ПОЧЕТНО МАТЕМАТИЧКО ОБРАЗОВАЊЕ

Специјалистичке студије

Литература

•

Е. Каменов,

МУДРОСТ ЧУЛА, II део, Развијање дечје интелигенције,

Нови Сад, 2010.

•

М

.

Марјановић

, МЕТОДИКА МАТЕМАТИКЕ I,

Учитељски факултет, Београд, 1996.

•

Г. Шимић,

МЕТОДИКА РАЗВИЈАЊА МАТЕМАТИЧКИХ ПОЈМОВА,

Виша школа за образовање васпитача, Шабац, 1998..

•

Министарство просвете Р. Србије,

ПРАВИЛНИК О ОСНОВАМА ПРЕДШКОЛСКОГ ПРОГРАМА

, Службени гласник, Београд

Историјски преглед основних математичких идеја

• Историју математике везујемо за оно време у коме је, колико толико, могуће датирати догађаје, именовати ствараоце и лоцирати школе

То време почиње од 6. столећа п.н.е. у Јонској Грчкој и уобичајено је да се дели на 3 велика периода: • Класични период, • Средњи век са Ренесансом • Савремени период. Време пре тога називамо предисторијским периодом.

ПАЛЕОЛИТ ( 15000-10000 год. пре нове ере) Цртежи на зидовима пећина у Француској и Шпанији МЕЗОЛИТ (10000-5000 год. пре нове ере ) Правилне форме алата од камена и глинено посуђе.

НЕОЛИТ (5000-2000 год. пре нове ере ) Украшавали посуђе. Прва насеља (Лепенски вир, Винча ) БРОНЗАНО ДОБА (2000-1000 год. пре нове ере) ГВОЗДЕНО ДОБА (1000- 0 год. пре нове ере) НОВА ЕРА

Настанак природних бројева

– Један, два и више – Један, два, три, четири и више (један човек, два човека, три човека, четири човека, пет људи) – Децимални систем (Египат и Индија) – Вигесимални систем (Келти у Европи и Маје у Ј. Америци, 20 прстију) – Сексадесимални систем (Сумери) (сати, минути)

Настанак геометрије

• Геометријски облици су настали уочавањем облика у природи • Када се реалним објектима апстрахују материјална својства и ситне неправилности у облику, настају нематеријални, идеални објекти који се могу само замислити или представити моделом или сликом (то су геометријске фигуре)

Први писани трагови

• Египћани су писали на папирусу • Кинези су писали на бамбусовој кори • Сумери су писали на глиненим плочицама (зато је од њих остало највише записа)

АХМЕСОВ ПАПИРУС

• Пронађен је у Египту крајем 19. века • Стар више од 3000 година • Писао свештеник Ахмес • Назив: “Инструкције за упознавање свих тајних ствари” • Садржај папируса чине проблеми из аритметике и геометрије са одговорима и без доказа

ЕГИПЋАНИ

• Имали су декадни непозициони систем.

• Имали су 7 знакова за означавање бројева. • Нула се не јавља у записима.

• Највећи број који су могли записати био је 9 999 999.

• Познавали су појам разломка (1/х)

• Имали су мере за дужину, површину и запремину (лакат, лакат има 7 дланова, а длан 4 прста) • Решавали су једначине (линеарне и квадратне); имали су ознаку за непознату.

• Добро су познавали геометрију. Знали су за правоугли троугао са целобројним страницама 3,4 и 5.

Јонска школа

• Талес од Милета (640-550. год.п.н.е) Оснивач је најстарије грчке школе математике и филозофије. Симболизује почетак математике у историјском смислу.

• Талесова теорема • Школа коју је основао трајала је до око 400. год п.н.е.

Најважнија Талесова открића

• Углови на основи равнокраког троугла су једнаки • Троуглови са једнаким угловима имају пропорционалне странице • Угао над пречником круга је прав

Питагора (569-500)

• Рођен је на острву Самосу школу без већег успеха) (ту је основао • Око 529. год одлази на Сицилију и оснива школу у Таранту (грађани свих сталежа, чак и жене, могли су да присуствују предавањима) • Прва жена математичар Теано, коју је Питагора оженио.

• Симбол распознавања следбеника ове школе је био пентаграм

Најважнији резултати

• Питагорина теорема • Дужине страница правоуглог троугла: 2n 2  2n  1 , 2n 2  2n , 2n  1 • Збир првих n непарних бројева једнак је квадрату броја n.

• Знали су за 5 правилних тела • Аритметичка и геометријска прогресија • Открили су несамерљивост странице и дијагонале квадрата

Атинска школа

• После Маратонске битке (490. год п.н.е) у којој су Грци потукли Персијанце настаје Златно доба Грчке. • Као наставак Јонске школе јавља се Атинска школа.

Атинска школа

• Хипократ из Хиоса (рођен око 470 г.п.н.е) • Изградио геометрију круга • Теорема о периферијским угловима над истим луком • Теорема о вези спољашњих и унутрашњих углова у троуглу • Површине кругова се односе као квадрати њихових полупречника

Платон (429-384)

• Основао је школу коју је назвао академија, на вратима је писало: “Нека не улази овде ко незна геометрију” • Развио специфичне начине доказивања

Еудоксо (408-355)

• Изградио теорију сразмера • Доказао да је запремина пирамиде једнака трећини запремине призме исте основе и висине • Бавио се својствима златног пресека АВ:АС = АС:СВ ( конструкција ових дужи помоћу лењира и шестара)

Александријска школа

• Александар Велики је 332. год п.н.е. основао град Александрију који убрзо постаје центар Хеленистичког света. По његовој смрти 323.г владар Египта постаје Птоломеј I, који бира Александрију за престони град. Оснива велико училиште, библиотеку са око 600 000 рукописа, музеј и др. Можемо с правом рећи да је та школа имала све карактеристике модерног универзитета.

Еуклид (330-275)

• Нписао је дело “Елементи” од 13 томова, где је изложио сва знања из математике тог времена.

• Постоји бесконачно простих бројева • Еуклидов алгоритам за тражење највећег заједничког делиоца • Он користи природне бројеве и њихове односе (позитивни рационални бројеви). Међутим, познат је и број √а као страница квадрата површине а.

Архимед (287-212)

• Учио је у Александрији, али је већи део живота провео у Сиракузи на Сицилији • Приближно је одредио однос обима круга и његовог пречника (број

π

) • Однос запремине купе, лопте и ваљка, при чему су купа и лопта уписани у ваљак, је 1:2:3

Ератостен (275- 194) Диофант (4. век )

• Ератостеново сито (одређивање простих бројева у низу природних бројева) • Диофантове једначине.

• Диофант први уводи једно слово за променљиву и ознаку за њен квадрат.

Три чувена проблема Грчких математичара

•

Дуплирање коцке -

одређивање ивице коцке чија ће запремина бити два пута већа од запремине дате коцке Према легенди коју преносе класични писци, 430. године пре нове ере, Атину је захватила куга, па су се грађани обратили Светилишту у Делфима. Богови су одговорили да треба да удвоструче храм посвећен Аполону,који је био облика коцке и постојао у Атини. Једни су мислили да треба сваку ивицу дуплирати (тиме би добили 8 пута већу запремину). Други су предлагали да треба направити поред храм истих димензија (то заједно не би била коцка, већ квадар). Поново су се обратили Светилишту и добили одговор да храм мора бити облика коцке.

• 2.

Трисекција угла –

произвољан угао треба поделити на три једнака угла употребом лењира и шестара • 3

. Квадратура круга

– одређивање квадрата чија је површина једнака површини датог круга ( да то није могуће доказао је Линдеман 1882. год.)

Развој аритметике

•

Аритметика (

грчки “arithmos” значи “број”) сматрана је научним истраживањем бројева. Седму, осму и девету књигу Еуклидових “Елемената” можемо сматрати да су посвећени излагању теорије бројева у геометријском облику

Наводимо неке од дефиниција: • “Јединица је оно по чему се све што јесте назива једно” • “Број је множина састављена од јединица” • “Већи број је вишеструк од мањег кад је мерен мањим” • “Паран број је онај који је мерљив у два једнака дела” • “Прост број је онај који је мерљив само јединицом”

• Две дужи

а

и

b

су постоји трећа дуж

с самерљиве

ако која их мери, тј.

а = mс , b = nc,

где су

m

и

n

природни бројеви. Њихова сразмера је тада

m:n.

• У времену пре Питагоре сматрало се да су сваке две дужи самерљиве. Тек су Питагорини савременици доказали да постоје несамерљиве дужи. Десета књига Еуклидових “Елемената” посвећена је несамерљивим величинама.

• “ Оне величине називају се самерљиве које су мерене истом мером, а оне несамерљиве које не могу имати ниједне заједничке мере”

• Абакус- справа за рачунање, негде су и данас у употреби • Цифре су основни аритметички симболи (“ciphra” на латинском значи празан, односно, нула) • Грци користе слова за бројеве, према њиховом распореду у алфабету

• Римске цифре • I V X L C D M • 1 5 10 50 100 500 1000

• Арапске цифре,које ми данас користимо за означавање бројева, имају своје првобитно порекло у Индији, одакле се преносе у Европу посредством арапских математичара.

РАЗВОЈ АЛГЕБРЕ

• Први универзитети • У Болоњи 1119.год.

• Сорбона у Паризу 1200.год.

• У Оксфорду 1249.год.

• У Прагу 1348.год.

• У Бечу 1355.год.

• Реч универзитет потиче од латинског назива таквих училишта “universitas doctorum, magistrorum et scholarium ” што у преводу значи заједница професора, учитеља и ђака.

• Николо Фонтана (1500-1557) познатији као Тартаља (“Муцавац”) знао је да решава неке једначине трећег степена. Ту вештину, поверио је под заклетвом да се тајна чува, миланском лекару Кардану (1501-1576). Међутим, године 1545 Кардано публикује књигу “Ars magna”(Велика уметност), најбољу од свих до тада објављених алгебри, где усавршава решавање кубних једначина. (Кардано је био познати астролог свог времена. Прорекао је сопствену смрт, а извршио самоубистви да би сачувао репутацију)

• Виет (1540 ознаке за коефицијенте и непознате у једначини. 1603) уводи слова као • Слова као опште ознаке за коефицијенте воде до формула за решавање једначина, а тиме и до изражавања функцијских веза између величина . То је Виетов допринос развоју идеје функције.

• Рене Декарт (1596-1650) је творац аналитичке геометрије (Тврдио је да су му идеје о аналитичкој геометрији дошле у сну 10.11.1691.)

Историјат основних ознака

• Операције сабирања и одузимања означаване су речима “plus “ (скраћено р.) и “minus “ (скраћено објављенља 1489. год.

m

.).

потиче из једне књиге која је Најстарији пример употребе знакова “+” и “-” ( 54кг± 1кг) • Отред (1574-1660) уводи знак ”х” да назначи множење, и знак “:” за дељење

• • Знак једнакости “=” јавља се код Роберта Рекорда (1510-1558) • Томас Хариот (1560-1621) уводи знакове “<” и “>” • Декарт први уместо

ахb

пише

ab Нула

се код Индуса означава тачком. Не зна се ко први уводи ознаку “0” (мисли се да је то почетно слово грчке речи “ouden” која значи “ништа”)

• K. Рудолф(1525) уводи знак ” ” за квадратни корен ( модификација слова “r” од речи “radix” )