Transcript Näited

Astmed ja juured
© T. Lepikult, 2004
Astme mõiste.
Definitsioon
Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist,
milles on n võrdset tegurit a, s.t.
a n  a
 a
 ...
 a.

n tegurit
Näited
32  3  3  9 .
104  10 10 10 10  10000.
3
1  1 1 1  1 .
 
4 4 4 64
 4
1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti.
=
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Negatiivse arvu astendamine
Näited
(2)3  (2)  (2)  (2)   8.
(0,5) 4  (0,5)  (0,5)  (0,5)  (0,5)  0,0625.
Järeldus viimastest näidetest:
Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus
positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne.
Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna:
(4) 2  (4)  (4)  16;
aga:
 42  4  4  16.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Astendajad 0 ja 1
Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks
(e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks).
Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii:
a1  a
a 0  1, kui a  0
Näited
 11  1
01  0
 10  1
0,0030  1
( ) 0  1
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Negatiivne astendaja.
Negatiivse astendajaga aste on vastava positiivse astendajaga astme
pöördarv:
1
n
a  n kui a  0.
a
Näited
1 1
3 2  2  ;
3 9
 2
3
1
1

 ;
3
(2)
8
1
  2   1  1  1:   2    5 ;
 
 
1
2
2
 5
 5
 2 
 
5
 5
3
3
 6   1   11 ;
 
 
3
11
 
6 6
 
 11
103 
algusesse
1
1

 0,001;
3
10 1000
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Juure mõiste (I)
Astendamise pöördtehet nimetatakse juurimiseks. See pöördtehe on
defineeritud vaid ühest suuremate naturaalarvude korral. Antud astendaja
n > 1 ning arvu a korral tähendab see sellise arvu b leidmist, et bn = a.
Juurimistehte tulemust tähistatakse sümboliga n a , mida nimetatakse
n-nda astme (ehk ka n-ndaks) juureks arvust a. Arvu n nimetatakse
sealjuures juurijaks ja arvu a juuritavaks.
Näide
Kuna
juurija
33  27, siis
juuritav
3
27  3.
Kui juurijaks on 2, siis jäetakse juurija kirjutamata ning kasutatakse
sümbolit a , mida nimetatakse ruutjuureks arvust a. Kui juurijaks on 3,
siis nimetatakse juurt kuupjuureks.
Näide
25  5, kuna
52  25.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Juure mõiste (II)
Paarituarvulise juurija korral on juurimistehte tulemus määratud üheselt
iga reaalarvu a korral.
3
x
Näiteks on võrrandi  8 ainukeseks lahendiks x = -2 ja seega
3
 8  2.
Paarisarvulise juurija korral peame juurimistehte tulemuse ühesuse
tagamiseks tegema lisaeelduse:
kui juurija n on paarisarv, siis a > 0 korral juur
positiivset arvu, mille n-es aste on a.
n
a tähistab niisugust
Näide
6,25  2,5 ja
2
ehkki nii 2,5  6,25
6,25  2,5
kui ka
(2,5) 2  6,25
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Ratsionaalarvuline astendaja.
Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste defineeritakse
võrdusega
m
a n  n am .
Kui n on paarisarv, siis peab reaalarvude korral olema alus a
mittenegatiivne arv.
Näited
1
2
0,01  0,011  0,01  0,1;
2
3
3
(10)  (10)  100;
(8)

2
3

3
2
1
(8)
2
3

3
3
2
4  43  64  8;
1
10
100,1  10  10 10;
1
1
1


;
3
2
64 4
(8)
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Astme omadusi (I)
1. Positiivset arvu astendades saame tulemuseks alati positiivse arvu:
r
kui a  0, siis igasuguse astendaja r korral a  0.
Näiteks:
23  8  0;
0,251/ 2  0,25  0,5  0.
2. Kui astme alus on negatiivne ja astendaja on paarisarv, on
tulemus sama, mis aluse vastandarvu astendades:
(a) 2 n  a 2 n ;
Kui aga negatiivse aluse korral on astendaja paaritu arv, siis on
tulemuseks vastava positiivse alusega astme vastandarv:
(a) 2 n 1  a 2 n 1 ;
Näiteks:
(12) 2  122  144;
(10)3  103  1000;
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Astme omadusi (II)
3. Arvu “null” saab astendada vaid positiivse arvuga. Tulemuseks
on alati null:
0 r  0,
kui r  0.
4. Kui astme aluseks on 1, siis on astendamise tulemus ka alati 1:
1r  1.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Tehted astmetega (I)
1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel tuleb astendajad liita:
a r  a s  a rs
Näited
23  22  232  25
3x 4  5x3  3  5  x 4  x3  15  x 43  15x 7
101 10  101 101  1011  100  1
2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel korrutatakse alused:
a r  b r  ( a  b) r
Näited
22  32  (2  3) 2  62  36
52  42  (5  4) 2
1
1
.
 2
20
400
algusesse
1
2
1
2
1
2
x  y  (xy ) 
xy
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Tehted astmetega (II)
3. Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse:
ar
r s

a
as
Näited
24 63
x  4x 3
24 x 6 : (6 x 3 ) 
6
3
(
a

b
)
( a  b)
2

(
a

b
)

( a  b)1
a b
3
4. Võrdsete astendajatega astmete jagamisel alused jagatakse:
ar  a 
 
r
b
b
r
Näited
3 3
 48   3
3
3
48 : 16   
3  27;
 16 
1
3
216
63
6
3
 0,216.
(0,6)    

3
1000
10
 10 
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Tehted astmetega (III)
5. Astme astendamisel astendajad korrutatakse:
( a r ) s  a r s
Näited
(x )  x ;
6 3
18
2
(9 )

1
4
9

1
2

1
9
n
a
a

 
 
b
b
( 1)(  n )
1  n
 a  
   
 b  
1
2
1 1


9 3
1 n
 1 :  a  
 b 
n
b
  .
a
Murru astendamisel võib vahetada lugeja ja nimetaja kohad, muutes
astendaja märgi vastupidiseks.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Juure omadused (I)
Juure omadused ja juure leidmise eeskirjad tulenevad arvu astmete
leidmise eeskirjadest, sest juurimine on seotud astendamisega valemi
n
abil.
aa
1
n
1. Igast mittenegatiivsest arvust saab leida n-nda juure. See juur on
alati mittenegatiivne.
Näited
5
32  2  0;
3
1  1  0;
0  0  0;
1  1.
2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt.
Näited
paarisarv
paaritu arv
 16,
4
3
1
- selliseid reaalarve ei ole.
 8  2.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Juure omadused (II)
3. Igal negatiivsel arvul on paarituarvulise juurija korral parajasti üks
juur, mis on samuti negatiivne.
Näited
4. Alati
5
n
 32  2  0;
00
n
ja
3
 0,001  0,1  0;
103
 1  1  0.
1 1 .
5. Kui astendada mingit reaalarvu paarisarvuga 2n ja seejärel võtta
tulemusest sama järku juur, siis saame tulemuseks esialgse arvu
absoluutväärtuse:
2n
Näited
6
a 2 n | a | .
3  3 | 3 |;
6
(0,1) 2  0,1 | 0,1 | .
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Juure omadused (III)
6. Kui astendada mingit reaalarvu paaritu arvuga 2n + 1 ja seejärel
võtta tulemusest sama järku juur, siis saame tulemuseks esialgse
arvu:
2 n 1 2 n 1
a
 a.
Näited
11
(10)11  11;
3
43  4.
7. Kui juurida reaalarvu a mingi juurijaga n ja astendada tulemust
sama juurijaga, siis saame tulemuseks esialgse arvu:
 a
n
Näited
 5
4
4
 5;
n
 a.
 1 2   1
3
3
2.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Tehted juurtega (I)
1. Võrdsete juurijatega juurte korrutamisel korrutatakse juuritavad:
n
a  n b  n a  b.
3  75  3  75  225  15.
Näited
3
3  3 5  3 4  3 3  5  4  3 60.
x  y  x 2  xy  y 2 
 x  y   x 2  xy  y 2   x3  y 3 .
2. Võrdsete juurijatega juurte jagamisel jagatakse juuritavad:
n
n
Näited
a n a

.
b
b
1000 : 10  1000 : 10  100  10.
a 3 : a  a 3 : a  a 2 | a | .
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Tehted juurtega (II)
3. Juure astendamisel astendatakse juuritav:
 a
m
n
Näited
 a
3
 a ;
3
 4
2
4
 n am .

4
42 
4
16  2 .
4. Juure juurimisel korrutatakse juurijad:
m n
Näited
3 4
5
a  mn a.
6  12 6;
1024 
52
1024 
10
1024  2 .
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Tehted juurtega (III)
5. Juure taandamise ja laiendamise valem:
kn
a km  n a m .
Astme juurimisel võib astendajat ja juurijat jagada või korrutada
ühe ja sama nullist erineva arvuga.
Näited
2)
1)
4
6
a2 
6/2
3
a 2 / 2  a;
23  221  22  21 
64  4 26  4 / 2 26 / 2 
22  21 
 22  2  2 2.
3)
4)
2  22 212 
x 3 x 
23
4
4.
x13 32 x12 
6
x 3 6 x 2 
6
x3  x 2 
algusesse
6
x 3 2 
eelmine slaid
6
x5 .
esitluse lõpp