Transcript ch8 - 轉動 § 8-1 角速度與角加速度 § 8-2 等角加速度轉動 § 8-3 力矩與轉動方程式 § 8-4 角動量與角動量守恆定律 § 8-5 轉動動能.

ch8 - 轉動
§ 8-1 角速度與角加速度
§ 8-2 等角加速度轉動
§ 8-3 力矩與轉動方程式
§ 8-4 角動量與角動量守恆定律
§ 8-5 轉動動能
§ 8-1 角速度與角加速度
1. 前言：
• 日常生活裡，常可見到許多物體在運動的過程中，除了移
動外，還伴隨著轉動。我們分析物體的運動可分為兩方面，
一方面為其質心的移動，另一方面為各部位繞著其質心轉
動。
• 在這章只討剛體繞固定軸轉動的情況。當剛體繞固定軸轉
動時，剛體上的各質點都以相同的角速度繞此軸作圓周運
動。
• 當一物體內各點的相對位置恆保持不變時，稱之為剛體。
• 以角位移Δθ，角速度ω及角加速度α來描述剛體的轉動。
2. 角位置θ：如右圖，繞固定軸轉動的剛體，
剛體內的任意點 p 繞軸作圓周運動。轉軸
到 p 點的連線與 x-軸所夾的角度θ稱為角位
置。角位置以弧度（rad）為單位。
3. 角位移Δθ：如右圖所示，剛體在時間
Δt 內的角位置變化量Δθ。稱為剛體在時
間Δt 內的角位移。
4. 角速度：角位移對時間的變化率

(1) 平均角速度： 
t

t  0  t
(2) 瞬時角速度：  lim
p
θ
x
t  t
 t
① 弧度 / 秒（rad / s）

(3) 單位： ② r. p.s. （ 轉 / 秒）  2（ rad / s）
③ r. p.m. （ 轉 / 分）

(4)方向：角速度為向量，其方向以右手定則
表示，如右圖所示。轉動方向以右手四個
彎曲的手指頭表示，則拇指的方向即代表
角速度的方向。
如討論剛體繞固定軸轉動的問題，則角速
度為一維向量，以 ＋、－ 號來表示其方
向。習慣上以逆時針方向為 "＋" 號，順
時針方向為 "－" 號。
角速度方向
轉動方向
5. 角加速度：角速度對時間的變化率。

(1) 平均角加速度： 
t

t 0 t
(3) 單位：弧度 / 秒 2 （rad / s 2 ）
(2) 瞬時角加速度：  lim

r
S
p
6. 剛體內質點的運動：
如上圖所示，繞固定軸轉動的剛體，則剛體內距離轉軸
為 r 處的一質點 p 在半徑為 r 的圓周上作運動。一方面
可以用線量（速率 v、切線加速度 at、法線加速度 an）
來描述其運動，另一方面也可以用角量（角位移Δθ、角
速率 ω、角加速度 α）來描述，兩套物理量之間有下列
關係：
(1) 路徑長：S  r 
S
r 
 lim
 r
t 0 t
t 0 t
v
(r )
(3) 切線加速度：at  lim
 lim
 r
t 0 t
t 0
t
v2
(4) 法線加速度：an   r 2
r
(2) 切線速率：v  lim
(5) 總加速度：a  at2  an2  r  2   4
v
r
S

a
an
at
p
7. 純滾動：如右圖所示，一圓盤
在地面上作純滾動（無滑動），
則圓周上各點將與地面上的軌
跡成一對一的疊合，即圓周上
標示的弧長 AB 等於地面上軌
跡 AB 的長度。因此這種純滾
動的條件為
B
r
O
v0

A
v0
O
S  r 
B
S  r 
S
 ( r  )
 v0  lim
 lim
 r
t  0 t
t  0
t
即圓盤中心點的速率等於圓盤邊緣上一點對圓心的切線
速率。
圓盤在地面做純滾動
時，圓盤上各點相對
於圓心的切線速率
v0 = rω。同時所有的
質點皆隨著圓心以速
度 v0 向右運動，因
此圓周上一點對地面的速度，等於該點對圓心的速度與
圓心對地面速度的向量和，如上圖所示。A、B 和 C 點
相對於地面的速率分別為
v A  2v0
vB  2v0
vC  0
例題：剛體中，一點 P 距固定轉軸為 0.5 m，P 點作等角加速
度運動，其角位置θ(弧度) 與時間 t (秒)之關係θ= 2t2  3t，求
(1) 角加速度 (2) 第 2 秒末之角速度、切線加速度、向心加速
度及加速度大小各為何？
答案：
(1)   4rad / s 2
(2)   5ras / s
(3) a t  2m / s 2 ， a n  12.5m / s 2 ， a  12.7m / s 2
例題：已知地球半徑為 6.4 ×103 km，則在北緯 60o 的切向速度
大小為何？
答案：2.3×102 m∕s
60o
例題：腳踏車前後兩齒輪分別為 60 齒及 20 齒，以鏈條連接，
若後車輪輪緣距軸心 0.5 m，且和地面間沒有滑動現象，腳踩
一圈，車子前進______m。
答案：3π
例題：如右圖所示，質量為 m 的小球，以長 ℓ 的細線繫於 O
點，拉至水平位置後釋放，當擺至細線與鉛直方向成θ角時，
試求：(1) 小球的角加速度 (2) 小球的角速度
(3) 小球的加速度。
答案：
(1)  =
gsin
(2)  
ℓ
O
2g cos 
(3) a  g sin 2   4 cos 2 
θ
例題：右圖表示一飛輪傳動系統，各輪的
轉軸均固定且相互平行。甲、乙兩輪同軸
且無相對轉動。已知甲、乙、丙、丁四輪
的半徑比為 5：2：3：1，若傳動帶在各輪
轉動中不打滑，則丙及丁輪角速度之比值
為________。
[80.日大]
答案：2：15
甲
乙
丙
丁
§ 8-2 等角加速度轉動
一剛體繞固定軸作等角加速度的轉動，即角加速度α為定
值。當 t = 0 時角速度為ω0，經時間 t 後的角速度為ω，角
位移為Δθ，則
α
 (1)   0   t
α

αt
1 2

 (2)   0t   t
2
0
t t

 (3)  2  02  2
1 2
ω
t
(1)     0
   t 圖內所圍面積
(2)     t 圖內所圍面積
2
ω0
αt
0 t
ω
ω0
t
t
例題：一圓輪在作等角加速度的轉動。經過 25 轉之後，角
速度由 100轉∕秒增至 150轉∕秒；其角加速度為 _______ 轉∕秒
2。
[86.日大]
答案：250
例題：一物作半徑為 20m 之圓周運動，靜止起動。其角加速
度 α= 0.5 rad∕s2，求 2 秒末之加速度為何？
答案：10 5m/ s2
例題：一汽車輪胎的半徑為 30cm，車子由靜止作等加速度直
線運動，10 秒內加速至 108 km∕hr。則車輪的角加速度為若干？
此過程車輪共轉了幾圈？
答案：10 dar∕s2 ； 250∕π
例題：甲、乙兩人沿圓軌道同向賽跑，甲沿著半徑為 r1 的外
跑道跑，乙則沿著半徑為 r2 的內跑道跑。設甲以 v 的速率經
過乙時，乙開始起跑，此後甲始終以 v 的速率跑，而乙則以
等角加速度追甲，則在乙追及甲時，乙的速率為何？
[89.日大]
2r2
答案：
r1
v
例題：一剛體繞一定點分三階段運轉，第一階段由靜止開始
以＋α角加速度旋轉達ω之角速度後，接著第二階段以等角速
度ω運轉，第三階段施以－α角加速度而後停止，若此三階段
之角位移均相等，則全程歷時若干？
答案：
5
2
例題：一質點由靜止繞一定軸做等角加速度轉動，當其加
速度與法線加速度夾 60o 角時，質點的角位移為何？
3
答案：
rad
6
a
60o
an
at
§ 8-3 力矩與轉動方程式
1. 力矩：
1) 力矩的意義：使物體轉動狀態產生變化的因素，即當物體
受到不為零的外力矩作用，原為靜止的將開始轉動，原來
已在轉動的，轉速將產生改變。
2) 力矩的定義：考慮開門的情況，如右
圖，欲讓門產生轉動，必須施一外力
F 。施力點離轉軸愈遠愈容易使門轉
動。而外力平形於門面的分力對門的
轉動並無效果，只有垂直於門面的分
力能讓門轉動。綜合以上因素，定義
力矩，以符號 τ表示。
F
r
r sin 
  rF sin   F (r sin )  力量  力臂
θ
作用線
3) 力矩的單位：S.I. 制中的單位為 牛頓‧公尺（N‧m）
4) 力矩的方向與符號：繞固定軸轉動的物體，力矩可使物體
產生逆時鐘方向，或順時鐘方向的轉動。因此力矩為一維
向量。力矩符號規則一般選取如下：
 正號：逆時鐘方向。

 負號：順時鐘方向。
2. 轉動方程式：考慮一繞固定軸轉動的
剛體（如右圖）。距離轉軸為 r 處的一
質量為 m 的質點，受到一力量 F 的作
用，根據切線方向的牛頓第二運動定律
Ft  mat
 rFt  rmat
   mr 2
Ft
r
轉軸
F
m
將剛體看成是由許多質點所構成，則每一質點都滿足類似
的方程式
m
i  mi ri 2 
i  1, 2,3, , n
F


對每一質點作加總即得到

i
 ( mi ri )
2
i
m F
i
左邊的合力矩只需考慮外力所產生的力矩，由內力所產生
的力矩將會兩兩互相抵消，如右上圖所示。
括號中的量稱為剛體的轉動慣量，以符號 I 表示
I   mi ri 2
i
則上面導出的轉動方程式可寫成
 I 
此方程式為繞固定軸轉動的剛體所必須遵守的基本力學方程
式，類似於移動力學中的牛頓第二運動定律。合外力對應到
合外力矩，質量對應到轉動慣量，加速度對應到角加速度。
 F  
； a  ； M  I
轉動慣量在轉動力學中的角色就像質量在移動力學中所扮演
的角色，即轉動慣量越大的剛體角速度越不容易產生變化。
剛體的轉動慣量與其轉軸的位置與質量的分布有關。剛體的
質量如呈連續的分布，則轉動慣量必須以積分計算。
圓盤
I
1
MR 2
2
圓球
I
2
MR 2
5
圓柱
1
I  ML2
12
薄圓環
I  MR 2
例題：距離為 R 的兩質點，繞系統質心轉動時，如附圖所
示，則該系統的轉動慣量為________。
R
2
答案： mR 2
m
3
2m
例題：一長度為 ℓ，質量可以略去的細桿，
可繞通過其中心點 O 且垂直於紙面的軸自由
轉動，兩端各置有質量為 m 及 3m 的質點，
細桿與鉛垂方向之夾角為θ，如右圖所示。當
θ = 30o 時，細桿的角加速度為何？
答案：
g sin 
m
θ
鉛
直
線
O
3m
例題：設一滑輪的轉動慣量為 103 kg．m2，半徑 10cm，若
有一力沿滑輪邊緣切線方向施力，力與時間的函數關係為
F(t) = t∕2，由靜止起經 3 秒後，此滑輪的角速度為若干?
答案：225rad / s
α
150
3
t
例題：如右圖，一均勻圓盤，半徑為 R，質量為
M，裝於軸上，軸以無摩擦的軸承固定之，細繩
繞於盤的邊緣，並繫上一質量為 m 之物體
（圓盤對中心軸的轉動慣量為 MR2∕2），求：
(1) 邊緣上一點的切線加速度為若干？
(2) 繩子張力為何？
(3) 盤的角加速度為何？（繩與盤緣間無滑動）

2mg
 a  M  2m

2mg

答案： 
R ( M  2 m)


Mmg
T


M  2m

α
M
T
m
a
例題：今拉住線軸上的細線，使線軸由靜止開始滾下，如下圖
所示。若線軸的質量為 m ，半徑為 R，且線軸的轉動慣量為
I = 0.5 mR2，忽略所有摩擦力與細線質量，求細線張力與線軸
的加速度。
 1
T= 3 mg
答案： 
a  2 g

3
§ 8-4 角動量與角動量守恆定律
1. 單一質點的角動量：
v
(1) 定義：如右圖所示，質量為 m 的質點在
相對於 O 點為 r 處，正以速度 v 作運動。
r
θ
m
O
定義質點 m 相對於 O 點的角動量
 r  p  r  mv
大小：  rmv sin 
方向：以右手定則表示，如右圖所示。


右手彎曲的四個手指頭的方向表 r 至
 p 的方向，則拇指表 的方向。
(2) 單位：公斤‧公尺2∕秒（kg‧m2∕s）
r
p
(3) 特例：若質點繞固定點作圓周運動，則 r 與 p 垂直，
因此質點的角動量
的大小
 rp  rmv  rm(r )  mr 2  I 
其中 I  mr 2 稱為質點相對於圓心的轉動慣量。
2. 剛體的角動量：
剛體繞固定軸以ω的角速度轉動時，剛體內
的每一質點皆以相同的角速度ω作圓運動，
質點 mi 的角動量為
i
2
 rm
v

m
r
i i i
i i 
剛體的總角動量： L  
i
i

2
   mi ri    I 
 i

ri mi
例題：線動量為 p 之物體，在座標（－a，＋b）處，向＋x方
向運動時，物體相對於坐標原點之角動量為________。
答案：pb
例題：地球質量為 M，一質量為 m 的人造衛星繞地球作半徑
為 r 的圓周運動，G 為萬有引力常數為，則人造衛星的角動
量為若干？
答案： GMm2R
例題：質量 2kg 的小球以 25m/s 初速，53o 仰角斜向拋出，
小球達最高點時對拋射點的角動量為何？（g = 10 m/s2）
答案：600kg  m2 / s
θ
v0
θ
r H
v0x
例題：如右圖所示，A、B 兩飛輪半徑比為
1：2，以皮帶相連接，已知轉動時兩輪的
角動量相等（皮帶無滑動），則 A、B 飛輪
的轉動慣量比為何？
答案：1：2
A
B
3. 角動量守恆定律：
剛體的轉動方程式
  I
的另一形式為
L
  lim
t  0 t
即剛體所受到的總外力矩等於其角動量隨時間的變化率。
剛體的轉動慣量不隨時間變化，因此
L
( I  )

 lim
 I lim
 I
t 0 t
t 0

t

0
t
t
lim
即方程式的兩種形式是等價的，但如物體的轉動慣量會隨
時間變化時，則第二種形式才是正確的表示。因此當物體
所受到的合力矩為零，則ΔL = 0，即角動量 L 為一定值。
此稱為角動量守恆定律：
若物體所受到的合力矩為零，則其角動量守恆。
角動量守恆的實例：
• 行星繞太陽作橢圓形軌道運行，行星
受到太陽的吸引力為連線上的力量，
如以太陽為參考點，此力的力臂為零，
產生的力矩亦為零，因此行星的角動
量守恆。即
 I  mr   定值
2
• 花式溜冰選手，結尾時讓身體快速轉動
為角動量守恆的應用。手腳伸展時轉動
慣量較大，身體轉的慢，當手腳靠攏時，
轉動慣量變小，身體轉速變大。
s
r
• 跳水選手離開跳板後，受到的外力
矩為零。利用手腳縮向身體質心，
使得轉動慣量變小，轉速增快。此
亦為角動量守恆的應用。
• 直升機升空後，因機身受到的外力矩
為零。當主螺旋槳要加速轉動時，為
維持角動量守恆，則機身將會產生反
方向轉動，造成機身不穩。因此常在
機尾設計一副旋轉尾翼，以平衡主螺
旋槳轉動時所產生的機身轉動。
例題：如右圖所示，質點 m 受繩子拉力 F，在光滑的水平桌
面上作等速率圓周運動，如用力拉繩使圓周半徑縮小為原來
的 1∕2，則
(A) 質點之動量大小變為原來的 2 倍
(B) 質點之角動量大小變為原來的 4 倍
(C) 質點之角速度大小變為原來的 4 倍
(D) 拉力大小變為原來的 8 倍
(E) 拉力在此過程中不作功。
m
F
答案：ACD
說明：繩的拉力通過轉動中心，不產生力矩，因此角動量守恆
  rp  rmv  mr 2  定值
質點在拉力方向有位移，因此拉力作功不為零。
例題：一支輕桿繞其一端轉動時，其角動量 L 與時間 t 的關
係為 L = 3t2 + 2t + 1（單位：SI）。假定輕桿的轉動慣量為
2 kg-m2 ，則輕桿於第 1 秒末時所受的力矩為________。
答案：8 N-m
例題：一半徑 2 公尺，轉動慣量為 120 公斤．公尺2 的水平
圓桌，可繞其中心軸自由轉動。一人重 60 公斤，在桌子邊
緣由靜止開始沿桌緣以 1 公尺∕秒的速率行走，求桌面的角
速度。
答案：1 rad∕s
例題：一轉動慣量為 6 kg．m2 的圓盤，可
繞通過圓心且垂直於盤面的轉軸自由轉動，
如右圖所示。當圓盤正以角速度 6 rad∕s 轉動
時，一個質量為 3kg 的小物體自 4m 高處自
由落下，落在距圓心 2m 處，並黏在盤上，
則圓盤的角速度變為若干？
答案：2 rad∕s
§ 8-5 轉動動能
如右圖所示，當一剛體以角速度ω繞
一固定軸轉動時，剛體內每一質點皆
以相同的角速度繞同一軸做圓周運動，
設某一質點 mi 與轉軸的垂直距離為 ri，
則該質點作圓周運動的速率
vi = riω，其動能為
Eki 
1
1
mi vi2  mi ri 2 2
2
2
因此剛體轉動的總動能
1
1
Ek   Eki  ( mi ri 2 ) 2  I  2
2
2
i
ω
mi
O
ri
例題：兩小球質量分別為 m1 及 m2，由一
長度為 ℓ 之細桿（質量可忽略）相連，
並以通過兩球質量中心且垂直於細桿的
軸，作等角速度ω的轉動，試求系統的角
動量與總動能。
m1m2 2
1 m1m2 2 2
答案：
； 
m1  m2
2 m1  m2
m1 r
1
ℓ
r2
m2
例題：一質量為 m，半徑為 r 的圓盤，從
斜角為θ的斜面頂端自靜止滾下，假設在
鞋面上的滾動為純滾動，斜面長度為 s，
試求滾至底邊時圓盤中心點的速率。
4gssin 
答案：
3
θ
移動與轉動物理量的對應
名稱
移動
轉動
位移 – 角位移
Δx
Δθ
速度 – 角速度
v
ω
加速度 –角加速度
a
α
質量 – 轉動慣量
m
I   mi ri2
動量 – 角動量
p = mv
L = Iω
動能 – 轉動動能
1 2
Ek  mv
2
力 – 力矩
F
力學方程式
Ek 
1 2
I
2
  Fr sin 
p
t  0 t
F  ma  lim
L
t 0 t
  I  lim
THE END