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PROPRIETES DE LA TURBULENCE Production d'une gamme d'échelles caractère universel Cascade de Richardson U L Re>>1 Temps nécessaire pour "se casser" en tourbillons plus petits : L/U = (L2/)/Re L, U Temps nécessaire pour dissiper son énergie par diffusion moléculaire : L2/ Dissipation visqueuse Puissance injectée dans l'écoulement est entièrement déterminée par les premières étapes qui sont indépendantes de la viscosité La puissance moyenne injectée par la grande échelle dans la cascade par unité de masse: Pour une turbulence statistiquement stationnaire en énergie : La puissance dissipée par unité de masse <> ne dépend pas de la viscosité. Dépendance avec la viscosité Couple adimensionné (U et ) Base de la théorie de A. Kolmogorov ISOTROPIE : il existe une échelle <L à partir de laquelle, les mouvements ont oublié le contexte inhomogène et anisotrope par lequel la turbulence a été produite. à cette échelle , le nombre de Reynolds est 1, est l'échelle de dissipation visqueuse H1 H2 Interprétation à la Richardson =LRe-3/4 Profondeur de la gamme d'échelles : L/ Contenu spectral de l'énergie cinétique en échelles spatiales Succès de la théorie Pour tout Re, l'échelle de dissipation est bien donnée par Profondeur de la gamme d'échelles : L/ =LRe-3/4 Problématiques de la turbulence • Coût du calcul pour la résolution numérique des équations de NS. Profondeur de la gamme d'échelles : L/ ~Re3/4 Nombre de points de maillage : Nombre de pas de temps : Voiture, train, avion, turbulence atmosphérique : Re>>106 D'où l'idée de modéliser la cascade sans avoir à résoudre toutes les échelles... Décomposition en : • un champ moyen caractéristique du forçage • un champ fluctuant caractéristique de la cascade Décomposition de Reynolds Idée : moyennage des équations de Navier Stokes Moyenne d'ensemble : On répète N fois la même expérience, et on moyenne les N réalisations qui ont été obtenues au bout du temps t. Moyenne temporelle : Ergodicité si les deux moyennes coïncident. Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement Visualisation U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement Champ de vitesse + Vorticité U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement Champ de vitesse + Vorticité U Moyenne temporelle : u ( x, t ) U ( x ) Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Moyenne d'ensemble : u ( x, t1 ) U ( x, t1 ) Axiomes (importants pour pratiquer le moyennage des équations de NS) Pour toutes prises de moyennes (ensemble ou temporelle) : Equations de Reynolds Décomposition (moyenne temporelle) : Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes Pour le champ moyen : accélération contrainte isotrope de pression moyenne contrainte visqueuse moyenne contrainte turbulente moyenne Contraintes de Reynolds Les contraintes de Reynolds sont des contraintes de l'objet : "écoulement moyen" Pour l'écoulement instantanné, les seules contraintes sont celles liées à la pression et à la viscosité (NavierStokes) Bilan d'énergie cinétique L'énergie cinétique par unité de volume : En intégrant sur tout l'écoulement Equation de l'écoulement fluctuant Bilan d'énergie cinétique fluctuante L'énergie cinétique fluctuante par unité de volume : Redistribue Production Chaleur Turbulence stationnaire en énergie, et isotrope : "Boîte de l'ingénieur" Ecoulement moyen modèle pour les contraintes de Reynolds Modèle de viscosité turbulente pour des écoulements autosimilaires "Boîte du Physicien" Cascade turbulente Formation des petites structures à partir de Navier Stokes et densité spectrale d'énergie. Bilan d'énergie cinétique L'énergie cinétique par unité de volume : En turbulence la viscosité n'est plus une grandeur pertinente pour l'écoulement moyen (Premières étapes de la cascade de Richardson). En intégrant sur tout l'écoulement Puissance transférée à l'agitation turbulente = Puissance dissipée pour l'écoulement moyen Propriétés des deux champs liées à l'incompressibilité Le champ moyen est incompressible Propriétés des deux champs liées à l'incompressibilité puisque : Le champ fluctuant est aussi incompressible La composante i de l'équation de Navier Stokes : avec Equation de l'écoulement moyen Faisons apparaitre les contraintes de l'écoulement moyen Rappel pour les contraintes visqueuses ' d'un écoulement Newtonien : Pour l'écoulement moyen, elles sont : Force visqueuse moyenne :