Transcript Turbomachines : calcul des écoulements compressibles

Turbomachines : calcul
des écoulements compressibles
par
Georges MEAUZÉ
Coordinateur Turbomachines à l’ONERA
1.
1.1
1.2
Aspect tridimensionnel de l’écoulement ..........................................
Approche quasi 3D ......................................................................................
1.1.1 Écoulement méridien .........................................................................
1.1.2 Écoulement aube à aube....................................................................
Approche 3D complète................................................................................
2.
2.1
2.2
Aspect visqueux de l’écoulement .......................................................
Calcul stationnaire visqueux d’une roue isolée ........................................
Calcul stationnaire visqueux d’un étage....................................................
—
—
—
10
11
12
3.
Aspect instationnaire de l’écoulement..............................................
—
13
4.
Conclusion .................................................................................................
—
14
Annexe 1 — Rappel des relations monodimensionnelles
fondamentales dans les machines tournantes adiabatiques ...............
Conservation de la rothalpie ...............................................................................
Théorème d’Euler .................................................................................................
Équations générales monodimensionnelles ......................................................
a) Variation de la température d’arrêt........................................................
b) conservation en débit .............................................................................
c) Détermination de l’écoulement en une section quelconque 2
—
—
—
—
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—
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15
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16
16
Annexe 2 — Équations d’un écoulement axisymétrique giratoire,
visqueux et instationnaire..............................................................................
Équation de continuité .........................................................................................
Équation de quantité de mouvement .................................................................
Équation d’énergie ...............................................................................................
—
—
—
—
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17
17
17
Annexe 3 — Rappel des équations de Navier-Stokes
Bilan de masse ou équation de continuité .........................................................
Bilan de quantité de mouvement ........................................................................
Bilan d’énergie ou principe de conservation de l’énergie ................................
Équations de Navier-Stokes dans un repère en rotation uniforme..................
Expression des équations de Navier-Stokes en 2,5D ........................................
—
—
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19
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B 4 181
11 - 1995
Pour en savoir plus...........................................................................................
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9
Doc. B 4 181
ette synthèse concerne les méthodes permettant une simulation
numérique du comportement des écoulements qui traversent une turbomachine (parties fixes et mobiles des compresseurs et turbines axiales et centrifuges). Seul l’aspect aérodynamique sera étudié à l’exclusion de tout
phénomène réactif. Il convient également de préciser que :
— seuls les fluides compressibles monophasiques (gaz) sont ici considérés ;
— les applications envisagées font intervenir la compressibilité du fluide
excluant ainsi les régimes à basse vitesse ;
— les méthodes de calcul appropriées, les plus avancées, sont surtout développées dans le domaine aéronautique.
C
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B 4 181 − 1
TURBOMACHINES : CALCUL DES ÉCOULEMENTS COMPRESSIBLES
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L’écoulement dans une turbomachine est caractérisé par quatre aspects
essentiels qui sont : la tridimensionnalité, la viscosité, l’instationnarité (même
en régime stationnaire) et les transferts thermiques.
Si les deux premiers apparaissent naturellement, le troisième est à prendre
en compte dès que l’on s’intéresse au défilement d’une ou de plusieurs roues
mobiles par rapport à une ou plusieurs roues fixes, configurations plus courantes que celle qui consiste à étudier une roue mobile isolée. L’instationnarité
peut également être due à des problèmes de distorsion ou d’hétérogénéités
intrinsèques. En outre, tous les régimes transitoires sont également source
d’effets instationnaires.
La prise en compte des transferts thermiques est indispensable pour déterminer les caractéristiques mécaniques des divers éléments fixes ou mobiles,
compresseurs, turbines, disques, carters, et par conséquent leur durée de vie,
mais aussi pour prévoir leur encombrement géométrique et maîtriser les divers
jeux. Deux domaines particuliers d’application de l’aérothermique sont spécifiques aux turbomachines. Tout d’abord, il s’agit de l’écoulement dit interne qui
concerne les cavités interdisques, ainsi que les canaux de refroidissement à
l’intérieur des aubages de turbines fixes et mobiles. Les géométries réelles sont
complexes avec des discontinuités volontaires afin d’améliorer les échanges
convectifs. Enfin, le calcul de l’écoulement dit externe autour des aubages doit
prendre en compte la présence des débits de refroidissement qui sortent de
l’aubage soit par des fentes, surtout au bord de fuite, soit par des multiperforations. Il en est de même sur les carters internes et/ou externes. La complexité
de l’écoulement est ainsi accrue et ces effets doivent être pris en compte dans
le calcul aérodynamique général.
Il est clair qu’il sera impossible avant longtemps de prendre rigoureusement
en compte tous ces aspects simultanément dans le calcul d’une machine
complète, en particulier pour deux raisons essentielles :
— la première est liée à la capacité de la mémoire et aux temps de calcul
nécessaires, qui sont incompatibles, dans le cadre d’une utilisation fréquente,
avec les ordinateurs les plus performants actuellement sur le marché ;
— la seconde, plus cruciale, résulte du constat que tous les schémas de turbulence actuellement proposés, et qui sont indispensables à la résolution des
équations de Navier-Stokes en régime turbulent, ne rendent pas compte avec
une précision suffisante de la réalité physique, même pour des applications
relativement simples.
Cela étant, il est nécessaire de poursuivre les recherches dans le domaine
afin d’accroître l’efficacité des codes de calcul, notamment par la mise au point
de schémas qui permettent une meilleure prise en compte des phénomènes
physiques, associés si possible à une réduction sensible des temps d’occupation des ordinateurs.
Face aux problèmes soulevés par la détermination de ces écoulements tridimensionnels, visqueux et instationnaires, de nombreuses approches ont été
entreprises ; elles font appel à des modélisations et à des simplifications
variées qui sont développées ci-après.
Bien que les hypothèses simplificatrices ne soient pas toujours indépendantes, elles vont être analysées séparément pour les différents aspects
évoqués ci-dessus.
L’approche la plus simplifiée correspond à la théorie monodimensionnelle
fondée sur le théorème d’Euler. Rappelée en Annexe 1, elle porte sur les caractéristiques moyennes de l’écoulement : pression, température, rendement, etc.
Il s’agit plus précisément des moyennes azimutales et radiales qui sont
considérées sur la surface axisymétrique moyenne entre le moyeu et le carter.
Cette approche est amplement développée dans le chapitre Théorie générale
des turbomachines [B 4 400] de ce traité.
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Nous nous attacherons dans ce chapitre à développer les deux autres voies
restituant l’aspect tridimensionnel :
— la méthode approchée, classique et d’utilisation courante, ou approche
quasi 3D (§ 1.1) ;
— le calcul plus précis ou approche 3D complète (§ 1.2), beaucoup plus
récent et lié à l’emploi d’ordinateurs de plus en plus performants.
La première partie du développement concernera l’aspect tridimensionnel
seul (§ 1), auquel sera ajoutée la prise en compte de la viscosité et des transferts thermiques par la résolution des équations de Navier-Stokes (§ 2), puis
l’instationnarité (§ 3).
Le tableau suivant regroupe et définit toutes les notations et tous les symboles
utilisés dans les formules de ce chapitre.
Notations et Symboles
Symboles
Désignation
E
J
H
M
N
R
T
U
V
W
a
b
cp
cV
f
h
m
p
r
rm
énergie totale
rothalpie
enthalpie d’arrêt
nombre de Mach
nombre d’aubes
constante molaire des gaz
température
vitesse tangentielle
vitesse absolue
vitesse relative
vitesse du son
épaisseur d’une nappe de courant méridienne
capacité thermique massique à pression constante
capacité thermique massique à volume constant
force
enthalpie
abscisse curviligne méridienne
pression
rayon
rayon de courbure méridien
t
β
temps
arctan (V t /V z)
γ
(= cp /cv ) rapport des capacités thermiques
massiques
ω
ϕ
ψ
µ
ρ
∆β
τ
vitesse de rotation
pente méridienne
fonction de courant
viscosité dynamique
masse volumique
écart sur l’incidence moyenne de l’écoulement
contrainte
Indices
m : méridien
r : radiale
z : axiale
θ : tangentielle (giratoire ou azimutale)
i : condition d’arrêt isentropique locale
t : turbulent
1. Aspect tridimensionnel
de l’écoulement
Avant tout, l’écoulement est considéré comme stationnaire ; cela
ne veut pas dire que les effets instationnaires sont négligés ou qu’ils
ne sont pas étudiés, mais cela signifie que la conception et la définition des composants d’une turbomachine sont faites à l’aide de
calculs stationnaires, quitte à vérifier a posteriori les effets d’une
instationnarité.
1.1 Approche quasi 3D
Hormis l’approche réellement tridimensionnelle étudiée au
paragraphe 1.2, le calcul de l’écoulement dans un ou plusieurs étages ne peut être abordé que par l’intermédiaire du concept d’écoulement moyen élaboré par Lorenz [1], repris et considérablement
développé par Wu [2].
Rappelons que ce schéma d’écoulement moyen (figure 1), à
l’origine du développement de nombreuses méthodes de calcul,
consiste à admettre que, si le nombre d’aubes est suffisamment
élevé, l’écoulement demeure en moyenne axisymétrique à la traversée des diverses roues dont l’action peut être simulée par un
champ de forces volumiques. Une justification mathématique et
rationnelle a été proposée par Guiraud et Zeytounian [3]. Le calcul
de cet écoulement moyen, dit également méridien, qui est mathématiquement bidimensionnel, permet de déterminer, d’une part, la
géométrie des nappes de c-ourant de révolution à travers toute la
machine considérée et, d’autre part, les évolutions radiales des
caractéristiques moyennes du fluide de part et d’autre des roues.
Les diverses coupes résultant de l’intersection de ces nappes avec
les roues conduisent alors au concept de grilles d’aubes et rendent
possible le calcul aube à aube, à caractère bidimensionnel sur une
nappe de courant donnée (figure 1). En toute rigueur, ce dernier
calcul n’est possible, dans une approche stationnaire, que pour
une roue isolée. L’empilement de ces diverses coupes représente
une description quasi tridimensionnelle de l’écoulement.
Le rappel de ces considérations permet de distinguer et de classer les méthodes dont nous proposons la synthèse ci-après.
L’aspect mathématique et le principe de calcul des diverses
méthodes ne sont rappelés que très brièvement. En revanche,
l’accent est davantage mis sur les domaines d’application, les limitations, les avantages et les inconvénients.
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Dans le cas d’une roue où l’écoulement relatif amont reste
supersonique sur toute l’envergure de l’aube, le même principe
s’applique et il n’y a en particulier aucune dépendance de l’aval sur
l’amont, bien que les vitesses méridiennes restent subsoniques.
Dans le cas d’une roue transsonique, telle que la vitesse relative
soit supersonique en tête mais subsonique au moyeu, le phénomène est plus complexe ; l’interdépendance amont-aval a lieu sur
la portion subsonique de l’écoulement, tant que n’apparaissent pas
des blocages soniques.
La validité des diverses méthodes tombe en principe en défaut
pour de telles configurations supersoniques. Mais la prise en
compte du principe d’incidence unique pour chaque coupe peut être
faite bien que délicate. Il reste le calcul tridimensionnel exact pour
résoudre le problème (§ 1.2).
Avant d’aborder la description des méthodes de calcul, il convient
de rappeler que leur finalité est la détermination de la géométrie des
nappes de courant, c’est-à-dire leur position radiale (r, z ) et leur
épaisseur b le long de la méridienne, qui servira de base aux calculs
de l’écoulement aube à aube (m, θ ).
Mais la forme de ces nappes dépend étroitement de l’état du
fluide et par conséquent des pertes qui apparaissent à la traversée
des roues successives. Une utilisation correcte du calcul de l’écoulement méridien nécessite impérativement une prise en compte de
ces pertes, qui est obtenue en général par l’emploi de lois empiriques que l’on peut facilement inclure dans les codes de calcul.
1.1.1.1 Calcul de l’équilibre radial
D’une façon générale, l’écoulement méridien est toujours subsonique, mais la vitesse relative peut dans certains cas être légèrement supersonique. Certaines méthodes peuvent même
admettre, dans leur principe, des vitesses relatives franchement
supersoniques. Mais il faut alors devenir très prudent quant à l’interprétation et à la validité des résultats. En effet, dans le cas de
vitesses relatives supersoniques, intervient un phénomène qui n’est
pas a priori pris en compte dans ces méthodes : il s’agit de l’extension à une roue mobile du principe de l’incidence unique [4] et qui
a deux conséquences principales :
— l’écoulement à l’amont de la roue est indépendant de l’aval si,
d’une part, les aubes sont suffisamment rapprochées pour que les
surfaces caractéristiques montantes sur lesquelles se propagent
les perturbations ne traversent pas la roue et si, d’autre part,
l’écoulement dans un canal interaube est amorcé ;
— pour une vitesse de rotation donnée, l’incidence de l’écoulement amont pour un nombre de Mach donné et son débit ne
dépendent que de la géométrie de la roue et non plus d’une
condition imposée à l’aval.
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2
dV
1 ∂p V
----- ------- = ------θ- – ----------r
ρ ∂r
r
dt
Les termes dus à la conicité et à la courbure des filets fluides
sont mis en évidence de la façon suivante.
Appelons V m la projection de la vitesse V dans le plan méridien
et ϕ l’angle de V m avec V z · rm est le rayon de courbure de la projection méridienne du filet de courant. Il vient alors :
V r = V m sin ϕ
ce qui donne en dérivant :
avec :
dV m
dV r
dϕ
---------- = ------------ sin ϕ + V m cos ϕ ------dt
dt
dt
d ϕ dm V m
dϕ
------- = ----------- ⋅ --------- = -------dm dt
dt
rm
d’où la nouvelle forme de l’équilibre radial :
1 ∂p
----- ------- =
ρ ∂r
2
V
------θr
giration
2
d Vm
Vm
--------- cos ϕ
– ----------d r sin ϕ – r m





L’écoulement étudié est considéré comme permanent quel
que soit le repère, ignorant les perturbations instationnaires
induites par une roue sur son environnement. Une simplification largement utilisée de cet écoulement est obtenue par le
concept de l’équilibre radial, détaillé ci-après.
Dans le cas d’un écoulement axisymétrique, l’équation dans le
sens radial, écrite en coordonnées cylindriques sans prendre en
compte les termes de frottement, s’écrit pour un écoulement
permanent :





1.1.1 Écoulement méridien



Figure 1 – Schématisation de l’écoulement selon les deux concepts :
écoulement méridien et écoulement aube à aube
L’équilibre radial constitue l’approche la plus simplifiée de
l’écoulement méridien ; il consiste à se donner a priori la
conicité et la courbure des filets fluides. Sa description sera
plus détaillée que les méthodes de calcul plus générales car il
constitue un outil très précieux et facile à mettre en œuvre.
conicité
courbure
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Si l’on néglige les deux derniers termes, on obtient l’expression
la plus simplifiée, dite équilibre radial simplifié, qui peut être intégrée analytiquement dans des cas simples.
Exemples d’application de l’équilibre radial simplifié
■ Cas d’un compresseur à travail constant
Considérons un compresseur constitué par une roue axiale animée
d’une vitesse de rotation ω constante dans une canalisation à section
constante et alimentée par un écoulement axial uniforme subsonique
(sans giration).
On souhaite obtenir à la sortie du ventilateur un écoulement ayant
une enthalpie totale constante, c’est-à-dire indépendante du rayon. Si
l’on admet que la variation d’enthalpie est isentropique ou bien que
le rendement isentropique (< 1) reste le même pour chaque coupe et
donc indépendant du rayon, il en résulte que la pression d’arrêt isentropique à la sortie est constante.
Le théorème d’Euler permet d’écrire : ∆ H i = ω r V θ (Annexe 1 ). On
en déduit que, à la sortie de la roue, l’écoulement absolu comporte
une composante giratoire variable en fonction du rayon : V θ = ∆ H i /ω r.
En dehors du voisinage immédiat de la roue et compte tenu de la
forme de la veine, les termes de conicité et de courbure peuvent être
négligés. L’équilibre radial en aval de la roue s’écrit alors :
■ Cas d’un distributeur de turbine avec un angle
de sortie β constant
Considérons un distributeur (fixe) de turbine dans une canalisation
à section constante et alimenté par un écoulement uniforme.
On suppose que la géométrie des aubages est telle que l’angle β
de l’écoulement à la sortie est constant et que les pertes restent très
faibles de sorte que la pression d’arrêt à la sortie est constante. Il en
résulte que : V θ = V sin β .
En négligeant les termes de courbure et de conicité, il vient :
2
et avec l’hypothèse d’isentropicité :
2
d’où :
L’écoulement est alors entièrement déterminé.
2
2
Compte tenu de l’hypothèse d’isentropicité, on a :
pour chaque filet de courant
2
Vm d Vm Vθ d V
V
VdV
– ----------- = – -------------------- – ---------------θ- = ------θ
dr
dr
dr
r
soit :
2
m
–γ
------------
γ – 1 2 γ–1
p
----- =  1 + ------------ M 


2
pi
La composante axiale de la vitesse reste donc constante. Il est alors
aisé de déterminer tout l’écoulement par :
2
2
2
Wθ = Vθ – ω r
sin β = V θ ⁄ V
et
tan β rel
2
γ–1
2
= ( V ⁄ a i ) 1 –  ------------
 2 
V 2
 -- ai 
2
avec a i = (γ – 1) H i
puis
Mz
avec tan β ϕ = tan β cos ϕ
M = -------------------------------cos ϕ cos β ϕ
Si l’on suppose connues les lois de conicité ϕ (r ) et de courbure
rm(r ) dans un plan z = Cte donné, l’équation ci-dessus peut s’intégrer en distinguant les différents cas suivants.
■ Cas où les conditions d’arrêt locales, p i (r ) et Ti (r ), ainsi que la
giration β (r ) sont connues dans le plan z considéré : c’est le cas
général à l’entrée d’une première roue.
L’équation précédente est de la forme générale :
W
= -------θVm
H i étant connu, le nombre de Mach est aisément déterminé par :
M
2
2
dtan ϕ M z ( 1 – M z )
+M z tan ϕ ----------------- – -------------------------------3
dr
cos ϕ r
On rappelle en outre les relations suivantes :
dV m
---------- = 0
dr
V = Vm+Vθ
2
2
M z  dp

2 M z tan β
2 tan ϕ
 1 – ---------------- -------------- = ( 1 – M z ) ------------------------- + M z --------------2
γ
p
d
r
r
r

cos ϕ 
Vθ
dV θ
ωrV
Or --------------θ- = Cte entraîne ---------- = – -----r
dr
∆H i
d’où :
2
V sin β
2 dr
V dV
dV
------------ = – --------------------- soit ------- = – sin β ----r
r
dr
V
r
2
V
In ------ = – sin β In ---r0
V0
Pour les applications numériques, il est commode d’écrire
l’équation précédente en faisant apparaître la composante axiale
du nombre de Mach :
2
1 d p ( ∆ Hi ⁄ ω )
----- ------- = ------------------------3
ρ dr
r
dp
------- + V dV = 0
ρ
2
V sin β
dp
----------- = --------------------ρ dr
r
–γ
-----------2 γ – 1
γ –1
p ⁄ p i =  1 + ------------ M


2
–1
dp
------- = f [ p, r, ϕ ( r ), r m ( r ), β ( r ), p i ( r )]
dr
qui se réduit à :
dp
------- = f ( p, r )
dr
On utilise une méthode numérique (par exemple Runge-Kutta) en
choisissant un pas dr pour une valeur donnée de la pression statique p sur une des parois ; le débit correspondant est déterminé a
posteriori. Si l’on souhaite une valeur de débit précise, il faut
reprendre le calcul en ajustant itérativement la valeur de la pression.
■ Cas où les conditions d’arrêt locales ne sont pas connues dans le
plan z considéré : c’est le cas où tout l’écoulement est entièrement
défini dans un plan z1 et où l’on souhaite calculer l’écoulement dans
un plan z2 en aval ; on suppose connues les évolutions radiales de la
conicité ϕ (r2) et de la courbure rm(r2).
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● Cas où il n’y a pas de roue entre z1 et z2
Entre les plans z1 et z2 , on a la relation :
r 1 V θ1 = r 2 V θ2
(conservation de la quantité de mouvement tangentielle)
soit :
γ RT i2





r 2 M θ2
r 1 M z1 tanβ 1 γ RT i1
T2
------- (M )
T i2 2





T1
------- (M ) =
T i1 1
r 1 M θ1 γ RT i1
Θ ( M 1 ) = r 2 M z2 tan β 2 γ RT i2 Θ ( M 2 )
Par ailleurs, la conservation du débit permet d’écrire :
p 1 cos β 1 r 1 dr 1
p 2 cos β 2 r 2 dr 2
--------- -------------------------------- = --------- -------------------------------Σ ( M2 )
(
)
Σ
M
T1
T2
1
Σ (M ) fonction reliant le rapport de la section droite du tube
de courant considéré à la section critique locale
(Annexe 1).
L’expression ci-dessus est de la forme :
avec
dr 2
--------- = g [r 2 , β 2 , p 2 , p i2 , T i2]
dr 1
sachant que M2 est lié au rapport p2 /p2i .
L’équation d’équilibre radial peut se mettre sous la forme :
dr 2
dp 2
---------- = --------- f [ p 2 , r 2 , ϕ ( r 2 ) , r m ( r 2 ) , β 2 , p i2 ]
dr 1
dr 1
Ces deux équations différentielles s’intègrent par une méthode
numérique (par exemple, une méthode de Runge-Kutta du 4e ordre).
On procède de la façon suivante : on se donne un pas dr 1 dans
le plan z1 . On choisit une valeur initiale de la pression p 2 sur l’une
des parois dans le plan z2 . L’intégration permet de déterminer
l’évolution conjointe de la pression p 2 et du rayon r 2 . En fin de calcul, la valeur de r 2 ne correspond pas en général à la géométrie
donnée. Il est alors nécessaire de faire une itération sur la valeur
p 2 pour obtenir la coïncidence du rayon en fin d’intégration avec
la géométrie donnée. On peut noter que ce procédé de calcul associe les rayons r 2 aux rayons r 1 sur une même surface de courant.
● Cas où il y a une roue fixe ou mobile entre z1 et z 2
Deux modes de calcul sont à considérer :
— le mode direct, pour lequel on connaît la géométrie des
aubages et en particulier l’angle relatif de sortie β 2 (r 2). Les deux
équations différentielles précédentes restent identiques mais la
relation correspondant à la conservation de la quantité de mouvement est remplacée par la conservation de la rothalpie J :
2
2 2
2
2 2
W ω r
W ω r
J = H 1 + --------1 – -----------1- = H 2 + --------2 – ------------22
2
2
2
dans l’écoulement relatif.
Le détail du calcul intermédiaire des différents paramètres de
l’écoulement entre les plans z 1 et z 2 pour chaque nappe de courant
fait l’objet de l’Annexe 1. De même, la prise en compte de pertes
peut se faire par l’intermédiaire de lois empiriques associant les
pressions d’arrêt de l’écoulement relatif dans les plans z 1 et z 2 pour
chaque rayon homologue. Le résultat final du calcul donne l’évolution radiale de la pression d’arrêt et de l’enthalpie d’arrêt dans le
repère absolu.
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Le cas de la roue fixe est obtenu pour ω = 0 ;
— le mode inverse, qui consiste à déterminer la géométrie des
aubages pour obtenir une évolution radiale donnée de l’enthalpie
ou de la pression d’arrêt dans le repère absolu. En réalité, dans
cette approche simplifiée, le calcul ne donne que l’angle de sortie
dans le repère relatif β 2 que doit fournir la roue.
1.1.1.2 Calcul de l’écoulement méridien
Diverses méthodes de calcul existent ou peuvent être
envisagées ; citons les deux plus connues.
■ Méthode des courbures
À partir de l’approche simplifiée basée sur l’équilibre radial
décrite au paragraphe 1.1.1.1, on calcule n plans successifs comme
précédemment à partir d’une loi arbitraire ϕ (r ) et r m(r ) en chaque
plan. On détermine ensuite les lignes de courant en joignant les
points homologues. On calcule les pentes et les courbures locales
et on recommence jusqu’à convergence (un lissage des courbures
est nécessaire).
Cette méthode est l’une des premières à avoir été programmée
[5]. Elle est encore très utilisée chez certains industriels.
■ Méthode matricielle
L’écoulement méridien est déterminé par la connaissance des
cinq variables scalaires suivantes : la masse volumique, la pression
statique et les trois composantes du vecteur vitesse. Ces grandeurs
sont indépendantes de la variable azimutale et leur ensemble est
solution d’un système d’équations obtenu à partir des équations
d’Euler complètes en faisant tendre le pas angulaire de l’aubage
vers zéro. La théorie mathématique exige en outre que l’encombrement axial d’une roue et la distance séparant deux roues
consécutives restent de l’ordre de grandeur du diamètre de la
machine, ce qui est rarement le cas.
La résolution numérique de ce système par la méthode dite matricielle [6] – ce terme consacré par l’usage est cependant peu caractéristique de la méthode – consiste à introduire une fonction de
courant méridienne déterminant les deux composantes méridiennes de la quantité de mouvement et une fonction circulation
égale au produit du rayon par la composante azimutale de la
vitesse, et à mettre en œuvre un procédé itératif permettant de
découpler artificiellement les différentes équations obtenues. On
peut noter qu’en général la masse volumique et la pression statique
peuvent être éliminées à l’aide de la relation de Bernoulli généralisée et par la condition d’isentropicité (éventuellement remplacée
par une loi de pertes).
À chaque étape du procédé itératif, la fonction de courant méridienne est la solution d’une équation aux dérivées partielles du
second ordre de type elliptique lorsque l’écoulement méridien est
subsonique. Après discrétisation par un schéma aux différences
finies, la résolution numérique de cette équation conduit à l’inversion d’une matrice, de façon à calculer les dérivées partielles des
fonctions, d’où le nom de la méthode.
Quant à la fonction circulation, elle est déterminée par une relation finie (condition de glissement) à l’intérieur de la roue et est
constante le long d’une ligne de courant dans les espaces interroues. Les conditions aux limites associées à ces équations font
intervenir des conditions de raccord déduites de la théorie asymptotique [3], en accord avec celles proposées par Fabri et Siestrunck
[7] qui reposent sur une analyse plus physique.
À l’entrée des roues, la continuité de la fonction de courant (ou
continuité de débit) et celle de la vitesse projetée sur la ligne de bord
d’attaque sont imposées ; en revanche, les dérivées premières de
la fonction circulation sont généralement discontinues.
À la sortie des roues, outre la conservation du débit, on impose
celle des grandeurs aérodynamiques le long de la trace méridienne
du bord de fuite.
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Dans les plans à l’infini amont et à l’infini aval, une équation de
quantité de mouvement projetée normalement à la direction générale de l’écoulement est appliquée mais, de façon générale, la loi
d’équilibre est fonction de la géométrie étudiée ; cela suppose que
l’entrée et la sortie de la machine sont précédées ou suivies d’un
canal à section constante s’il est axial ou à largeur constante s’il est
radial.
Un tel calcul d’écoulement peut s’appliquer au compresseur centrifuge, à une turbine centripète ou dans un étage d’une turbomachine axiale ou hélicocentrifuge, voire dans un canal de retour.
Le maillage déterminant les points de calcul dans le champ méridien, qui peut comprendre un distributeur, une roue mobile (avec
éventuellement des rangées d’aubes intercalaires) et un diffuseur
ou redresseur, est réalisé de façon à inclure les traces méridiennes
supposées rectilignes des bords d’attaque et de fuite des roues successives qui servent de colonnes particulières à partir desquelles les
autres sont engendrées. La figure 2 schématise un exemple de
découpage obtenu dans le cas des compresseurs centrifuges.
1.1.2 Écoulement aube à aube
D’une façon générale, les méthodes de calcul sont appliquées à
un écoulement permanent (m, θ ) dans un repère relatif à une roue
isolée définie entre deux surfaces de révolution infiniment voisines,
de rayon et d’épaisseur variables, dont la géométrie est connue
pour un écoulement méridien (figure 1).
On peut signaler le cas particulier d’une configuration 2D strictement bidimensionnelle du type grille d’aubes, l’écoulement étant
plan avec deux coordonnées spatiales x et y (au lieu de m, θ ) ou
strictement radiale avec des coordonnées polaires r et θ . De nombreuses méthodes appliquées en aérodynamique bidimensionnelle
sont utilisables, mais non détaillées dans ce chapitre.
Une telle approche est évidemment très facile et fréquemment
utilisée mais elle est peu réaliste et ne doit être appliquée qu’à des
cas très limités. Toutefois, son utilité s’explique par le fait que :
— il s’agit souvent d’une étape utile avant l’élaboration de cas
plus compliqués, en particulier au niveau des méthodes de calcul ;
— les calculs 2D sont souvent suffisants pour analyser l’influence
de certains paramètres comme par exemple le pas relatif, la répartition de la courbure du squelette, la répartition de la loi d’épaisseur,
etc. ;
— la conception de profils de base est souvent effectuée en 2D.
Nous distinguerons les méthodes directes, qui déterminent
toutes les caractéristiques de l’écoulement pour une roue à géométrie donnée, des méthodes inverses, destinées à la restitution de
la géométrie d’une roue correspondant à une répartition de vitesse
ou de pression souhaitée sur le profil.
1.1.2.1 Méthodes directes
Figure 2 – Découpage du champ méridien obtenu
dans le cas d’un compresseur centrifuge
Les lois de pertes incluses dans le programme de calcul peuvent
être très diverses, par exemple :
— une force dissipative due au frottement est prise en compte à
l’intérieur des roues avec un coefficient de frottement supposé
constant ;
— une perte due à une éventuelle désadaptation à l’entrée des
roues entraîne une dissipation d’énergie locale proportionnelle au
carré de l’écart des vitesses tangentielles.
On convient de noter que ces lois de pertes sont propres à chaque
constructeur, qu’elles concentrent une grande partie de leur savoirfaire et que leur domaine de validité est restreint aux configurations
voisines de celles pour lesquelles elles ont été élaborées.
Un grand nombre de publications portent sur le sujet, dont l’une
en fait la synthèse [25]. Signalons que le développement d’un nouveau code de calcul méridien, résolvant les équations générales
d’un écoulement Navier-Stokes axisymétrique, giratoire, visqueux
et instationnaire, rappelées en Annexe 2, pourrait avantageusement
être fait à partir d’une méthode de type instationnaire (2D aube à
aube ou 3D complète).
Toutes les méthodes présentées utilisent des équations discrétisées, nécessitant un maillage approprié du domaine de calcul.
Cela peut entraîner, a priori, un manque de précision dans les
régions où les gradients de vitesse sont très élevés et la densité du
maillage insuffisante.
La périodicité de l’écoulement relatif, permanent sur une telle
surface de révolution, permet le calcul de l’écoulement dans un
seul canal interroue selon les schémas de la figure 3. La figure 3a
montre un maillage simple de type monodomaine. G indique la
condition de glissement imposée sur l’extrados d’une aube et
l’intrados de l’aube adjacente qui forment le canal ; P désigne la
condition de périodicité qui est appliquée sur les frontières supérieure et inférieure en amont et en aval des aubes. La figure 3b
montre un maillage de type multidomaine où les lignes de périodicité sont choisies dans le canal interroue. Ce choix permet une
description plus fine des régions de bord d’attaque et de bord de
fuite.
Les limites amont et aval du domaine de calcul sont à distance
finie de la roue mais prises suffisamment éloignées pour qu’il n’y
ait plus d’influence des aubes sur l’écoulement local, en particulier
où le gradient de pression statique est pratiquement nul.
Les conditions aérodynamiques imposées sur ces frontières
extrêmes dépendent à la fois de la nature de l’écoulement et de la
méthode de calcul choisie.
Il existe des méthodes de calcul très précises (en particulier bord
d’attaque et bord de fuite), telles que la méthode de singularités,
mais leur domaine d’application est restreint aux écoulements subsoniques, stationnaires et strictement bidimensionnels. Elles ne
sont plus guère développées et ne sont pas explicitées ci-après.
■ Méthode matricielle
Il s’agit de la méthode développée par Katsanis [8]. Cette méthode
est mondialement connue mais de moins en moins utilisée ; cependant, il peut être utile de rappeler brièvement ses caractéristiques.
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tion), ce qui présente des inconvénients pour la précision des
résultats, par suite des nombreuses interpolations nécessaires
pour obtenir les grandeurs aérodynamiques sur les aubes.
Le nombre de Mach et l’incidence de l’écoulement sont fixés sur
la frontière amont ; les profils étudiés sont censés comporter un
bord de fuite arrondi, ce qui entraîne la nécessité d’imposer la circulation du fluide. Cela est réalisé en fixant arbitrairement une
direction moyenne de l’écoulement dans un plan de sortie des
aubes.
Par suite de la nature des équations utilisées, le calcul est strictement limité au domaine subsonique. Cependant, au voisinage des
conditions critiques, il existe une difficulté dans la détermination de
la vitesse à partir du produit pV. En effet, la résolution itérative de
cette équation implicite tombe en défaut ; il est nécessaire de recourir à un développement limité près des conditions soniques.
■ Méthode par « éléments finis »
Cette méthode est fondée sur l’utilisation de principes variationnels pour des écoulements de fluides parfaits et sur leur
approximation par la méthode des éléments finis. Cette méthode
n’a pas donné lieu à des développements ni à des utilisations
industrielles dans le domaine aéronautique.
■ Méthode instationnaire
Il s’agit d’obtenir l’écoulement stationnaire comme solution
limite, pour des temps élevés, des équations instationnaires d’Euler
déduites des équations de Navier-Stokes (Annexe 3) dans lesquelles
sont supprimés les termes visqueux. Le caractère instationnaire de
ces équations apparaît donc comme un artifice de calcul destiné à
les rendre de type hyperbolique quel que soit le nombre de Mach
local, ce qui n’est pas le cas de l’équation de la fonction de courant.
Un seul schéma de discrétisation est ainsi utilisé dans tout le
domaine de calcul, et il n’y a plus aucune limitation pour les
configurations d’écoulement qui peuvent être mixtes, c’est-à-dire
comporter des zones subsoniques et supersoniques avec la présence éventuelle d’ondes de choc intenses. Divers algorithmes
numériques sont utilisés pour l’intégration numérique des
équations : citons le schéma explicite de type prédicteur-correcteur,
précis au second ordre, proposé par Mac Cormack [9], le schéma
de Lax-Wendroff ou celui de Runge-Kutta d’ordre 2, 3, 4, etc.
La convergence du calcul nécessite l’introduction d’une pseudoviscosité.
Remarque : afin de réduire les temps de calcul dont l’importance constitue l’inconvénient majeur de cette méthode, certaines variantes ne comportent pas l’intégration de
l’équation de l’énergie. On considère que l’enthalpie, ou plus généralement la rothalpie
en écoulement relatif, est uniforme et indépendante du temps, ce qui est compatible avec
l’écoulement stationnaire recherché. Cela justifie l’appellation pseudo-instationnaire pour
ces variantes.
Figure 3 – Maillages de types mono (a ) et multidomaine (b )
Le calcul numérique intègre l’équation différentielle du second
ordre sur la fonction de courant Ψ par une méthode de différences
finies :
2
2
1 ∂ ψ ∂ ψ
1 ∂ ρ ∂ψ
2b ρω
sin ϕ 1 ∂ ( b ρ ) ∂ ψ
-----2- ---------2- + ----------- – ---------- -------- -------- + ------------- – -------- --------------- ---------- = --------------- sin ϕ
2
2
V
b ρ ∂m ∂m
r
r ∂θ
∂m r ρ ∂ θ ∂ θ
bρ
∂ψ bρr
∂ψ
-------- = ---------- V m
avec
---------- = – ------- V θ et
V
V
∂θ
∂m
Le canal interroue étudié prend en compte la variation du rayon
et de l’épaisseur de la nappe de courant ; la méthode est donc applicable aux configurations axiales et centrifuges.
Le maillage utilisé est de type monodomaine. Dans la méthode
originale, il n’y a pas de points de calcul sur les profils (sauf excep-
B 4 181 − 8
Les conditions aux limites sur les frontières amont et aval peuvent
être choisies selon la nature du problème étudié, de la façon
suivante :
— sur la frontière amont, outre les conditions d’arrêt de pression
et de température, on impose une condition : en général, l’angle,
le nombre de Mach ou la composante tangentielle de la vitesse
absolue ;
— sur la frontière aval, on impose toujours une seule condition,
généralement la pression statique locale. Pour certaines applications spécifiques, il est possible de choisir un autre type de
condition aval, par exemple le débit.
Ces calculs s’appliquent sans aucune limitation tant pour la géométrie des roues sur des nappes évolutives que pour la nature de
l’écoulement (régime subsonique, transsonique ou supersonique
amorcé ou non). La figure 4 illustre les divers types d’écoulements
transsoniques rencontrés dans le cas des compresseurs et turbines.
De plus, on peut noter que seuls les cas où la vitesse axiale reste
subsonique sont envisagés ; les écoulements dans les aubes avec
un nombre de Mach axial supersonique ne posent aucune difficulté
de calcul mais ne sont pas utilisés à l’heure actuelle.
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1.1.2.2 Méthodes inverses
La recherche d’optimisation de certaines performances peut être
facilitée par l’utilisation du mode inverse. Malheureusement, le calcul conduit fréquemment à des formes d’aubes totalement irréalistes. Il est alors nécessaire d’effectuer un nombre important de
calculs de façon à aboutir à un compromis satisfaisant, ce qui diminue l’avantage par rapport à l’emploi systématique de calculs en
mode direct. En réalité, il est judicieux de s’inspirer des résultats
d’un calcul direct appliqué à une géométrie réaliste et de
considérer la méthode inverse comme une méthode corrective.
À titre historique, signalons la méthode hodographique [13]. Elle
n’est valable que pour un écoulement subsonique strictement bidimensionnel. Elle présente l’avantage d’être très rapide et précise,
mais ne permet pas de s’approcher finement d’une répartition de
pression souhaitée sur le profil.
La méthode pseudo-instationnaire a été adaptée en mode inverse
au cas de roues planes dans un premier temps [14] et étendue
ensuite au cas général d’une nappe à rayon et épaisseur variables
d’aubes en rotation. Le principe de la méthode consiste à remplacer
la condition de glissement sur le profil par une condition de pression donnée ; le calcul de la direction locale de l’écoulement permet
alors de construire la ligne de courant pariétale. Le processus qui
nécessite une redéfinition du maillage est effectué à chaque itération jusqu’à convergence. Le calcul peut être de type mixte et non
strictement inverse, c’est-à-dire que l’on peut choisir des caractéristiques géométriques de la roue, par exemple imposer une variation d’épaisseur, ou bien une partie ou la totalité de l’extrados ou
de l’intrados. Il existe de nombreuses publications sur le sujet [15].
1.2 Approche 3D complète
Figure 4 – Écoulements transsoniques dans les compresseurs
et turbines avec les tracés d’isobares pour chacun d’eux calculés
en approche quasi 3D
Ces diverses configurations d’écoulement sont illustrées par les
tracés d’isobares reportés sur la figure 4. On peut noter que les
ondes de choc n’apparaissent pas comme des discontinuités mais
sont un peu étalées, ce qui constitue un inconvénient du calcul.
La viscosité de l’écoulement n’étant pas prise en compte, le
domaine d’application de cette méthode est restreint aux
configurations où cette viscosité ne provoque pas d’effet important
comme par exemple l’apparition d’une zone décollée.
La validation générale de la méthode a été effectuée dans le cas
des roues planes, soit par comparaison avec un autre calcul, soit
par confrontation avec l’expérience [10] [11] [12].
La confrontation dans le cas où il existe des chocs intenses est
illusoire, car ces chocs provoquent des décollements importants de
la couche limite sur les parois qui bouleversent tout l’écoulement ;
la prise en compte de ces phénomènes visqueux devient
indispensable (§ 2).
L’approche quasi 3D (§ 1.1) est bien adaptée et suffisante pour de
nombreuses applications. Cependant, si l’on veut réellement optimiser une machine en cherchant des performances très élevées, il
est nécessaire de déterminer de plus en plus finement l’écoulement
pour connaître d’abord tous les phénomènes qui se produisent et
ensuite améliorer le comportement du fluide en tout point. L’étape
directement 3D devient alors indispensable.
L’aspect réellement 3D de l’écoulement provient essentiellement
du gauchissement des nappes de courant dans les roues sous l’effet
des gradients de pression radiaux qui varient azimutalement par
suite de la charge des aubes. Il en résulte une évolution azimutale
non négligeable de la pente méridienne de l’écoulement, qui est
totalement ignorée dans l’approche quasi 3D. Cet effet est d’autant
plus important que les aubes sont chargées (figure 1). La prise en
compte rigoureuse de ces phénomènes dans une machine complète
(multi-étage) nécessite de ne pas éliminer les effets 3D issus des
roues précédentes et, par conséquent, d’utiliser une approche
nécessairement instationnaire. Ainsi, un calcul 3D stationnaire n’est
envisageable en toute rigueur que pour une roue isolée.
Il est bien entendu toujours possible d’établir un écoulement
méridien après chaque roue, ce qui supprime automatiquement
l’aspect 3D évoqué ci-dessus mais rend la solution stationnaire.
Cependant un tel calcul, dans une approche non visqueuse, n’est
pas réaliste.
Des codes de calcul 3D Euler existent actuellement [16] [17]. Pratiquement, tous sont fondés sur la résolution des équations d’Euler
3D instationnaires déduites des équations de Navier-Stokes
(Annexe 3) dans lesquelles sont supprimés les termes visqueux.
Leur emploi, qui nécessite des ordinateurs puissants, commence à
être répandu. Un exemple concernant une roue de compresseur
est donné sur la figure 5.
Il est bien évident que ces calculs, utilisés seuls, ne peuvent pas
permettre la prédiction de la performance d’un élément de
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Figure 5 – Écoulement dans une roue de compresseur,
calculé en approche 3D complète : champ d’isobares
machine ; leur emploi reste cependant justifié pour les raisons
suivantes :
— ils peuvent être associés à des calculs appropriés pour les
zones visqueuses (méthodes de couplage) ;
— la conception ou l’optimisation d’une géométrie peut être
faite en fluide parfait lorsque l’on cherche par exemple à réduire
les gradients de vitesse. Cela a été effectué avec succès dans de
nombreux cas ; les calculs en mode inverse sont d’ailleurs toujours
exécutés sans viscosité ;
— étant beaucoup plus rapides et moins coûteuses que des calculs en fluide visqueux, les méthodes d’Euler 2D ou 3D rendent de
grands services quand on veut analyser un phénomène particulier.
2. Aspect visqueux
de l’écoulement
La viscosité joue naturellement un rôle primordial dans une turbomachine puisqu’elle est la source principale de pertes. Ces pertes
sont usuellement classées en trois catégories :
— les pertes de profil, liées au développement des couches visqueuses sur les aubes et les sillages qu’elles créent, qui sont
d’autant plus cisaillés que l’effet de gauchissement tridimensionnel
rappelé précédemment est important ;
— les pertes secondaires, qui apparaissent aux confins des aubes
et qui donnent naissance à d’importants tourbillons, par suite de la
déviation de l’écoulement visqueux sur le moyeu et le carter. Il faut
ici noter que l’apparition des tourbillons principaux n’est pas un
phénomène purement visqueux mais qu’elle résulte du profil hétérogène des vitesses à l’entrée de la roue. Des calculs non visqueux
montrent bien qualitativement ce comportement ;
— les pertes liées à la présence inévitable du jeu qui existe entre
l’extrémité des roues, surtout mobiles, et le carter.
Ces comportements tourbillonnaires, qui contaminent très vite
l’ensemble de l’écoulement, renforcent évidemment son caractère
tridimensionnel. La figure 6, présentée dans de nombreuses publications, schématise ces effets visqueux.
La prise en compte de la viscosité est évidemment souhaitable
et même indispensable si l’on considère l’écoulement issu d’une
roue et rentrant dans la roue suivante car le changement de référentiel amplifie considérablement son action. En effet, à la sortie
B 4 181 − 10
Figure 6 – Schéma des phénomènes visqueux dans une roue
de compresseur ou de turbine (NASA, Lewis Research Center)
d’une roue, la différence entre un calcul en fluide parfait et un calcul en fluide visqueux a deux conséquences principales :
— la vitesse est plus élevée en fluide visqueux suite à l’effet de
striction de la veine, résultant des couches limites sur les aubes ;
— la déviation de l’écoulement est plus faible en fluide visqueux
par suite du développement plus important de la couche limite sur
l’extrados.
Quand cette différence est combinée avec la vitesse de rotation
par le changement de référentiel, il apparaît un écart non négligeable sur l’incidence moyenne de l’écoulement à l’entrée de la
roue suivante. La figure 7 illustre cet effet dans le cas d’une roue
mobile de compresseur suivie d’un redresseur fixe. Cet écart ∆ β,
qui peut atteindre plusieurs degrés pour une configuration courante, est du même niveau que la plage de bon fonctionnement de
la roue en question. Cela montre qu’il est impératif de prendre en
compte d’une façon ou d’une autre et même, approximativement,
les effets visqueux.
Une prise en compte rigoureuse et précise de la viscosité du
fluide est illusoire à moyen terme ; il faudrait faire absolument intervenir tous les phénomènes dont une part importante n’est pas
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développement. En France, c’est surtout à l’ONERA que sont faits
les travaux dans ce domaine [20].
Figure 7 – Effet de la viscosité sur le triangle de vitesses
à la sortie d’une roue de compresseur suivie d’un redresseur
encore bien maîtrisée, comme ceux liés au comportement turbulent
du fluide. Des hypothèses simplificatrices sont donc nécessaires et
différentes approches utilisées.
Des méthodes simplifiées faisant appel par exemple au concept
de la couche limite et aux techniques de couplage ont été développées pour des applications aube à aube pour une roue isolée
mais il n’est pas évident qu’elles soient bien adaptées aux calculs
de plusieurs roues, surtout en 3D.
La prise en compte rigoureuse de la viscosité étant impossible
avant longtemps, il est nécessaire de faire appel à la modélisation
qui consiste à résoudre des équations de Navier-Stokes moyennées
associées à un modèle de turbulence ; l’Annexe 3 contient les diverses formes des équations de Navier-Stokes moyennées en 3D et
aube à aube. Il faut néanmoins rappeler qu’une telle méthode est
loin de représenter correctement la réalité dans un cas général ; la
validité des modèles existants n’est pas démontrée surtout si l’on
considère les effets de la rotation, de la tridimensionnalité et de
l’instationnarité de l’écoulement. En outre, il reste les problèmes liés
à l’existence de zones de transition et la prédiction des transferts
thermiquess n’est pas encore satisfaisante.
De toute façon, il convient d’être réaliste et ne pas croire que tous
les problèmes sont résolus quand on dispose de méthodes sophistiquées Navier-Stokes 3D.
Il faut également mentionner le problème de la validation des
codes qui est très important ; il est indispensable de concevoir des
expériences appropriées pour cette validation. La réalisation de
telles expériences sur une configuration 2D transsonique ou supersonique est pratiquement impossible. Il est plus réaliste d’effectuer
des validations directement en 3D.
2.1 Calcul stationnaire visqueux
d’une roue isolée
Il faut avant tout noter que l’approche aube à aube pose certains
problèmes quand on considère la prise en compte de la viscosité.
En effet, si le caractère bidimensionnel apparaît clairement dans
l’approche Euler quand on admet l’hypothèse d’axisymétrie de
l’écoulement dans les équations 3D Euler, il n’en est pas de même
avec les équations de Navier-Stokes et des hypothèses simplificatrices sont aussi nécessaires lorsque l’on étudie le comportement
transversal des effets visqueux.
Le développement des méthodes utilisées pour les calculs aussi
bien aube à aube que 3D Euler ou Navier-Stokes pour les roues de
compresseurs ou de turbines donne lieu à une activité très soutenue
aux États-Unis, en Europe et au Japon. Leurs caractéristiques évoluent assez vite. Deux documents [18] [19] présentent une bonne
synthèse des méthodes actuellement appliquées ou en voie de
Les principales caractéristiques des méthodes utilisées sont les
suivantes :
— une approche multidomaine avec des mailles structurées
(i, j, k ) se recouvrant ou non ;
— des schémas centrés en espace avec des techniques d’accélération de convergence de type multigrille ou lissage implicite des
résidus ;
— un traitement des conditions limites, basé sur les relations
caractéristiques.
Les versions actuelles utilisent des schémas de type LaxWendroff-Ni et, plus récemment, de type Runge-Kutta associés à
une discrétisation spatiale centrée dans les approches cell-vertex
ou cell-centered . Ces schémas sont associés à des méthodes
d’accélération de convergence de type implicite ou multigrille qui
donnent de bien meilleures performances avec un schéma de
Runge-Kutta à 4 pas, explicité ci-après.
Dans l’espace relatif en rotation uniforme autour de l’axe x, les
équations de Navier-Stokes ( Annexe 3 ) s’écrivent sous forme
condensée :
∂f
------ + div ( F – F v ) = S
∂t
avec
f
F
Fv
= fonction des variables (ρ, ρW x , ρW y , ρW z , ρ E ),
densité de flux correspondant aux termes convectifs,
densité de flux correspondant aux termes visqueux,
S terme-source lié à la rotation du repère relatif de la roue.
La solution en un point P au temps t n + 1 = t n + ∆t dérive de la
valeur f n au temps t n :
f n + ak = f n – a k ∆ t [ div ( F n + ak – 1 – F v, n ) – S n + ak – 1 ]
pour chaque pas k (k = 1 à 4), avec les coefficients a 1 = 0,25 ;
a2 = 0,33333 ; a3 = 0,5 et a4 = 1.
Ce schéma reste du deuxième ordre en temps dans les zones de
fluide parfait. Le terme de divergence est donné par la valeur du
flux à travers le volume de contrôle situé autour du point P,
c’est-à-dire la cellule du maillage décalé entourant le point P.
Pour des raisons de coût, les contraintes visqueuses et les flux
thermiques ne sont calculés qu’une seule fois à chaque itération.
Les points fictifs sont utilisés pour le calcul aux points frontières.
Les valeurs schémas aux points fictifs sont déterminées à l’aide
d’une extrapolation à l’ordre zéro des valeurs aux points frontières.
Cette méthode nécessite l’adjonction d’une dissipation artificielle
en raison de son caractère non dissipatif au sens de Kreiss. Par
conséquent, la méthode comporte un lissage du quatrième ordre
ainsi qu’une dissipation du second ordre pour capter les ondes de
choc correctement.
Le terme de viscosité artificielle D appliqué à chaque pas est analogue à celui proposé par Jameson et al. [21] avec un traitement
numérique de bord introduit par Eriksson. Ce terme prend la forme
suivante :
∆t
D ( f n ) = ------------ [ D 2 ( ε 2, f n ) + D 4 ( ε 4, f n ) ]
γ (ω)
Les coefficients ε 2 et ε 4 dépendent de la géométrie et d’un paramètre γ (ω ) évaluant l’intensité de certains gradients (par exemple,
pression et vitesse).
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Le pas de temps local ∆t utilisé pour l’intégration en temps est
déterminé à partir du critère de stabilité CFL de type fluide parfait
et du critère de limitation de type fluide visqueux :
2
h
ρh
∆t = η ⋅ min ----------------- , ------------------------------------------W + a 2 γ µ ( Pr + µ t ) Pr t
avec
Pr
a
nombre de Prandtl,
vitesse du son,
h
grandeur caractéristique de la taille de maille permettant d’évaluer la dimension du domaine de dépendance
numérique de la maille,
η coefficient de pas de temps par rapport au critère CFL.
Une phase implicite est appliquée à chaque pas ; elle est fondée
sur celle proposée par Lerat et al. [22], et communément appelée
lissage implicite des résidus . Cette phase implicite préserve
l’approche centrée en espace, les propriétés conservatoires, la précision ainsi que le caractère dissipatif ou non de la phase explicite.
Pour la résolution d’écoulements stationnaires, cette méthode
implicite permet d’utiliser des pas de temps dix fois supérieurs à
ceux permis par l’utilisation de la phase explicite.
Concernant le traitement des conditions limites, les raccords
entre sous-domaines et les conditions limites physiques sont effectués à chaque itération après le schéma numérique pour corriger
la valeur schéma. Le raccord entre les sous-domaines est assuré par
une moyenne arithmétique des valeurs schémas de chaque sousdomaine. Il est important de mentionner que ce traitement pour des
points coïncidents entre sous-domaines permet d’obtenir la même
discrétisation en espace pour les points frontières et pour les points
intérieurs. Pour les points frontières autres que les frontières de raccord, le traitement des conditions limites est basé sur l’utilisation
des relations caractéristiques comme celles proposées par Viviand
et Veuillot [11].
Des applications typiques sont illustrées par les figures 8, 9 et 10.
Figure 9 – Champ d’entropie sur les aubes d’une roue
de compresseur avec prise en compte du jeu en bout de pale
(visualisation en 3D)
Figure 10 – Visualisation des tourbillons en bout de pale
sur les aubes de turbine (visualisation en 3D)
2.2 Calcul stationnaire visqueux
d’un étage
Figure 8 – Champ d’isoMach sur une coupe de tête de compresseur
transsonique (visualisation en 2D)
La proximité des roues fait que leurs interactions réciproques ne
sont pas du tout négligeables et le calcul de l’ensemble des roues
est nécessaire. L’approche stationnaire pose cependant des difficultés.
Considérons le cas le plus simple de deux roues proches l’une de
l’autre. Deux solutions peuvent être envisagées si l’on veut négliger
les effets instationnaires : les deux roues sont calculées indépendamment l’une de l’autre ou bien on effectue le calcul de l’étage
complet avec une interface entre les roues sur laquelle les conditions
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moyennes sont définies le plus judicieusement possible. Cette
homogénéisation élimine l’effet instationnaire de défilement des
roues. Dans les deux cas, on peut admettre que l’écoulement reste
en moyenne périodique sur chaque aube et n’effectuer ainsi le calcul
que dans un seul canal pour chaque roue, mais apparaît le problème
de déterminer un écoulement méridien entre les deux roues pour le
cas 2D ou une évolution radiale moyenne pour le cas 3D.
Si la solution retenue consiste à calculer chaque roue de façon
isolée, le domaine de calcul doit être nécessairement étendu de
part et d’autre de la roue de façon à minimiser l’influence des frontières sur lesquelles sont appliquées les conditions aux limites.
Toutefois, ces conditions doivent être ajustées de façon à reproduire l’écoulement méridien défini entre les roues. On peut noter
que si les deux solutions peuvent être équivalentes dans le cas
aube à aube, cela n’est pas vrai en 3D complet où il est impossible
d’obtenir pour les deux solutions une même évolution radiale de
l’écoulement méridien entre les deux roues.
Si l’on effectue le calcul simultané des deux roues, la condition
limite moyenne, qui est nécessairement appliquée entre les deux
roues, peut conduire à certaines difficultés. Par exemple, le fait
d’imposer une condition moyenne très près de l’aube peut être
incompatible avec la solution physique. Cela arrive en particulier
lorsqu’il y a des ondes de choc qui se propagent entre les roues.
De plus, dans le cas 3D, le fait de réuniformiser l’écoulement à
l’entrée de la deuxième roue supprime tout à fait le comportement
3D de l’écoulement entre les roues.
Ces remarques conduisent à penser que, dans une approche 3D
complète, il ne convient pas d’analyser une roue d’un étage de
compresseur ou de turbine de façon isolée. La solution qui
consiste à calculer simultanément les deux roues et qui tient
compte en principe de leur interaction réciproque semble préférable.
Cependant, les études dans ce domaine qui reste d’avant-garde
ne sont pas encore suffisantes pour savoir si cette modélisation liée
à une hypothèse de stationnarité a ou non une influence sur la solution moyenne. Il semblerait que, si l’on ne s’intéresse qu’à l’évolution radiale de moyenne azimutale, l’approche stationnaire donne
des résultats tout à fait comparables à ceux obtenus par un calcul
3D instationnaire, les grandeurs comparées provenant d’une
moyenne temporelle (sur une période), puis spatiale (en azimut).
3. Aspect instationnaire
de l’écoulement
Cet aspect est primordial dans une turbomachine. Outre le cas
d’un régime transitoire et celui d’une distorison à l’entrée du
moteur, le comportement vibratoire des aubes et l’interaction entre
roues fixes et mobiles génèrent des phénomènes hautement instationnaires. Seule la soufflante d’un réacteur à grand taux de dilution
peut être considérée comme stationnaire à condition que l’on se
place dans le repère tournant et que le régime soit établi et sans
distorsion ni phénomène aéroélastique. Il convient de souligner que
l’interaction instationnaire rotor-stator n’est pas encore prise en
compte explicitement au niveau des méthodes de conception ; c’est
l’expérience et le savoir-faire du concepteur qui, grâce à l’application de règles empiriques, évitent des effets néfastes.
Cependant, si l’on veut prendre en compte cette interaction rotorstator, on peut faire les remarques suivantes :
— si une condition limite ou si la vitesse de rotation évolue, on
est en présence d’un régime transitoire ; en revanche, si toutes ces
conditions restent constantes, la solution est périodique ;
— le fait de considérer au moins deux roues a une autre
conséquence très importante : alors que, dans le cas d’une roue
isolée, on peut considérer que l’écoulement est périodique dans
chaque canal et mettre à profit cette propriété pour n’effectuer le
calcul que dans un seul canal, il n’en est plus de même quand on
considère deux roues qui presque toujours n’ont pas le même
nombre d’aubes. Il devient alors nécessaire d’effectuer le calcul
dans plusieurs canaux pour chaque roue. Si les nombres d’aubes
sont premiers entre eux, la totalité des canaux doit normalement
être prise en compte. Cela alourdit considérablement les calculs et
peut même exclure une solution rigoureuse, du moins pour
quelque temps.
Dans le cas d’une roue isolée, à vitesse de rotation constante,
soumise à une hétérogénéité périodique, ou bien dans le cas d’un
étage avec des conditions amont et aval stationnaires, il existe une
solution rigoureuse qui consiste à employer la technique de la
périodicité spatio-temporelle [23]. Cette solution est également utilisée pour les calculs d’aéroélasticité.
Malheureusement, cette méthode n’est pas applicable dans le
cas général et il est alors nécessaire de prendre en compte tous les
canaux des différentes roues pour obtenir une solution exacte.
Comme cela a été analysé en détail dans [24], une approche
consiste à effectuer le calcul instationnaire dans un nombre restreint
d’aubes N 1 pour la première roue et N 2 pour la seconde, de façon
que le rapport N 1 /N 2 soit le plus proche possible de la réalité. La
périodicité est alors appliquée tous les N 1 canaux pour la première
roue et tous les N 2 canaux pour la seconde. Il reste cependant un
problème au niveau de l’interface entre les deux roues. En effet, il
est nécessaire de conserver le pas relatif propre à chaque roue de
façon à garder un niveau correct des efforts. En realité, on montre
même qu’il est nécessaire en 3D de garder la géométrie exacte des
roues. Les secteurs angulaires calculés correspondant aux deux
roues sont alors voisins mais pas rigoureusement identiques.
Une hypothèse simplificatrice supplémentaire est alors nécessaire. Nous admettons, pour chaque rayon de l’interface, que le
gradient des différentes grandeurs aérodynamiques reste azimutalement proportionnel au secteur angulaire du domaine considéré.
Il n’y a aucune justification physique à cette hypothèse si ce n’est
qu’elle correspond à la solution exacte quand on prend en compte
dans le calcul le vrai nombre d’aubes. Une étude systématique
effectuée en 2D, où une solution exacte peut être obtenue par la
technique spatio-temporelle évoquée ci-dessus, montre cependant
que cette simplification est satisfaisante à condition de ne pas être
exagérée en considérant par exemple un seul canal dans chaque
roue (hormis bien évidemment le cas où les nombres d’aubes sont
très voisins). Pour des applications pratiques, il suffit souvent de
considérer un canal dans une roue ou deux dans l’autre.
Nous estimons que cette approche donne une bonne approximation des effets instationnaires en ce qui concerne l’amplitude des
phénomènes, mais évidemment pas leur fréquence puisque le traitement, évoqué plus haut, introduit une pseudo-période propre à la
simplification considérée.
Le calcul instationnaire périodique de plusieurs roues successives est maintenant possible dans l’approche aube à aube de
Navier-Stokes. Un résultat est illustré sur la figure 11. Le même
calcul effectué en 3D est techniquement possible, mais les temps
de calcul sont actuellement prohibitifs si l’on veut conserver une
densité de maillage, c’est-à-dire une précision, du même niveau
que pour une roue isolée.
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B 4 181 − 13
TURBOMACHINES : CALCUL DES ÉCOULEMENTS COMPRESSIBLES
______________________________________________________________________________
■ Études amont
Dans ce cadre, les méthodes de calcul permettent d’améliorer les
performances des composants tout en limitant, voire en réduisant
les coûts et les délais de la recherche. Elles aident à :
— imaginer et concevoir des géométries et des concepts nouveaux ; dans cette optique, l’intérêt des méthodes inverses ou
semi-inverses est évident ;
— élargir le domaine exploré en minimisant les risques ;
— limiter à l’indispensable les essais de composants et de
démonstration par une utilisation intensive des outils de calcul.
Figure 11 – Champ bidimensionnel d’entropie instantanée
dans un étage de turbine transsonique
4. Conclusion
En résumant l’état de l’art des méthodes classiques utilisées
pour la conception et le développement des turbomachines, il
apparaît que les effets instationnaires d’interaction rotor-stator
ne sont pas encore pris en compte, que l’aspect réellement tridimensionnel est occulté en calcul d’étages et que la prédiction
des pertes liées à la viscosité de l’écoulement reste étroitement
liée à la modélisation de la turbulence, qui n’est pas encore
satisfaisante, en particulier pour la prédiction des échanges
thermiques.
Malgré toutes ces approximations, ces méthodes ont permis des
progrès considérables ces dernières années et elles seront encore
longtemps utilisées. Leur domaine d’application reste cependant
limité et l’obtention de gain de performances significatif, surtout
du point de vue de l’accroissement de la charge des aubes, ainsi
que l’extension du champ de fonctionnement requièrent des outils
de calcul ayant une représentativité de la réalité physique nettement plus réaliste, en s’affranchissant d’hypothèses simplificatrices. C’est précisément le but visé par le développement des
nouvelles méthodes de calcul en cours de mise au point ou en gestation, leur utilisation étant maintenant envisageable industriellement grâce aux progrès des méthodes numériques et à
l’avènement d’ordinateurs très performants.
Il est clair que toute amélioration de la représentativité de la réalité physique à l’aide de simulations numériques est source de
progrès : tout d’abord, cela permet une meilleure connaisance des
phénomènes complexes qui prédominent dans une turbomachine
car, bien qu’indispensable, l’observation expérimentale reste
limitée ; en effet, elle se heurte à des difficultés importantes liées
à l’exiguïté, au niveau de température élevé, à la rotation des parties
mobiles et à l’instationnarité à haute fréquence des phénomènes.
Ensuite, l’utilisation par l’industriel de nouvelles méthodes de calcul
présente un intérêt évident pour les trois stades suivants du processus de recherche et de développement que sont les études
amont, le développement de machines nouvelles et l’amélioration
de matériels existants.
B 4 181 − 14
■ Développement de machines nouvelles
Les procédures de conception, faisant largement appel aux logiciels de dimensionnement et d’analyse validés lors de la phase
d’études amont, permettent de :
— réduire les risques techniques, les délais, et par conséquent les
coûts de développement. En effet, les sommes mises en jeu pour
cette phase sont telles qu’il est nécessaire de minimiser les aléas
dans cette période. Pour fixer les ordres de grandeur, dans la taille
des moteurs Turboméca, un développement exploratoire au niveau
d’un composant représente quelques millions de francs, le coût
d’un démonstrateur est compris entre 50 et 100 MF, le développement complet d’un moteur est de l’ordre du milliard de francs ;
— rechercher des conditions de fonctionnement aérodynamique,
thermique et mécanique de plus en plus critiques pour chaque
composant dans le souci permanent de simplifier les moteurs
(réduction du nombre de composants) et d’améliorer des performances (augmentation des taux de pression et des températures
entrée turbine) ;
— faire « bien du premier coup » ; à titre d’exemple, la marge
d’erreur est de l’ordre du pour-cent pour les performances des
composants ;
— restreindre le nombre de configurations à essayer par un choix
judicieux des divers paramètres de conception ;
— optimiser la définition de chaque composant au point nominal
et hors adaptation, aussi bien du point de vue aérodynamique que
thermique, en particulier pour les systèmes de refroidissement ;
— reduire les délais et les coûts de certification/qualification au
travers de l’agrément de conception et de la limitation du nombre
d’essais spécifiques pour vérifier les hypothèses ;
— réduire le nombre de prototypes et de machines pour le développement d’un moteur (aux alentours de 20 machines en 1975 pour
moins de 3 actuellement) ;
— optimiser les programmes d’essais (choix des zones de
mesure et sélection des configurations d’essais les plus pértinentes)
et améliorer la qualité et la rapidité de l’analyse des résultats (utilisation des mêmes codes de calcul que ceux ayant servi à la
conception).
La figure 12 montre graphiquement l’intérêt de l’apport des
méthodes de calcul, établi par Turboméca, pour les compresseurs
centrifuges.
■ Amélioration des matériels existants
Les méthodes de calcul actuellement disponibles permettent de
faire évoluer les performances des matériels existants (par exemple
la durée de vie moyenne d’un programme de turbomoteur aéronautique est de 50 ans) par :
— une évaluation précise des potentiels d’amélioration ;
— une analyse des défaillances et un diagnostic fiable ;
— une introduction de modifications avec un risque minimal.
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C’est la généralisation du cas stationnaire adiabatique pour lequel
l’enthalpie d’arrêt est conservée :
2
V
H i = h + ------2
(2)
On peut également écrire la rothalpie sous la forme :
2
U
J = H i rel – -------2
où H i rel est l’enthalpie d’arrêt relative (= h + W 2 /2) qui, dans un
repère mobile, n’est pas en général constante.
Sauf dans le cas où U = ωr ne varie pas, c’est-à-dire quand l’évolution du fluide considéré reste sur une surface à rayon constant,
l’enthalpie d’arrêt relative H i rel reste alors constante.
Théorème d’Euler
d ( H i ) = d ( UV θ )
avec
Hi
U
Vθ
Figure 12 – Évolution des performances d’une roue
de compresseur centrifuge (doc Turboméca)
(3)
enthalpie de l’écoulement absolu [relation (2)],
vitesse tangentielle (= ωr ),
composante azimutale (ou tangentielle) de la vitesse
absolue.
Ainsi, dans une roue mobile qui échange du travail avec le fluide
qui la traverse, la variation d’enthalpie absolue dépend directement de la variation de V θ (liée à la variation de quantité de mouvement azimutale) et de l’évolution du rayon (liée à l’effet
centrifuge ou centripète).
Il en résulte en particulier que :
— de part et d’autre d’une roue mobile :
Annexe 1 — Rappel
des relations
monodimensionnelles
fondamentales
∆H i = (UVθ)sortie – (UVθ)entrée
— de part et d’autre d’une roue fixe :
∆H i = 0 (ce qui est cohérent avec U = 0)
— en dehors des roues :
∆H i = 0
Dans cette annexe, nous rappelons les relations monodimensionnelles fondamentales dans les machines tournantes adiabatiques.
Équations générales
monodimensionnelles
Conservation de la rothalpie
La décomposition des diverses accélérations qui s’exercent dans
un élément de fluide en rotation et en régime permanent permet
d’aboutir à la relation suivante :
2
2
W
U
dh = – W d W + U d U = – d  -------- + d  ------- 
 2 
 2 
avec U = ωr vitesse tangentielle.
Si l’évolution est isentropique, on a en outre dp /ρ = dh.
Il en résulte que la variable :
2
(ce qui est cohérent avec la conservation de la quantité de mouvement tangentielle rVθ = Cte ).
(1)
La théorie monodimensionnelle classique, telle qu’elle est appliquée en aérodynamique interne, permet des calculs simples et très
utiles grâce à l’application des relations générales déduites des
équations de conservation du débit et des relations précédentes.
L’extension au cas d’une nappe de courant axisymétrique dans
un référentiel en rotation (figure 1 ), appliquée aux grandeurs
moyennes azimutales, peut être faite de la façon suivante.
2
W U
J = h + -------- – ------2
2
est une constante. Elle est désignée par le nom de rothalpie.
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a) Variation de la température d’arrêt
c) Détermination de l’écoulement
en une section quelconque 2
L’équation de conservation de la rothalpie J dans le repère relatif
permet d’écrire :
2 2
ω r
c p T i rel = J + -------------2
avec
T i rel température d’arrêt dans le repère relatif, par analogie
avec la température d’arrêt dans le repère absolu.
Comme la capacité thermique massique à pression constante est
liée à la constante des gaz et à l’exposant isentropique γ par
c p = γ R /(γ – 1), on obtient entre deux plans d’indices 1 et 2 :
2
2
γ RT i rel1 ω r 1 γ RT i rel2 ω r 2
--------------------- – ---------- = ---------------------- – ---------γ–1
2
γ–1
2
Nous supposerons connu l’écoulement dans le plan 1. Deux cas
sont à distinguer suivant que l’écoulement se situe à l’intérieur ou
à l’extérieur de la grille d’aubes.
■ À l’intérieur de la grille d’aubes et à la limite
dans le plan de sortie
L’angle βrel de l’écoulement relatif étant donné, le nombre de
Mach Mrel se détermine par itérations rapidement convergentes à
partir de la relation (5) si l’on connait la pression d’arrêt relative
p i rel2 .
À cet effet, il est intéressant d’utiliser le concept d’efficacité par
analogie avec les prises d’air et les diffuseurs de la façon suivante.
Si la transformation est isentropique, la pression d’arrêt est uniquement liée à la température d’arrêt par :
soit en introduisant le nombre de Mach de rotation :
et avec
γ
------------
T i rel2 γ – 1
p i rel2
-------------- =  --------------

T i rel1
p i rel1
M = ω r ⁄ γ RT
2
T
----- = Θ ( M ) = -----------------------------------2Ti
2 + ( γ – 1 )M
Il est alors possible de définir une efficacité relative :
il vient :
T i rel2
γ–1
-------------- = 1 + -----------2
T i rel1
2
2 r 2 
M 1  -----2- 
r 1 
– 1 Θ ( M rel1 )
p i rel réel en 2
- (toujours < 1)
η 12 = -----------------------------------------------------------p i rel isentropique en 2
(4)
Ainsi, si tout l’écoulement est déterminé dans un plan 1, la
relation (4) permet le calcul de la température Ti rel2 qui ne dépend
que du rayon r 2 dans le plan 2 (il est rappelé que les seules hypothèses sont un écoulement relatif permanent et adiabatique à
l’exclusion de toute hypothèse sur l’entropie).
b) Conservation en débit
Si b est la hauteur du tube de courant suivant la normale à la
surface de courant et Wm la composante méridienne de la vitesse
relative, l’équation de conservation du débit s’écrit :
On peut alors écrire :
T i rel2
Σ ( M rel2 ) = Σ ( M rel1 )  --------------
 T i rel1
γ+1
-------------------2(γ – 1)
b 2 r 2 cos β rel2
---------------------------------η
b 1 r 1 cos β rel1 12
(6)
η 12 est tout à fait caractéristique des pertes aérodynamiques
internes et peut être déterminée à partir de lois empiriques que
l’on trouve dans la littérature [4].
■ À l’extérieur de la grille d’aubes, la conservation de la rothalpie
impose rVθ = Cte, soit :
2
2
r 2 W 2 sin β rel2 = r 1 W 1 sin β rel1 + ω ( r 1 – r 2 )
ce qui, compte tenu de la relation (4), peut s’écrire :
ρWmbr = Cte
Si β rel est l’angle de la vitesse Wm avec la direction axiale sur la
surface de courant, on peut encore écrire :
ρ Wbr cos β rel = Cte
Pour les calculs numériques, il est commode de faire apparaître
la fonction Σ(M ) qui représente le rapport de la section de passage
à la section sonique correspondant aux valeurs locales de la pression d’arrêt et de la température d’arrêt, soit :
2
1 2 + ( γ – 1 )M
Σ ( M ) = -------  ------------------------------------ 

M 
γ+1
γ+1
-------------------2(γ – 1)
2
De son côté, l’équation de conservation du débit [relation (6)]
donne :
2
2
M rel2 cos β rel2
----------------------------------------------------γ+1
d’où la forme la plus pratique de l’équation de conservation du
débit :
br p i rel cos β rel
------------------------------------------- = Cte
T i rel Σ ( M rel )
2
r 

M rel1 sin β rel1 + M 1  1 – -----22-
2
2

r 1
M rel2 sin β rel2
------------------------------------------= -------------------------------------------------------------------------------= A
2
(γ – 1) 2
r
T


1 + ----------------- M rel2
γ–1 2 
2  i rel2 
2
 -----2-  --------------  1 + ------------ M rel1
2
 r 1 T i rel1
γ–1 2 
 1 + ----------- M rel2


2
-----------γ–1
2
2
M rel1 cos β rel1
r 1 b 1 2
-  ----------= ---------------------------------------------------------------γ+1

r 2 b 2
-----------– 1 2  γ – 1 η2
 1 + γ----------- M rel1
12


2
(5)
i rel1
T
------------ T i rel2
γ+1
-----------γ–1
=B
On en déduit :
2
γ–1 2
γ–1 2
M rel2 = A  1 + ------------ M rel2 + B  1 + ------------ M rel2




2
2
γ+1
-----------γ–1
(7)
que l’on résout par itération, A et B étant entièrement déterminés.
B 4 181 − 16
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Remarques :
● En dehors du voisinage immédiat des carters et moyeux, η 12
peut être considéré comme égal à 1 pour des calculs simplifiés, ce
qui revient à négliger les pertes par mélange en dehors des roues.
● Le calcul peut être fait dans le repère absolu en considérant
ω = 0 et les grandeurs absolues.
● En effectuant le calcul itératif de la façon suivante :
2
Mk + 1
γ–1 2
γ–1 2
= A  1 + ------------ M k + B  1 + ------------ M k




2
2
γ+1
-----------γ–1
la convergence est très rapide et donne la valeur correspondant à
une vitesse débitante W m subsonique.
Pour obtenir la solution supersonique, il faut effectuer le calcul
itératif suivant :
2
Mk + 1
– 1 2 
 M 2 – A  1 + γ----------- Mk


 k
2
2
= ------------  -----------------------------------------------------------
B
γ–1 



γ–1
-----------γ+1
et les équations de quantité de mouvement sont :
2
∂r ( ρ W r + p – τ rr ) ∂ ( ρ W r W z – τ rz )
∂
------ ( ρ W r ) + ----------------------------------------------- + ------------------------------------------∂t
r ∂r
∂z
p + τ θθ
= ρ F r – ----------------+ ρ f centrifuge + ρ f Coriolis
r
∂r ( ρ W r W θ – τ rθ ) ∂ ( ρ W θ W z – τ θz )
∂
------ ( ρ W θ ) + ----------------------------------------------- + -------------------------------------------∂t
r ∂r
∂z
ρ W r W θ – τ rθ
= ρ F θ – --------------------------------- + ρ f centrifuge + ρ f Coriolis
r
2
∂r ( ρ W r W z – τ rz ) ∂ ( ρ W z + p – τ zz )
∂
------ ( ρ W z ) + --------------------------------------------+ ---------------------------------------------∂t
r ∂r
∂z
= ρFz + ρfcentrifuge + ρfCoriolis
avec F
–1
somme des forces extérieures (nulle dans la plupart des
applications en pratique).
Équation d’énergie
Annexe 2 — Équations
d’un écoulement
axisymétrique giratoire,
visqueux et instationnaire
∂
∂
∂(ρE)
--------------- + ----------- ( ρ E + p ) r W r + ------ ( ρ E + p ) W z
r ∂r
∂z
∂t
∂ 
∂T 
= -----------  r W r τ rr + W θ τ rθ + W z τ rz + λ ------- 
r ∂r 
∂r 
∂T 
∂ 
+ -------  W z τ zz + W r τ rz + W θ τ zθ + λ ------- 
∂z 
∂z 
Dans un repère en rotation uniforme, pour un écoulement axisymétrique (∂ / ∂ θ = 0), les équations de Navier-Stokes sont les suivantes [J.P. Veuillot et F. Desbois, ONERA].
+ ρ F ⋅ W + ρψ R + ρ f centrifuge ⋅ W
Équation de continuité
avec
∂ ρ ∂ ( ρ rW r ) ∂ ( ρ W z )
------ + ---------------------+ -------------------- = 0
∂t
r ∂r
∂z
Équation de quantité de mouvement
Avec le tenseur des contraintes :
=
Annexe 3 — Rappel des
équations de Navier-Stokes
Se reporter au chapitre Mécanique des fluides [A 1 870] dans le
traité Sciences fondamentales.
σ = – ρ1 + τ
=
ρψR apport de chaleur exercé directement dans la masse.
=
et, avec :
Bilan de masse ou équation de continuité
∂rW ∂W
divW = --------------r + -----------z
r ∂r
∂z
l’expression du tenseur des contraintes visqueuses est la suivante :
∂W r
λ divW + 2 µ ----------∂r
τ =
=
avec
∂W W
µ  -----------θ- – -------θ-
∂r
r
∂W ∂W
µ  -----------r + -----------z
∂z
∂r
∂W W
µ  -----------θ- – -------θ-
∂r
r
Wr
λ divW + 2 µ  -------
r
∂W θ
µ  ------------
∂r
∂W ∂W
µ  -----------r + -----------z
∂z
∂r
∂W θ
µ  ------------
∂r
∂W z
λ divW + 2 µ ----------∂z
λ coefficient de conductivité thermique (coefficient de
Lamé),
Ce bilan utilise le principe de conservation de la masse m.
Ainsi :
d
------dt
Ω
dm =
Ω
∂ρ
 ----- + div ρV  d τ = 0
 ∂t

Or, cette relation est valable quelle que soit l’étendue du domaine
de fluide considéré ; en chaque point du fluide, l’équation locale suivante est donc vérifiée :
∂ρ
------ + div ρ V = 0
∂t
Cette équation, aussi appelée équation de continuité, suppose le
fluide continu.
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TURBOMACHINES : CALCUL DES ÉCOULEMENTS COMPRESSIBLES
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En coordonnées cylindriques, le vecteur vitesse a pour expression :
Ainsi, on obtient l’expression suivante de τ :
V (r, θ, z ) = Vr (r, θ, z ) e r + Vθ (r, θ, z )e θ + Vz (r, θ, z ) e z
2
+ 2µD
τ = – --- µ div V 1
=
=
=
3
et sa divergence est :
∂ ( ρ rV r ) ∂ ( ρ V θ ) ∂ ( ρ V z )
+ ------------------ + -----------------div ρ V = -------------------r ∂r
r ∂θ
∂z
L’équation de quantité de mouvement prend donc, compte tenu
des relations précédentes, la forme dite conservative (cette forme
n’est pas simplifiée à l’aide de l’équation de continuité) :
On obtient alors l’équation de continuité en coordonnées cylindriques :
∂ ( ρ Vz )
∂ ρ 1 ∂ ( ρ rV r ) ∂ ( ρ V θ )
+ ------------------ + ---------------------- + ---- --------------------=0
∂t r
∂r
∂θ
∂z
∂
------ ( ρ V ) + div ( V ⊗ ρ V – σ ) = ρ F
=
∂t
Bilan de quantité de mouvement
La variation de quantité de mouvement du domaine fluide
s’obtient en posant U ≡ V soit :
d
------dt
Vdm =
 ∂

( ρ V ) + div ( V ⊗ ρ V ) d τ =
 ----- ∂t

Ω
Ω
ρ
F dτ +
Ω
Σ
τ rr τ rθ τ rz
τ= = τ θr τ θθ τ θz
τ zr τ zθ τ zz ( O, er, eθ , ez )
De plus, on a :
∂V
---------r
∂r
∂V θ
gradV = ---------=
∂r
∂V z
--------∂r
σndS
=
Σ
σ tenseur des contraintes,
=
tel que :
σ ndS =
divσdτ
=
=
avec
Le tenseur des contraintes visqueuses se met sous la forme :
∑ Fapp
[ ⊗ produit tensoriel]
Pour déterminer la somme des forces appliquées on prend en
compte les forces externes exercées directement sur la masse de
fluide (par exemple, la force de pesanteur, les forces d’inertie, etc.)
et les forces internes qui dépendent de la nature du fluide. Ainsi,
la somme des forces appliquées sur le domaine Ω s’écrit :
∑ Fapp =
C’est à partir de cette formulation conservatrice que s’effectue le
traitement numérique des équations. En effet, c’est cette seule formulation qui permet de traduire correctement le principe de
conservation, en particulier à travers d’éventuelles discontinuités
qui peuvent apparaître dans un modèle fluide simplifié, au
moment de la discrétisation du problème.
∂V r
2 --------∂r
1 ∂V r ∂V θ V θ
D
( V ) = --- ----------- + ---------- – -----=
2 r ∂θ
∂r
r
∂V r ∂V z
--------- + --------∂z
∂r
Ω
Le tenseur des contraintes se met sous la forme σ = – p 1 + τ, si
on suppose que le fluide est newtonien. Dans cette expression, p
est la pression statique, 1 est le tenseur identité, et τ est le tenseur
des contraintes de viscosité.
τ = λ divV 1 + 2µ D
avec
D
tel que :
tenseur des taux de déformation du mouvement,
1
T
D = ---  grad V + ( gradV ) 

2
coefficient de Lamé et µ coefficient de viscosité dynamique.
De plus, si on suppose que l’hypothèse de Stokes, consistant à
admettre que les changements de volume, dilatation ou
compression, s’effectuent sans viscosité, est vérifiée, on a la
relation :
avec
λ
3K = 3λ + 2µ = 0
avec
K
coefficient de viscosité volumique.
B 4 181 − 18
∂V
---------r
∂z
∂V θ
---------∂z
∂V z
--------∂z
( O, e r, e θ, e z )
Ainsi, on obtient le tenseur des taux de déformation :
Le tenseur des contraintes de viscosité τ est déterminé par les
relations d’origine expérimentale schématisant le milieu et son
comportement. Pour un fluide newtonien, on a un comportement
linéaire du type suivant :
∂V r V θ
--------- – -----∂θ
r
∂V θ V r
------------ – ----r ∂θ
r
∂V z
-----------r ∂θ
∂V
∂V V
----------r- + ---------θ- – -----θr ∂θ
∂r
r
∂V θ V r

2 ----------- + ----r ∂θ
r
∂V
∂V
----------z- + ---------θr ∂θ
∂z
∂V r ∂V z
--------- + --------∂z
∂r
∂V z ∂V θ
----------- + ---------r ∂θ
∂z
∂V z
2 --------∂z
et on détermine le tenseur des contraintes visqueuses :
∂V r
λ divV + 2 µ --------∂r
τ=
=
∂V V
∂V
µ  ----------r- + ---------θ- – -----θ-
r ∂θ
∂r
r
∂V ∂V
µ  ---------r + ---------z
∂z
∂r
∂V
∂V
∂V
∂V V
V
∂V
µ  ----------r- + ---------θ- – -----θ- λ divV + 2 µ  ----------θ- + -----r µ  ----------z- + ---------θ-
r ∂θ
∂r
r
r ∂θ
r
r ∂θ
∂z
∂V z
∂V
∂V
∂V
∂V
µ  ---------r + ---------z
µ  ----------z- + ---------θ-
λ divV + 2 µ --------∂z
∂z
∂r
r ∂θ
∂z
∂V
1 ∂rV ∂V
avec divV = ----  ------------r + ---------θ- + ---------z
r  ∂r
∂ θ  ∂z
Ainsi, on peut déterminer les équations de conservation de la
quantité de mouvement dans le repère cylindrique (O, er , eθ , ez ).
En effet, si on met en coordonnées cylindriques l’équation suivante :
∂
------ ( ρ V ) + div ( V ⊗ ρ V – σ ) = ρ F
=
∂t
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______________________________________________________________________________ TURBOMACHINES : CALCUL DES ÉCOULEMENTS COMPRESSIBLES
on obtient, en supposant que :
on obtient l’équation de l’énergie sous la forme suivante :
F(r, θ, z ) : Fr(r, θ, z )er + Fθ(r, θ, z )eθ + Fz(r, θ, z )ez
2
∂  r ( ρ V r + p – τ rr )

 ∂ ( ρ Vθ Vr – τr θ )
∂
------ ( ρ V r ) + -------------------------------------------------- + --------------------------------------∂t
r ∂θ
r ∂r
∂
∂
∂
∂(ρE)
--------------- + ---------- ( ρ E + p ) r V r + ---------- ( ρ E + p ) Vθ + ------- ( ρ E + p )Vz
r ∂θ
∂z
r ∂r
∂t
∂
∂T
= ---------- r  V r τ rr + V θ τ rθ + V z τ rz + λ ------- 

r ∂r
∂r 
2
∂ ( ρ V r V z – τ rz )
ρ V θ + p – τ θθ
+ ------------------------------------- = ρ F r + ---------------------------------∂z
r
∂  r ( ρ V θ V r – τ rθ )

 ∂ ( ρ V 2θ + p – τ θθ )
∂
------ ( ρ V θ ) + ---------------------------------------------- + -----------------------------------------∂t
r ∂θ
r ∂r
ρ Vθ Vr – τ r θ
∂ ( ρ V θ V z – τ θz )
+ -------------------------------------= ρ F θ – -----------------------------∂z
r
∂  r ( ρ V r V z – τ rz )

 ∂ ( ρ V z V θ – τ θz )
∂
------ ( ρ V z ) + --------------------------------------------- + -------------------------------------∂t
r ∂r
r ∂θ
2
∂ ( ρ V z + p – τ zz )
+ ------------------------------------------ = ρ Fz
∂z
Bilan d’énergie ou principe
de conservation de l’énergie
∂
∂T
+ ----------- V θ τ θθ + V r τ rθ + V z τ θz + λ ----------r ∂θ
r ∂θ
∂
∂T
+ ------- V z τ zz + V r τ rz + V θ τ zθ + λ ------- + ρ ( F r V r + F θ V θ + F z V z ) + ρψ R
∂z
∂z
Équations de Navier-Stokes
dans un repère en rotation uniforme
Pour calculer les écoulements dans les turbomachines, il est
nécessaire d’écrire les équations de Navier-Stokes dans un repère
relatif en rotation uniforme.
On note V la vitesse du fluide dans le repère absolu et W la
vitesse dans le repère relatif. On suppose que la rotation se fait suivant l’axe Oz, si bien que la vitesse angulaire ω est portée par l’axe
Oz. On passe U vitesse de rotation dans le repère absolu.
Ainsi, on obtient comme expression de la vitesse :
V = W + U = W + ω · OM
avec
Le travail des forces de contact au cours du déplacement du
domaine fluide Ω s’écrit :
Ws =
σ
( n ) ⋅ VdS
=
le vecteur entre le centre O du repère relatif et le
point M.
On peut alors exprimer les équations bilan dans le repère relatif
sous forme différentielle c’est-à-dire locale.
■ Conservation de la masse
∂ρ
------ + div ρ W = 0
∂t
Σ
Le tenseur des contraintes étant symétrique, on a la relation :
Ws =
Ω
avec
div (σ V ) dτ
=
div (σ V ) = div σ V + σ gradV.
Ainsi, l’équation de l’énergie s’écrit, en tenant compte des calculs
précédents, sous forme conservatrice :
∂
------ ( ρ E ) + div ( ρ EV – σ V – λ grad T ) = ρ F ⋅ V + ρψ R
=
∂t
avec
ρψ R
λ grad T
apport de chaleur exercé directement dans la
masse (par exemple, chaleur apportée par rayonnement),
apport de chaleur par conduction, résultant du
gradient de température du fluide.
Étant donné que :
et que :
∂T
∂T
∂T
gradT = ------- e r + ---------- e θ + ------- e z
r ∂θ
∂z
∂r
ρ EV = ρ EV r e r + ρ EVθ e θ + ρ EVz e z
OM
■ Conservation de la quantité de mouvement
Pour tenir compte du mouvement de rotation, il faut ajouter deux
forces :
— la force de Coriolis définie par unité de masse par :
f Coriolis = – 2ω · W
— la force centrifuge définie par unité de masse par :
f centrifuge = ω 2R
R étant la composante du vecteur position perpendiculaire à l’axe
de rotation.
Ainsi, l’équation différentielle de quantité de mouvement sous
forme conservative s’écrit :
∂
------ ( ρ W ) + div ( ρ W ⊗ W ) = div ( – p1 + τ ) + ρ F + ρ f Coriolis
= =
∂t
+ ρ f centrifuge
avec
τ tenseur des contraintes de viscosité exprimé comme
une fonction des vitesses relatives.
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B 4 181 − 19
TURBOMACHINES : CALCUL DES ÉCOULEMENTS COMPRESSIBLES
______________________________________________________________________________
■ Conservation de l’énergie
Dans un système en rotation uniforme, cette équation est obtenue en ajoutant le travail des forces centrifuges puisque les forces
de Coriolis n’interviennent pas dans le bilan énergétique du fluide
(le produit scalaire entre les forces de Coriolis et la vitesse relative
est nul), d’où l’équation :
∂ρE
---------- + div  ( ρ E + p )W  = div (τ W + λ grad T )


∂t
+ ρF · W + ρψ R + ρW · f centrifuge
Expression des équations
de Navier-Stokes en 2,5D
■ Bilan de masse
∂ ρ 1 ∂ ( ρ rbW m ) ∂ ( ρ W θ )
------ + ------ ---------------------------- + -------------------- = 0
∂t rb
∂m
r ∂θ
■ Bilan de quantité de mouvement
2
∂  r b ( ρ W m + p – τ mm )
 ∂ ( ρ W m W θ – τ mθ )
∂ ( ρ Wm ) 1 
---------------------- + ------- --------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------∂m
rb
∂t
r ∂θ
2
ρ W θ + p – τ θθ dr p – τ αα db
= ------------------------------------- ----------- + ------------------ ----------- – ρ m ( f centrifuge + f Coriolis ) + ρ F m
r
dm
b
dm
2
∂ ( ρ W θ ) 1 ∂ ( rb [ ρ W m W θ – τ mθ ] ) ∂ ( ρ W θ + p – τ θθ )
------------------- + ------- ----------------------------------------------------------- + --------------------------------------------rb
∂t
∂m
r ∂θ
τ mθ – ρ W m W θ dr
= --------------------------------------- ----------- – ρθ ( f centrifuge + f Coriolis ) + ρ F θ
r
dm
2
db
avec ταα = – --- div W + 2 µ W m --------------- ,
3
bdm
∂ Wm
2
τmm = – --- div W + 2 µ ------------- ,
∂m
3
Wm d r
∂W
2

-τθθ = – div W + 2 µ  -----------θ- + ---------- ----------- ,
3
r dm
r ∂θ
τmθ = τ mθ

 ∂W m
+r
= µ  ------------ r ∂θ

Wθ
∂  -------- 
 r 
-----------------
∂m 

■ Bilan d’énergie
∂ ( ρ E ) 1 ∂ ( rb [ ρ E + p ]W m ) ∂ ( [ ρ E + p ]W θ )
--------------- + ------ ------------------------------------------------ + --------------------------------------rb
∂t
∂m
r ∂θ
1 ∂ ( rb [ τ mm W m + τ mθ W θ – Q m ] ) ∂ ( τ mθ W m + τ θθ W θ – Q θ )
= ------- ----------------------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------rb
∂m
r ∂θ
+ ρF · W – (ρfcentrifuge · W )
avec
B 4 181 − 20
Q = λ gradT.
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Turbomachine : calcul
des écoulements compressibles
P
O
U
R
E
N
par
Georges MEAUZÉ
Coordinateur Turbomachine à l’ONERA
Références bibliographiques
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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique
Doc. B 4 181 − 1
S
A
V
O
I
R
P
L
U
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