Exkurs: Hotelling-Problem (Harold Hotelling, 1929) • • • • Zwei Eisverkäufer am Strand Gleichmäßig verteilte Nachfrage Preis ist gegeben Nachfrager kaufen jeweils am nächstgelegenen Eissta

nd

Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum

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2.2 Das Hotelling-Problem • • • Gesamtwirtschaftliches Optimum: Minimierung der gesamten Wegekosten Einzelwirtschaftliches Optimum: Gewinnmaximale Standorte bei dezentraler Entscheidung Werden beide übereinstimmen?

Welches ist gesamtwirtschaftlich die optimale Standortwahl?

(Q = a + b + c = Gesamtlänge des Strandes) k + 0,5tb k + t c k + t a p p a b c Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum

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2.2 Das Hotelling-Problem

Gesamtwirtschaftliches Optimum

a = 0,25Q b = 0,5Q c = 0,25Q

Symbole/Annahmen:

t = Wegekosten pro Entfernungseinheit T = Summe aller Wegekosten => min!

k = konstante Stückkosten des Eises p = (vorgegebener) Preis des Eises Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum

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2.2 Das Hotelling-Problem

Formaler Lösungsansatz für gesamtwirtschaftliches Optimum

k + 0,5tb k + t a p p a b c T  0,5ta 2  0,5t(0,5b) 2  0,5t(0,5b) 2  0,5tc 2 Nebenbedingung: a + b + c = Q (Gesamtlänge des Strandes) T  T  0,5t 0,5t   a a 2 2  0,5b 2  0,5b 2  c 2   (Q  a  b) 2   min!

Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum k + t c

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2.2 Das Hotelling-Problem

Formale Lösung (1)

(Hilfsrechnung) (Q  a  b) 2  Q 2  2Q(a  b)  (a  b) 2  Q 2  2Qa  2Qb  a 2  2ab  b 2 Daraus folgt: T  0,5t[a 2  0,5b 2  Q 2  2Qa  2Qb  a 2  2ab  b 2 ] Partielle Differentiation nach a und b: dT  0,5t[2a  2Q  2a  2b]  0 da dT  0,5t[b  2Q  2a  2b]  0 db 2a = b Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum

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2.2 Das Hotelling-Problem

Formale Lösung (2)

Einsetzen von 2a = b in dT/da = 0 liefert: 0,5t(2a  (b   2Q 2Q   2a  b  2b) 2b)  0    4b b   2Q 0,5Q 0 Einsetzen in die Nebenbedingung a + b + c = Q liefert: 0,5b + b + c = 2b => c = 0,5b = a Das heißt: alle Dreiecke müssen gleich groß sein!

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2.2 Das Hotelling-Problem

Grafische Interpretation

a 0,5b 0,5b c • • • Ergebnis Die Eisverkäufer müssen jeweils ein Viertel der Gesamtlänge des Strandes vom West- bzw. Ostrand entfernt stehen Der Abstand zwischen ihnen entspricht der Hälfte der Gesamtlänge des Strandes Die Nachfrage teilt sich 50:50 auf West und Ost auf Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum

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2.2 Das Hotelling-Problem

Einzelwirtschaftliches Kalkül (1)

Absatzgebiet West Absatzgebiet Ost • • Annahme: Beide Eisverkäufer stehen am Anfang „richtig“ Frage: Bleibt diese Allokation bei freier Wahl erhalten?

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2.2 Das Hotelling-Problem

Einzelwirtschaftliches Kalkül (1)

Absatzgebiet West Absatzgebiet Ost Ergebnis Nein! Anreiz direkt neben den Konkurrenten zu ziehen.

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2.2 Das Hotelling-Problem

Einzelwirtschaftliches Kalkül (2)

Absatzgebiet West = Absatzgebiet Ost • • Weitere Folge Beide überholen sich immer weiter nach Westen, bis sie schließlich in der Mitte sind!

• • Dort kein Gewinn mehr durch weitere Standortverlagerung möglich

Problem: Transportkosten insgesamt jetzt viel höher!

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2.2 Das Hotelling-Problem

Transportkosten Optimallösung:

k + 0,5tb k + t a p p a b c T  0,5ta 2  0,5t(0,5b) 2  0,5t(0,5b) 2  0,5tc 2 Optimalbedingung: a = c = 0,5 b = 0,25Q (s.o.) T  0,5ta 2  2 ( 0 , 5

t

)( 0 , 5

b

) 2  0 , 5

tc

2 T  0,5t(0,25Q ) 2 

t

( 0 , 25

Q

) 2  0 , 5

t

( 0 , 25

Q

) 2

T

 2

t

( 0 , 25 ) 2

Q

2  2

t

0 , 625

Q

2  0 , 125

tQ

2 Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum k + t c

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2.2 Das Hotelling-Problem

Transportkosten Marktlösung:

0,5tQ 0,5tQ 0,5Q 0,5Q T  0 , 5 ( 0 , 5

tQ

)( 0 , 5

Q

)  0 , 5 ( 0 , 5

tQ

)( 0 , 5

Q

)

T

 0 , 25

tQ

2 d.h. die Transportkosten der Marktlösung sind doppelt so hoch wie die Transportkosten der effizienten Lösung Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum

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2.2 Das Hotelling-Problem

Schlussfolgerungen / Kritik (1)

• • • • • Markt führt hier offenbar zu suboptimalem Ergebnis Allerdings: Dyopol ist kein wirklicher Wettbewerb Bei mehr als zwei Anbietern immer stärkere Annäherung an optimale Lösung Letztlich eher interessante Denksportaufgabe als ernsthafter Einwand gegen Funktionsfähigkeit des Wettbewerbs im Raum Trotzdem lange Zeit großer Einfluss auf regionalökonomisches Denken Theoretische Grundlagen der Regionalökonomik, Prof. Dr. van Suntum

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2.2 Das Hotelling-Problem

Schlussfolgerungen / Kritik (2)

• • Variation der Anbieter Bei drei Anbietern ergibt sich die unter Transportkosten gesichtspunkten optimale, symmetrische Verteilung (Eaton/Lipsey 1975).

Bei einer beliebigen Steigerung der Anbieterzahl können sich Verteilungen mit dispers verstreuten und im Zentrum konzen trierten Unternehmen ergeben (Economides 1993, Brenner 2001), die zumeist effizient sind.

• Variation der Marktausdehnung Bei einer kreisförmigen Ausdehnung, bspw. einer Stadt mit Ringstraße, ergibt sich eine symmetrische, i.d.R. effiziente Verteilung (Salop 1979).

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2.2 Das Hotelling-Problem

Schlussfolgerungen / Kritik (3)

Positive Preiselastizität der Nachfrage • Mit zunehmender Entfernung werden die Nachfrager auf den Konsum verzichten; vollständige Konzentration im Zentrum wird unrealistisch (Tirole 1995); Ineffizienz bei nur zwei Anbietern bleibt erhalten.

Unterschiede in der Produktionsfunktion • Das im Preiswettbewerb unterliegende Unternehmen wird entweder verdrängt oder muss seinen Standort aus dem Zentrum verlagern (d‘Aspremont 1983); die Lösung bleibt ineffizient.

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2.2 Das Hotelling-Problem

Weiterführende Literatur

• • • • • • • Eaton, B. Curtis, Lipsey, Richard G. (1975) The Principle of Minimum Differentiation Reconsidered: Some New Developments in the Theory of Spatial Competition, in: Review of Economic Studies, Vol. 42, S. 27 - 49.

Brenner, Steffen (2001) Hotelling Games with Three, Four and More Players, Arbeiten des Sonderforschungsbereich 373 an der Humboldt Universität, Berlin.

Economides, Nicholas (1993) Hotelling’s „Main Street“ with More than Two Competitors, in: Journal of Regional Science, Vol. 33, No. 3, S. 303 - 319.

Salop, Stephen C. (1979) Monopolistic Competition with Outside Goods, in: Bell Journal of Economics, Vol. 10, S. 141 - 156.

Tirole, Jan (1995) Industrieökonomik, München.

d' Aspremont, Claude, Gabszewicz, J. Jaskold, Thisse, Jacques F. (1983) Product Differences and Prices, in: Economic Letters, Vol. 11, S. 19 - 23.

Gupta, Barnali, Pal, Debashis, Sarkar, Jyotirmoy (1997) Spatial Cournot Competition and Agglomeration in a Model of Location Choice, in: Regional Science and Urban Economics, Vol. 27, S. 261 - 282.

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