Transcript zbir uglova mnogougla

Збир углова многоуглa
Шта је многоугаона линија?
Многоугаона линија је затворена изломљена
линија без тачака самопресецања.
Која од ових линја је многоугаона?

није
jесте
Шта је многоугао?



Троуглови, четвороуглови, петоуглови .... сви они се
једним именом називају МНОГОУГЛОВИ.
Дефиниција:
Многоугао М је унија скупа тачака унутрашње
области Мu и многоугаоне линије m, а записује се :
М = Мu U m
Познато нам је да:
троугао има три странице, три темена и три
унутрашња угла,
четвороугао има четири странице, четири
темена и четири унутрашња угла.


Шта закључујемо?
У сваком многоуглу једнак је број страница,
темена и унутрашњих углова.
Који су основни елементи многоугла?
Темена, странице и углови.



Тачке А, В, C, D и Е
су темена петоугла.
Дужи АВ, BC, CD,
DE и EA су
странице петоугла.
А углови су α, β, γ, δ
и ε.
Дефиниција:

Дуж која спаја два несуседна темена мноугла назива
се ДИЈАГОНАЛА многоугла.
Теорема:
Број свих дијагонала које полазе из једног
темена, у ознаци n , многоугла са n страница
једнак је n – 3, односно :
d

d n n 3
Колики је збир унутрашњих углова троугла?
Теорема:
Збир унутрашњих углова ма којег троугла једнак је
опруженом углу (односно једнак је 180°)



S 3     180
Колики је збир унутрашњих углова
четвороугла?

Дијагонала дели
четвороугао на два троугла.

180

180




S 4 2 180 360
42 180
Колики је збир унутрашњих углова
петоугла?


180

180
Петоугао је
дијагоналама,
повученим из једног
темена, подељен на три
троугла.

180




S 5 3 180 540
52 180
Колики је збир унутрашњих углова
шестоугла?

180

180

180

180




S 6 4 180 720
62 180
Шта закључујемо?




Број дијагонала повучених из једног темена n-тоугла
износи n-3.
n-тоугао је тим дијагоналама подељен на n-2 троугла.
Збир унутрашњих углова у сваком од тих троуглова
износи 180°.
Збир унутрашњих углова n-тоугла једнак је укупном
збиру унутрашњих углова свих троуглова.
Тврђење:
Збир свих унутрашњих углова n-тоугла , у
ознаци Sn , износи :
S

n
n2 180

Посматрајте слику:
спољашњи угао
многоугла
Пример:
Нацртајмо сада опет седмоугао и означимо његове
углове.
Како се назива
суплементан угао
унутрашњем углу α1?
СПОЉАШЊИ УГАО
МНОГОУГЛА
Ако сада збир свих спољашњих углова седмоугла
означимо са S’7, тада је тачна једнакост:




S 7 S '7 7 180
Односно
7: 2 180  S '7  7 180
Одакле добијамо:



S '7 7 180
72 180
Решавањем једнакости добија се да је збир
спољашњих углова седмоугла:

S '7  360
Уопштимо сада то за сваки многоугао:

Нека је задат n-тоугао А1А2...Аn, нека су α1, α2, ...,αn
унутрашњи углови тог многоугла и нека су β1, β2, ...,βn
њима редом придружени спољашњи углови. При том
важи:
α 1+ β1=180°,
α 2+ β2=180°,
...,
α n + β n =180°.

Сабирањем горњих једнакости добијамо:

(α 1+ α 2+...+ α n)+ (β1+ β2+...+ βn)= n 180°

Имaјући у виду пример седмоугла,закључујемо:



S 'n n 180
n2 180
Одакле добијамо:
S 'n 
nn2 180  2 180
Па је збир спољашњих углова многоугла 2∙180°,
односно:

S '  360
n
Тврђење:

Збир свих спољашњих углова n-тоугла, у
ознаци S’n ,је исти за свако n, и износи:


S 'n 360
Задаци:


Израчунај збир унутрашњих углова за:
1) седмоугао;
2) дванаестоугао.
Решење:
1) 900°
2) 1800°
Један унутрашњи угао шестоугла је непознат
а остали су: 100°, 145°, 120°, 115°, 125°.
Израчунај непознати угао.
Решење:
115°




Да ли збир свих унутрашњих углова у
многоуглу може да износи:
1) 1080°
2) 1620°
3) 3620°
Ако може, колико страница има тај
многоугао?
Решење:
1) Може, осмоугао;
2) Може, једанаестоугао;
3) Не може, јер 3620 није дељиво са 180.
Да ли постоји петоугао са унутрашњим
угловима 110°, 103°, 110°, 112°, 106°?
Решење:
Не,јер је:
110°+103°+110°+112°+106° = 541°
А ми знамо да је:




S 5 3 180 540