. 角加速度:角速度對時間的變化率。
(1) 平均角加速度:
t
t 0 t
(3) 單位:弧度 / 秒 2 (rad / s 2 )
(2) 瞬時角加速度: lim
r
S
p
6. 剛體內質點的運動:
如上圖所示,繞固定軸轉動的剛體,則剛體內距離轉軸
為 r 處的一質點 p 在半徑為 r 的圓周上作運動。一方面
可以用線量(速率 v、切線加速度 at、法線加速度 an)
來描述其運動,另一方面也可以用角量(角位移Δθ、角
速率 ω、角加速度 α)來描述,兩套物理量之間有下列
關係:
(1) 路徑長:S r
S
r
lim
r
t 0 t
t 0 t
v
(r )
(3) 切線加速度:at lim
lim
r
t 0 t
t 0
t
v2
(4) 法線加速度:an r 2
r
(2) 切線速率:v lim
(5) 總加速度:a at2 an2 r 2 4
v
r
S
a
an
at
p
7. 純滾動:如右圖所示,一圓盤
在地面上作純滾動(無滑動),
則圓周上各點將與地面上的軌
跡成一對一的疊合,即圓周上
標示的弧長 AB 等於地面上軌
跡 AB 的長度。因此這種純滾
動的條件為
B
r
O
v0
A
v0
O
S r
B
S r
S
( r )
v0 lim
lim
r
t 0 t
t 0
t
即圓盤中心點的速率等於圓盤邊緣上一點對圓心的切線
速率。
圓盤在地面做純滾動
時,圓盤上各點相對
於圓心的切線速率
v0 = rω。同時所有的
質點皆隨著圓心以速
度 v0 向右運動,因
此圓周上一點對地面的速度,等於該點對圓心的速度與
圓心對地面速度的向量和,如上圖所示。A、B 和 C 點
相對於地面的速率分別為
v A 2v0
vB 2v0
vC 0
例題:剛體中,一點 P 距固定轉軸為 0.5 m,P 點作等角加速
度運動,其角位置θ(弧度) 與時間 t (秒)之關係θ= 2t2 3t,求
(1) 角加速度 (2) 第 2 秒末之角速度、切線加速度、向心加速
度及加速度大小各為何?
答案:
(1) 4rad / s 2
(2) 5ras / s
(3) a t 2m / s 2 , a n 12.5m / s 2 , a 12.7m / s 2
例題:已知地球半徑為 6.4 ×103 km,則在北緯 60o 的切向速度
大小為何?
答案:2.3×102 m∕s
60o
例題:腳踏車前後兩齒輪分別為 60 齒及 20 齒,以鏈條連接,
若後車輪輪緣距軸心 0.5 m,且和地面間沒有滑動現象,腳踩
一圈,車子前進______m。
答案:3π
例題:如右圖所示,質量為 m 的小球,以長 ℓ 的細線繫於 O
點,拉至水平位置後釋放,當擺至細線與鉛直方向成θ角時,
試求:(1) 小球的角加速度 (2) 小球的角速度
(3) 小球的加速度。
答案:
(1) =
gsin
(2)
ℓ
O
2g cos
(3) a g sin 2 4 cos 2
θ
例題:右圖表示一飛輪傳動系統,各輪的
轉軸均固定且相互平行。甲、乙兩輪同軸
且無相對轉動。已知甲、乙、丙、丁四輪
的半徑比為 5:2:3:1,若傳動帶在各輪
轉動中不打滑,則丙及丁輪角速度之比值
為________。
[80.日大]
答案:2:15
甲
乙
丙
丁
§ 8-2 等角加速度轉動
一剛體繞固定軸作等角加速度的轉動,即角加速度α為定
值。當 t = 0 時角速度為ω0,經時間 t 後的角速度為ω,角
位移為Δθ,則
α
(1) 0 t
α
αt
1 2
(2) 0t t
2
0
t t
(3) 2 02 2
1 2
ω
t
(1) 0
t 圖內所圍面積
(2) t 圖內所圍面積
2
ω0
αt
0 t
ω
ω0
t
t
例題:一圓輪在作等角加速度的轉動。經過 25 轉之後,角
速度由 100轉∕秒增至 150轉∕秒;其角加速度為 _______ 轉∕秒
2。
[86.日大]
答案:250
例題:一物作半徑為 20m 之圓周運動,靜止起動。其角加速
度 α= 0.5 rad∕s2,求 2 秒末之加速度為何?
答案:10 5m/ s2
例題:一汽車輪胎的半徑為 30cm,車子由靜止作等加速度直
線運動,10 秒內加速至 108 km∕hr。則車輪的角加速度為若干?
此過程車輪共轉了幾圈?
答案:10 dar∕s2 ; 250∕π
例題:甲、乙兩人沿圓軌道同向賽跑,甲沿著半徑為 r1 的外
跑道跑,乙則沿著半徑為 r2 的內跑道跑。設甲以 v 的速率經
過乙時,乙開始起跑,此後甲始終以 v 的速率跑,而乙則以
等角加速度追甲,則在乙追及甲時,乙的速率為何?
[89.日大]
2r2
答案:
r1
v
例題:一剛體繞一定點分三階段運轉,第一階段由靜止開始
以+α角加速度旋轉達ω之角速度後,接著第二階段以等角速
度ω運轉,第三階段施以-α角加速度而後停止,若此三階段
之角位移均相等,則全程歷時若干?
答案:
5
2
例題:一質點由靜止繞一定軸做等角加速度轉動,當其加
速度與法線加速度夾 60o 角時,質點的角位移為何?
3
答案:
rad
6
a
60o
an
at
§ 8-3 力矩與轉動方程式
1. 力矩:
1) 力矩的意義:使物體轉動狀態產生變化的因素,即當物體
受到不為零的外力矩作用,原為靜止的將開始轉動,原來
已在轉動的,轉速將產生改變。
2) 力矩的定義:考慮開門的情況,如右
圖,欲讓門產生轉動,必須施一外力
F 。施力點離轉軸愈遠愈容易使門轉
動。而外力平形於門面的分力對門的
轉動並無效果,只有垂直於門面的分
力能讓門轉動。綜合以上因素,定義
力矩,以符號 τ表示。
F
r
r sin
rF sin F (r sin ) 力量 力臂
θ
作用線
3) 力矩的單位:S.I. 制中的單位為 牛頓‧公尺(N‧m)
4) 力矩的方向與符號:繞固定軸轉動的物體,力矩可使物體
產生逆時鐘方向,或順時鐘方向的轉動。因此力矩為一維
向量。力矩符號規則一般選取如下:
正號:逆時鐘方向。
負號:順時鐘方向。
2. 轉動方程式:考慮一繞固定軸轉動的
剛體(如右圖)。距離轉軸為 r 處的一
質量為 m 的質點,受到一力量 F 的作
用,根據切線方向的牛頓第二運動定律
Ft mat
rFt rmat
mr 2
Ft
r
轉軸
F
m
將剛體看成是由許多質點所構成,則每一質點都滿足類似
的方程式
m
i mi ri 2
i 1, 2,3, , n
F
對每一質點作加總即得到
i
( mi ri )
2
i
m F
i
左邊的合力矩只需考慮外力所產生的力矩,由內力所產生
的力矩將會兩兩互相抵消,如右上圖所示。
括號中的量稱為剛體的轉動慣量,以符號 I 表示
I mi ri 2
i
則上面導出的轉動方程式可寫成
I
此方程式為繞固定軸轉動的剛體所必須遵守的基本力學方程
式,類似於移動力學中的牛頓第二運動定律。合外力對應到
合外力矩,質量對應到轉動慣量,加速度對應到角加速度。
F
; a ; M I
轉動慣量在轉動力學中的角色就像質量在移動力學中所扮演
的角色,即轉動慣量越大的剛體角速度越不容易產生變化。
剛體的轉動慣量與其轉軸的位置與質量的分布有關。剛體的
質量如呈連續的分布,則轉動慣量必須以積分計算。
圓盤
I
1
MR 2
2
圓球
I
2
MR 2
5
圓柱
1
I ML2
12
薄圓環
I MR 2
例題:距離為 R 的兩質點,繞系統質心轉動時,如附圖所
示,則該系統的轉動慣量為________。
R
2
答案: mR 2
m
3
2m
例題:一長度為 ℓ,質量可以略去的細桿,
可繞通過其中心點 O 且垂直於紙面的軸自由
轉動,兩端各置有質量為 m 及 3m 的質點,
細桿與鉛垂方向之夾角為θ,如右圖所示。當
θ = 30o 時,細桿的角加速度為何?
答案:
g sin
m
θ
鉛
直
線
O
3m
例題:設一滑輪的轉動慣量為 103 kg.m2,半徑 10cm,若
有一力沿滑輪邊緣切線方向施力,力與時間的函數關係為
F(t) = t∕2,由靜止起經 3 秒後,此滑輪的角速度為若干?
答案:225rad / s
α
150
3
t
例題:如右圖,一均勻圓盤,半徑為 R,質量為
M,裝於軸上,軸以無摩擦的軸承固定之,細繩
繞於盤的邊緣,並繫上一質量為 m 之物體
(圓盤對中心軸的轉動慣量為 MR2∕2),求:
(1) 邊緣上一點的切線加速度為若干?
(2) 繩子張力為何?
(3) 盤的角加速度為何?(繩與盤緣間無滑動)
2mg
a M 2m
2mg
答案:
R ( M 2 m)
Mmg
T
M 2m
α
M
T
m
a
例題:今拉住線軸上的細線,使線軸由靜止開始滾下,如下圖
所示。若線軸的質量為 m ,半徑為 R,且線軸的轉動慣量為
I = 0.5 mR2,忽略所有摩擦力與細線質量,求細線張力與線軸
的加速度。
1
T= 3 mg
答案:
a 2 g
3
§ 8-4 角動量與角動量守恆定律
1. 單一質點的角動量:
v
(1) 定義:如右圖所示,質量為 m 的質點在
相對於 O 點為 r 處,正以速度 v 作運動。
r
θ
m
O
定義質點 m 相對於 O 點的角動量
r p r mv
大小: rmv sin
方向:以右手定則表示,如右圖所示。
右手彎曲的四個手指頭的方向表 r 至
p 的方向,則拇指表 的方向。
(2) 單位:公斤‧公尺2∕秒(kg‧m2∕s)
r
p
(3) 特例:若質點繞固定點作圓周運動,則 r 與 p 垂直,
因此質點的角動量
的大小
rp rmv rm(r ) mr 2 I
其中 I mr 2 稱為質點相對於圓心的轉動慣量。
2. 剛體的角動量:
剛體繞固定軸以ω的角速度轉動時,剛體內
的每一質點皆以相同的角速度ω作圓運動,
質點 mi 的角動量為
i
2
rm
v
m
r
i i i
i i
剛體的總角動量: L
i
i
2
mi ri I
i
ri mi
例題:線動量為 p 之物體,在座標(-a,+b)處,向+x方
向運動時,物體相對於坐標原點之角動量為________。
答案:pb
例題:地球質量為 M,一質量為 m 的人造衛星繞地球作半徑
為 r 的圓周運動,G 為萬有引力常數為,則人造衛星的角動
量為若干?
答案: GMm2R
例題:質量 2kg 的小球以 25m/s 初速,53o 仰角斜向拋出,
小球達最高點時對拋射點的角動量為何?(g = 10 m/s2)
答案:600kg m2 / s
θ
v0
θ
r H
v0x
例題:如右圖所示,A、B 兩飛輪半徑比為
1:2,以皮帶相連接,已知轉動時兩輪的
角動量相等(皮帶無滑動),則 A、B 飛輪
的轉動慣量比為何?
答案:1:2
A
B
3. 角動量守恆定律:
剛體的轉動方程式
I
的另一形式為
L
lim
t 0 t
即剛體所受到的總外力矩等於其角動量隨時間的變化率。
剛體的轉動慣量不隨時間變化,因此
L
( I )
lim
I lim
I
t 0 t
t 0
t
0
t
t
lim
即方程式的兩種形式是等價的,但如物體的轉動慣量會隨
時間變化時,則第二種形式才是正確的表示。因此當物體
所受到的合力矩為零,則ΔL = 0,即角動量 L 為一定值。
此稱為角動量守恆定律:
若物體所受到的合力矩為零,則其角動量守恆。
角動量守恆的實例:
• 行星繞太陽作橢圓形軌道運行,行星
受到太陽的吸引力為連線上的力量,
如以太陽為參考點,此力的力臂為零,
產生的力矩亦為零,因此行星的角動
量守恆。即
I mr 定值
2
• 花式溜冰選手,結尾時讓身體快速轉動
為角動量守恆的應用。手腳伸展時轉動
慣量較大,身體轉的慢,當手腳靠攏時,
轉動慣量變小,身體轉速變大。
s
r
• 跳水選手離開跳板後,受到的外力
矩為零。利用手腳縮向身體質心,
使得轉動慣量變小,轉速增快。此
亦為角動量守恆的應用。
• 直升機升空後,因機身受到的外力矩
為零。當主螺旋槳要加速轉動時,為
維持角動量守恆,則機身將會產生反
方向轉動,造成機身不穩。因此常在
機尾設計一副旋轉尾翼,以平衡主螺
旋槳轉動時所產生的機身轉動。
例題:如右圖所示,質點 m 受繩子拉力 F,在光滑的水平桌
面上作等速率圓周運動,如用力拉繩使圓周半徑縮小為原來
的 1∕2,則
(A) 質點之動量大小變為原來的 2 倍
(B) 質點之角動量大小變為原來的 4 倍
(C) 質點之角速度大小變為原來的 4 倍
(D) 拉力大小變為原來的 8 倍
(E) 拉力在此過程中不作功。
m
F
答案:ACD
說明:繩的拉力通過轉動中心,不產生力矩,因此角動量守恆
rp rmv mr 2 定值
質點在拉力方向有位移,因此拉力作功不為零。
例題:一支輕桿繞其一端轉動時,其角動量 L 與時間 t 的關
係為 L = 3t2 + 2t + 1(單位:SI)。假定輕桿的轉動慣量為
2 kg-m2 ,則輕桿於第 1 秒末時所受的力矩為________。
答案:8 N-m
例題:一半徑 2 公尺,轉動慣量為 120 公斤.公尺2 的水平
圓桌,可繞其中心軸自由轉動。一人重 60 公斤,在桌子邊
緣由靜止開始沿桌緣以 1 公尺∕秒的速率行走,求桌面的角
速度。
答案:1 rad∕s
例題:一轉動慣量為 6 kg.m2 的圓盤,可
繞通過圓心且垂直於盤面的轉軸自由轉動,
如右圖所示。當圓盤正以角速度 6 rad∕s 轉動
時,一個質量為 3kg 的小物體自 4m 高處自
由落下,落在距圓心 2m 處,並黏在盤上,
則圓盤的角速度變為若干?
答案:2 rad∕s
§ 8-5 轉動動能
如右圖所示,當一剛體以角速度ω繞
一固定軸轉動時,剛體內每一質點皆
以相同的角速度繞同一軸做圓周運動,
設某一質點 mi 與轉軸的垂直距離為 ri,
則該質點作圓周運動的速率
vi = riω,其動能為
Eki
1
1
mi vi2 mi ri 2 2
2
2
因此剛體轉動的總動能
1
1
Ek Eki ( mi ri 2 ) 2 I 2
2
2
i
ω
mi
O
ri
例題:兩小球質量分別為 m1 及 m2,由一
長度為 ℓ 之細桿(質量可忽略)相連,
並以通過兩球質量中心且垂直於細桿的
軸,作等角速度ω的轉動,試求系統的角
動量與總動能。
m1m2 2
1 m1m2 2 2
答案:
;
m1 m2
2 m1 m2
m1 r
1
ℓ
r2
m2
例題:一質量為 m,半徑為 r 的圓盤,從
斜角為θ的斜面頂端自靜止滾下,假設在
鞋面上的滾動為純滾動,斜面長度為 s,
試求滾至底邊時圓盤中心點的速率。
4gssin
答案:
3
θ
移動與轉動物理量的對應
名稱
移動
轉動
位移 – 角位移
Δx
Δθ
速度 – 角速度
v
ω
加速度 –角加速度
a
α
質量 – 轉動慣量
m
I mi ri2
動量 – 角動量
p = mv
L = Iω
動能 – 轉動動能
1 2
Ek mv
2
力 – 力矩
F
力學方程式
Ek
1 2
I
2
Fr sin
p
t 0 t
F ma lim
L
t 0 t
I lim
THE END