Transcript Почетно математичко образовање

ПОЧЕТНО МАТЕМАТИЧКО
ОБРАЗОВАЊЕ
2. предавање
Математички појам
Шта је то појам уопште, а шта је математички
појам
• Појам је логичка категорија. То је мисао
о суштини онога о чему мислимо (било
да је то предмет, објекат или садржина
неких мисли)
• Бит или суштина
• Битна својства су ознаке појма
• Скуп ознака појма чини садржај појма
• Математички објекат
• У математици су сви објекти
замишљени (идеални), реални су само
њихови модели и симболи којима се
обележавају
• Свака замисао о битним
карактеристикама математичког објекта
је математички појам
• Родни појам (нпр. четвороугао), врсни
појам (нпр. ромб)
квадрат
правоугаоник
паралелограм
четвороугао
многоугао
Паралелограм је родни појам за ......................
Паралелограм је врсни појам за .......................
• Разликовати појам квадрата од речи
“квадрат” која је само симбол или
термин, тј. језички еквивалент појма
квадрат
• Термин неког појма је говорна форма
мисаоне садржине тог појма
• Уместо речи користе се и знаци,
графички симболи и цртежи ( )
• Математичко-логички језик (настао
почетком двадесетог века)
Настанак математичког појма
• Мат. појмови се формирају на свим узрастима
• У предшколском узрасту формирају се
искључиво преко чулног искуства у садејству
са мисаоним операцијама
• Преко реалних предмета, цртежа, слика,
филмова долази се до чулног искуства
• Чулно искуство се репродукује у свест и
настаје ментална слика
• Мисаоним операцијама издвајају се битне
карактеристике објекта, небитне се одбацују
Мисаоне операције при
образовању појма
• Анализа (посматрамо, анализирамо, уочавамо својства...)
• Синтеза (обједињујемо све сличне објекте у један скуп)
• Апстракција (занемарујемо небитна својства, задржавамо
битна)
• Идентификација (уверавамо се да сви предмети у том
скупу имају битна својства)
• Генерализација (препознајемо предмете ван посматраног
скупа који имају та својства)
• Диференцијација (уочавамо разлике међу елементима
посматраног скупа)
• Конзервација (сви предмети задржавају битна својства
при било каквим “манипулацијама”)
Дефинисање математичког појма
•
•
•
•
•
•
•
Основни појмови
Дефиниције
Аксиоме
Логичка правила извођења
Теореме, ставови, тврђења
Доказ
Математичко закључивање
Дефиниција
• Дефиниција се састоји из два дела:
дефиниендум (део који садржи појам
који се дефинише) и дефиниенс
(реченица која садржи познате појмове
помоћу којих уводимо нови појам)
• Коректна дефиниција мора бити:
– Некреативна ( није став, тврђење )
– Отклоњива ( она је замена за већ постојеће )
ГРЕШКЕ
• Могу се јавити следеће грешке:
– Дефиниција је преопширна
– Дефиниција садржи у дефиниенсу
карактеристике које су међусобно
зависне
– Дефиниенс садржи појам који се
дефинише (“circulus vitiosis “)
АКСИОМЕ
• Непротивуречност
• Независност
• Потпуност
Математички суд и математичко
закључивање
• Исказ (суд)
• Расуђивање – Мисаони процес чији је
резултат суд
• Искази се деле на просте и сложене
• По квантитету се деле на:
– Појединачне (“Један је најмањи природан број” )
– Партикуларне (“Неки природни бројеви су парни”)
– Опште (“ Сви природни бројеви су позитивни”)
Закључак је такође врста мисли, низ
судова, а закључивање је мисаони процес
Сви четвороуглови имају 4 странице.
Квадрат је четвороугао
________________________________
Дакле, квадрат има четири странице
Ова три суда чине ЗАКЉУЧАК.
Прва два суда су ПРЕМИСЕ, а трећи суд је закључни
суд или КОНКЛУЗИЈА.
Врсте закључака
• Непосредни закључак је онај који има само
једну премису (Око сваког троугла се може описати
круг. Неки кругови су описани око троугла.)
• Посредни закључак – суд се изводи из
најмање 2 премисе. Закључак може бити:
– Дедуктиван
– Индуктиван
– Аналогијски
Дедуктиван закључак
• Прост дедуктиван закључак има само 2
премисе, зове се СИЛОГИЗАМ.
(Антички филозоф Аристотел први
је класификовао силогизме)
Примери силогизама
Сви прости бројеви су природни
Сви природни бројеви су позитивни
_______________________________
Сви прости бројеви су позитивни
.............................................................
Сви А су В
Сви В су С
Сви А су С
Примери силогизама
Сваки природан број је позитиван
Сваки природан број је цео број
________________________________
Неки цео број је позитиван
......................................................
Сваки А је В
Сваки А је С
Неки С је В
Индуктивни закључак
С1 је Р
С2 је Р
С3 је Р
...........
C1 , C2 ,...,Ck су неки елементи
Скупа С
Ск је Р
Сви С су Р
Ово је непотпуна индукција. Код потпуне (математичке)
индукције утврђује се да сви елементи имају дато својство,
па се онда изводи општи закључак.
ПОТПУНА ИНДУКЦИЈА
• Ако је тврђење, које се односи на
природне бројеве, тачно за природни
број 1 и из претпоставке да је тачно за
природни број n следи да је тачно и за
његов следбеник n+1, онда је то
тврђење тачно за сваки природни број.
Аналогијско закључивање
Пример: Месец је небеско тело слично Земљи.
На Земљи има живота. Дакле, и на Месецу
има живота.
– Аналогијско закључивање не даје
поуздан закључни суд.
– Међутим, закључивање по аналогији
је веома значајно.
(По аналогији решавамо задатке, у
науци се многе ствари откривају и
решавају по аналогији.)
Закључивање по интуицији
Код деце преовлађује интуитивно
мишљење и закључивање.
Многа велика открића су интуитивно
наслућена, па тек касније научно
доказана.
МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА
• ИСКАЗИ
• ИСКАЗНА СЛОВА
• ИСТИНИТОСНЕ ВРЕДНОСТИ (ТАЧНО,
НЕТАЧНО)
• ЛОГИЧКЕ ОПЕРАЦИЈЕ
ЛОГИЧКЕ ОПЕРАЦИЈЕ
•
•
•
•
КОНЈУНКЦИЈА – Λ
ДИСЈУНКЦИЈА – V
ИМПЛИКАЦИЈА – 
ЕКВИВАЛЕНЦИЈА – 
• НЕГАЦИЈА -
¬
КОНЈУНКЦИЈА
-И
p
q
pΛq
T
T
T
T
┴
┴
┴
T
┴
┴
┴
┴
ДИСЈУНКЦИЈА - ИЛИ
p
q
pVq
T
T
T
T
T
┴
┴
T
┴
┴
┴
T
ИМПЛИКАЦИЈА – Ако ..., онда ...
p
q
p q
T
T
T
T
┴
┴
┴
T
T
┴
┴
T
ЕКВИВАЛЕНЦИЈА – Ако и само ако
p
q
p
q
T
T
T
T
┴
┴
┴
T
┴
┴
T
┴
НЕГАЦИЈА - Није
p
¬p
T
┴
T
┴
КВАНТИФИКАТОРИ - ФОРМУЛЕ
•
•
•
•
УНИВЕРЗАЛНИ – СВАКИ - 
ЕГЗИСТЕНЦИЈАЛНИ – НЕКИ - 
ИСКАЗНЕ ФОРМУЛЕ
ВАЉАНЕ ФОРМУЛЕ