Transcript Čtyřúhelníky
Základní škola Jakuba Jana Ryby Rožmitál pod Třemšínem Efektivní výuka pro rozvoj potenciálu žáka
projekt v rámci Operačního programu
VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST
Čtyřúhelníky
Matematika – 7. ročník
Obsah
Čtyřúhelníky v praxi
Čtyřúhelníky – základní pojmy
A Čtyřúhelník ABCD: d
α
D
δ
e E a c f
γ β
C b
B
vrcholy: A, B, C, D sousední
A, B; B, C; C, D; D, A
protější
A, C; B, D
strany- úsečky:AB=a, BC=b, CD=c, DA=d sousední protější vnitřní úhly sousední protější úhlopříčky
a, b; b, c; c, d; d, a a, c; b, d α, β, γ, δ α, β; β, γ; γ, δ; δ, α α, γ; β, δ AC = e, BD = f
E …průsečík úhlopříček
Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360 o .
Obvod = součet délek jeho stran.
α + β + γ + δ = 360 o o = a + b + c + d
Všimni si rozdílu při označování stran
u trojúhelníku
C b a d
u čtyřúhelníku
c D C b A a B A c B
Procvičení - čtyřúhelníky
D
Urči obvod čtyřúhelníku C 5 cm G 4 cm 6 cm 5 cm F 35 mm 5 cm o ABCD = 20 cm A 55 mm B D 8 cm E o DEFG = 22 cm
Urči velikost vyznačeného úhlu M P O μ 115 o 100 75 o o N D A 98 o 95 o γ C 45 o B μ = 70 o γ = 122 o
Rozdělení čtyřúhelníků
Rovnoběžníky
- každé 2 protější strany jsou rovnoběžné a shodné
čtverec
obdélník kosočtverec kosodélník Lichoběžníky
- 2 protější strany jsou rovnoběžné, zbývající 2 různoběžné
obecný
pravoúhlý rovnoramenný Různoběžníky
- žádné 2 protější strany nejsou rovnoběžné
S
Rovnoběžníky - vlastnosti
Každé dvě protější strany jsou rovnoběžné a shodné.
Každé dva protější úhly jsou shodné.
Úhlopříčky se v rovnoběžníku navzájem půlí.
Rovnoběžník je středově souměrný, střed souměrnosti je v průsečíku úhlopříček.
Rovnoběžníky – vlastnosti (shrnutí)
A
d
Rovnoběžníky = čtyřúhelníky, které mají každé 2 protější strany rovnoběžné a stejně dlouhé.
a || c; b || d; a = c; b = d D α
a
δ S β
c
B γ
b
C další vlastnosti:
protější úhly mají stejnou velikost
α = γ; β = δ součet vnitřních úhlů je 360°
α + β + γ + δ = 360° součet velikostí sousedních úhlů je 180°
α + β = 180°; β + γ = 180°
γ + δ = 180°; δ + α = 180° úhlopříčky se navzájem půlí průsečík úhlopříček je střed souměrnosti rovnoběžníku
Procvičení – vlastnosti rovnoběžníků
V rovnoběžníku ABCD známe velikost 1 vnitřního úhlu. Vypočti velikosti zbývajících úhlů:
a) β = 103 o
b) α = 72 o 12´ β =103 o δ = β = 103 α = γ = 77 o o α =72 o 12´ γ = α = 72 o 12 ´ β = δ = 107 o 48 ´
ne ano Zjisti, zda čtyřúhelník MNOP je rovnoběžník, jestliže pro délky jeho stran platí:
a) |MN| = 8 dm, |NO| = 80 cm, |OP| = 500 mm, |PM| = 50 cm
b) |MN| = 6 cm, |NO| = 30 mm, |OP| = 6 cm, |PM| = 3 cm P 5 dm O P 6 cm O 5 dm 8 dm 3 cm 3 cm 8 dm M ne N M 6 cm ano N
Pozoruj úhlopříčky rovnoběžníků
úhlopříčky jsou shodné čtverec a obdélník S 3 S 1
úhlopříčky jsou navzájem kolmé čtverec a kosočtverec
úhlopříčky půlí vnitřní úhel čtverec a kosočtverec .
S 2 .
S 4
úhlopříčky nejsou na sebe kolmé obdélník a kosodélník úhlopříčky nejsou shodné kosočtverec a kosodélník
Rozdělení rovnoběžníků a jejich vlastnosti
pravoúhelníky
čtverec obdélník
kosoúhelníky
kosočtverec kosodélník
čtverec
a .
.
S a o 1 a
Pravoúhelníky
o 4 a o 3 o 2
všechny strany stejně dlouhé všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky
stejně dlouhé na sebe kolmé
půlí vnitřní úhly rozdělí čtverec na 4 shodné pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky 4 osy souměrnosti
obdélník
a S b .
a o 1
Pravoúhelníky
b o 2
sousední strany mají různou délku (a ≠ b) všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky
stejně dlouhé
nejsou na sebe kolmé nepůlí vnitřní úhly 2 osy souměrnosti
o 1
kosočtverec
a a a .
S a
Kosoúhelníky
o 2
všechny strany stejně dlouhé vnitřní úhly nejsou pravé úhlopříčky
různé délky na sebe kolmé
půlí vnitřní úhly rozdělí kosočtverec na 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky 2 osy souměrnosti
Kosoúhelníky
kosodélník
a S b a b
sousední strany mají různou délku (a ≠ b) vnitřní úhly nejsou pravé úhlopříčky
různé dlouhé
nejsou na sebe kolmé nepůlí vnitřní úhly nemá osy souměrnosti
Má uvedenou vlastnost následující rovnoběžník?
Vlastnost obrazce protější strany
rovnoběžné a shodné
sousední strany
shodné
sousední strany
kolmé
všechny úhly
pravé
sousední úhly
pravé
OBDÉLNÍK ČTVEREC
ANO NE ANO ANO ANO ANO ANO ANO ANO ANO
KOSODÉLNÍK KOSOČTVEREC
ANO NE NE NE NE ANO ANO NE NE NE
Má uvedenou vlastnost následující rovnoběžník?
Vlastnost OBDÉLNÍK ČTVEREC KOSODÉLNÍK KOSOČTVEREC obrazce protější úhly
pravé
protější úhly
shodné
úhlopříčky
se navzájem půlí
úhlopříčky
shodné
úhlopříčky
kolmé
úhlopříčky
půlí vnitřní úhel ANO ANO ANO ANO NE NE ANO ANO ANO ANO ANO ANO NE ANO ANO NE NE NE NE ANO ANO NE ANO ANO
Pojmenuj tyto obrazce
obdélník kosočtverec čtverec čtverec obdélník kosodélník kosodélník
Pojmenuj tyto obrazce
lichoběžník obecný lichoběžník pravoúhlý lichoběžník rovnoramenný čtyřúhelník čtyřúhelník čtyřúhelník
Výška rovnoběžníku
je kolmá vzdálenost protějších rovnoběžných stran
Výšky rovnoběžníku
Výška rovnoběžníku = vzdálenost protějších rovnoběžných stran
D c C A d v a D 1 v b a v b b B D 2 C 1 v a
|DD |CC 1 1 | = v | = v a a vzdálenost a, c
A 2
|DD 2 | = v b |AA 2 | = v b vzdálenost b, d Úsečky DD 1 a DD 2 leží na kolmicích sestrojených bodem D k protějším stranám rovnoběžníku.
K N
Obsah rovnoběžníku
Rovnoběžníky mají stejné délky stran. Mají stejné obsahy?
4 cm M L 2,5 cm A D 4 cm B 2,5 cm C
Obsah rovnoběžníku
Který z rovnoběžníků má větší obsah?
K N v 4 cm M 2,5 cm L 2,5 cm A D v 4 cm B 2,5 cm C S = 4 . 2 S = 8 cm 2 S = 4 . 1,7 S = 6,8 cm 2
A
Urči obsah obrazců
B D C E F 1 cm 2 S A =1.4
S A = 4 cm 2 S B = 3.2
S B = 6 cm 2 S C = 4.2
S C = 8 cm 2 S D = 1.1
S D = 1 cm 2 S E = 5.3
S E = 15 cm 2 S F = 2.3
S F = 6 cm 2
Obsah rovnoběžníku - vzorec
v a a
S = a . v
a
S = b . v
b a , b v a , v b strany výšky vynásobíme stranu rovnoběžníku příslušnou výškou k této straně
Př.: Vypočti obsah rovnoběžníku, jestliže strana a = 60 cm, b = 54 cm a výška v a = 25 cm.
v a = 25cm b =54 cm a =60 cm S = a . v a S = 60 . 25 S = 1 500 cm 2 Obsah rovnoběžníku je 1 500 cm 2 .
Př.: Vypočti obsah kosodélníku ABCD, je-li dáno: a = 7,6 cm, v a = 4,8 cm.
v a = 4,8 cm a =7,6 cm S = a . v a S = 7,6 . 4,8 S = 36,48 cm 2 Obsah kosodélníku je 36,48 cm 2 .
Př.: Pozemek tvaru kosodélníku má výměru 3 ha. Určete vzdálenost dvou jeho protějších stran, z nichž každá má délku 250 m. S = 3 ha = 30 000 m 2 a =250 m v a = ? m v a = ? m S = a . v a a =250 m 30 000 = 250 . v a v a = 30 000 : 250 v a = 120 m Vzdálenost dvou protějších stran pozemku tvaru kosodélníku je 120 m.
b
Obvod rovnoběžníků
Kosodélník a Kosočverec a b a a a o = a + b + a + b o = 2 . (a + b) a o = a + a + a + a o = 4 . a
Př.: Kosočtverec má obvod 19,2 cm a výšku 32 mm. Vypočti jeho obsah. o = 19,2 cm S = ? cm 2 a = ? cm v a = 3,2 cm a = 19,2 : 4 a = ? cm a = 4,8 cm a = ? cm S = a . v a S = 4,8 . 3,2 S = 15,36 cm 2 Obsah kosočtverce je 15,36 cm 2 .
Lichoběžníky v praxi
Lichoběžníky
Lichoběžník – čtyřúhelník, který má 2 protější strany rovnoběžné (základny) a zbývající 2 různoběžné (ramena) A d α D α c β δ γ C v a b β B jiné označení pro základny a ramena základny …..z
1 a z 2 ramena ……r 1 a r 2
základny AB=a, CD=c
a || c ramena BC=b, AD=d
b || d výška v …. vzdálenost základen vnitřní úhly
α + δ = 180 o
β + γ = 180 o úhlopříčky – AC, BD
Základní prvky lichoběžníku
D
c (z 2 )
C
d (r 2 ) b (r 1 ) v f e
A
a (z 1 )
B
základny – rovnoběžné strany a, c nebo z 1 , z 2 ramena – různoběžné protější strany b, d nebo r 1 , r 2 výška v – úsečka kolmá na základny, jejíž krajní body na nich leží úhlopříčky – e, f
Rozdělení lichoběžníků
z 2
obecný strany různě dlouhé různé vnitřní úhly r 2 z 2 z 1
rovnoramenný shodná ramena shodné úhly při základně shodné úhlopříčky osa souměrnosti - rozděluje lichoběžník na 2 shodné pravoúhlé lichoběžníky r α δ γ β o z 1 z 2 r
pravoúhlý jedno rameno kolmé k základnám 2 vnitřní úhly pravé r 2 r 1 r 1 α = β γ = δ z 1
Obvod lichoběžníku
c d b a = součet délek všech jeho stran o = a + b + c + d
Procvičení – obvod, vnitřní úhly
1. Určete obvod lichoběžníku KLMN N
40 mm
M N
7 cm
M
26 mm
K
66 mm 33 mm
L
o = 165 mm
K shodné úhly
3,5 cm
L
3 cm o = 16,5 cm
2. Určete velikosti úhlů lichoběžníku
α 110 o β α = 70 o 35 o β = 145 o δ 140 o γ = 40 o γ δ = 90 o
D
Obsah lichoběžníku
c C v S
S = (a + c) . v 2
A a B c E |BS| = |CS| | BSE| = | CSD| … úhly vrcholové | SBE| = | SCD| … úhly střídavé
BES
CDS (věta usu) Obsah lichoběžníku ABCD = obsahu trojúhelníku AED Obsah lichoběžníku – sečteme základny, vynásobíme výškou a výsledek vydělíme dvěma.
Př.: Vypočti obsah lichoběžníku se základnami a = 6 cm, c = 2,5 cm a výškou v = 3 cm.
c = 2,5 cm v = 3 cm a = 6 cm S = S = (a + c) . v 2 (6 + 2,5) . 3 2 S = 8,5 . 3 2 25,5 S = 2 S = 12,75 cm 2 Obsah lichoběžníku je 12,75 cm 2 .
Vypočti obsah lichoběžníku ABCD:
1. a = 15 cm; c = 3 dm; v = 12 cm 2. a = 120 mm; c = 0,8 dm; v = 9 cm S = 270 cm 2 S = 90 cm 2 3.
4 cm 4.
5,2 cm
6,9 cm S = 15,26 cm 2 88 mm S = 13,3 cm 2
1. a = 15 cm; c = 3 dm; v = 12 cm (15 + 30) . 12 S = 2 45 . 6 S = 1 S = 270 cm 2 3.
(6,9 + 4) . 2,8 S = 2 10,9 . 1,4 S = 1 S = 15,26 cm 2
2. a = 120 mm; c = 0,8 dm; v = 9 cm 4.
(12+ 8) . 9 S = 2 20 . 9 S = 2 S = 90 cm 2 (8,8 + 5,2) . 1,9 S = 2 14 . 1,9 S = 2 S = 13,3 cm 2
Př.: Lichoběžník má obsah S = 66 cm 2 a základny a = 14 cm, c = 8 cm. Vypočítejte jeho výšku v.
c = 8 cm S = 66 cm 2 v = x cm a = 14 cm 66 = (14 + 8) . v 2 22 . v 66 = 2 66 = 11 . v v = 6 cm Výška lichoběžníku měří 6 cm.
Čtyřúhelníky – matematika 7. ročník ZŠ Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř.
Windows XP Professional
MS Office
Zoner - České kliparty 1, 2, 3
učebnice matematiky Obrázky z internetu Autor: Mgr. Bohumila Zajíčková ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. ( www.zsrozmital.cz
)