Transcript Näide

Murd- ja juurvõrrand
© T. Lepikult, 2010
Murdvõrrandi definitsioon
Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru
nimetajas.
Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule
f ( x)
0
g ( x)
Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand
f ( x)  0,
mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et
muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x)  0,
siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on
esialgse võrrandi lahendeiks või mitte.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Murdvõrrandi lahendamine
Näide
Lahendada võrrand
x2  x 2x

20
x 3 x 3
Lahendus
Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele
murrujoonele:
x 2  x  2 x  2( x  3)
x2  x  6
0 
0
x 3
x 3
Saadud ruutvõrrandi lahendid on: x1  2,
 x2  x  6  0
x2  3.
Neist x1  2 on esialgse võrrandi lahend, x2  3 on aga võõrlahend
(nimetaja on x = 3 korral null).
Vastus. Võrrandi lahendiks on x = –2.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Juurvõrrandi definitsioon ja lahendamine
Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb juuritavas.
Näited
x 2  1 on juurvõrrandid, kuid
Võrrandid 4 x  1  4 x  8 ja
võrrand x 7  2  3 ei ole juurvõrrand.
Juurvõrrandi lahendamiseks astendatakse enne sobivalt teisendatud
võrrandi mõlemat poolt ühe ja sama astendajaga.
Lahendamisel saadud muutuja väärtusi tuleb tingimata esialgse
võrrandi abil kontrollida, sest võrrandi mõlema poole astendamisel
paarisarvuga on võimalus võõrlahendite tekkimiseks.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Näiteid juurvõrrandi lahendamisest
Näide 1
(1)
Lahendame võrrandi
x 2  3.
Lahendus
Kuna
x 2  | x |, (vt. juure omadusi, 5. omadus),
siis on lahendatav võrrand samaväärne võrrandiga
| x |  3,
mille lahendid on arvu absoluutväärtuse definitsiooni kohaselt
x1  3 ja
x2  3.
Kontrollimisel selgub, et mõlemad lahendid (x = 3 ja x = -3) sobivad.
Vastus. Võrrandi lahendid on x1  3 ja
algusesse
x2  3.
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Näiteid juurvõrrandi lahendamisest
Näide 2
(2)
Lahendame võrrandi
x  2  x  4.
Lahendus
Viime kõik liikmed peale juure võrrandi paremale poolele. Saame
samaväärse võrrandi
x  2  4  x.
Tõstes viimase võrrandi mõlemad pooled ruutu, saame ruutvõrrandi:
x  2  (4  x) 2 .
Kahe arvu vahe ruudu valemi põhjal asendame selle võrrandi parema
poole hulkliikmega 16 – 8x + x2:
x  2  16  8x  x 2 .
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Näiteid juurvõrrandi lahendamisest
Näide 2 (järg)
(3)
x  2  16  8x  x 2 .
Saadud ruutvõrrandi kõik liikmed viime võrrandi vasakule poolele:
x  2  16  8 x  x 2  0,
koondame sarnased liikmed:
 x 2  9 x 18  0
ja korrutame viimatisaadud võrrandi mõlemad pooled arvuga –1:
x 2  9 x  18  0.
Lahendame saadud ruutvõrrandi:
 (9)  (9) 2  4 118 9  3
x1 

 6,
2 1
2
 (9)  (9) 2  4 118 9  3
x2 

 3.
2 1
2
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Näiteid juurvõrrandi lahendamisest
(4)
Näide 2 (järg)
Kontrollime saadud “lahendikandidaate”, asetades nende väärtused
tundmatu x asemele esialgses võrrandis x  2  x  4 :
1)
6  2  6  2  6  8  4.
Lahendikandidaat x = 6 ei sobi, sest esialgse võrrandi vasak pool ei
ole sel korral võrdne parema poolega.
2)
3  2  3  1  3  4.
Lahendikandidaat x = 3 sobib lahendiks, sest esialgse võrrandi vasak
pool võrdub sel korral parema poolega.
Vastus. Võrrandi lahend on x  3.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Näiteid juurvõrrandi lahendamisest
Näide 3
(5)
Lahendame võrrandi
x  4  9  x  1  0.
Lahendus
Võrdusmärgist vasakule poole jätame esimese juuravaldise, ülejäänud
liikmed viime vastandmärkidega võrrandi paremale poolele.
Tulemusena saame samaväärse võrrandi
x  4  9  x  1.
Tõstame selle võrrandi mõlemad pooled ruutu:

x  4    9  x  1 .
2
2
(1)
Kuna  a   a , (vt. juure omadusi, 7. omadus), siis saame võrrandi (1)
vasakul poolel :
2
 x  4   x  4.
2
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Näiteid juurvõrrandi lahendamisest
(6)
Näide 3 (järg)
Võrrandi (1) parema poole teisendamisel kasutame esmalt kahe arvu
vahe ruudu valemit (valem (2) arvutamise abivalemitest):
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ,
seetõttu

9  x  1   9  x   2 9  x  1  10  x  2 9  x.
2
2
Võrrandist (1) järeldub seega võrrand
x  4  10  x  2 9  x.
Selles võrrandis viime paremalt poolt võrdusmärki kõik liikmed peale
juuravaldise vastandmärkidega vasakule ja koondame sarnased liikmed:
x  4  10  x  2 9  x  2 x  6  2 9  x  3  x  9  x.
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Näiteid juurvõrrandi lahendamisest
(7)
3 x  9  x
Näide 3 (järg)
(2)
Tõstame nüüd võrrandi (2) vasaku ja parema poole ruutu, saades
tulemuseks:
Juure 7. omaduse ja kahe arvu vahe ruudu valemi tõttu
3  x    9  x 
2

2
 9  6x  x2  9  x
x 2  5x  0

 x( x  5)  0.
Kuna viimases võrrandis korrutis võrdub nulliga, siis vähemalt üks
teguritest peab olema null.
Sellest tingimusest saamegi esialgse võrrandi lahendikandidaadid:
x  0,
1)
x  5  0  x  5.
2)
algusesse
eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
Näiteid juurvõrrandi lahendamisest
(8)
Näide 3 (järg)
Lahendikandidaatideks saime: 1) x = 0
ja 2) x = 5.
Kontrollime saadud “lahendikandidaate”, asetades nende väärtused
tundmatu x asemele esialgses võrrandis
x  4  9  x  1  0.
1)
0  4  9  0  1  2  3  1  0.
(esimene lahendikandidaat sobib)
2) 5  4  9  5  1  3  2  1  2  0
(teine lahendikandidaat ei sobi)
Vastus. Võrrandi lahend on x  0.
algusesse
eelmine slaid esitluse lõpp