Transcript 统计学原理第六章动态数列3

第三节
动态数列的速度指标
一、发展速度和增长速度
(一)发展速度
1、发展速度就是将现象报告期水平除以基期水
平求得的表明某种现象发展程度的相对指标。
2、计算公式
发展速度＝报告期水平÷基期水平
3、发展速度的种类
按照采用的基期不同分为：
 （1）环比发展速度－－报告期水平与前一期
水平之比。
an 1 an
a1 a2
,
,L ,
,
a0 a1
an  2 an 1


（2）定基发展速度－－报告期与某一固定基
期水平之比。
a
a
a a
1
,
2
a0 a0
,L ,
n 1
a0
,
n
a0
环比发展速度与定基发展速度的关系
各期环比发展 a1 a2 a3
an an
   L 

an1 a0
速度的连乘积 a0 a1 a2
两个相邻定基 ai ai 1 ai
 

发展速度之比 a0 a0 ai 1
(二)增长速度
1、增长速度是某种现象报告期的增长量与基
期水平之比，表明该现象增长程度的相对指标。
2、计算公式
报告期增长量
增长速度 
基期水平
报告期水平 基期水平

基期水平
报告期水平

（或
1
100%）
基期水平
3、增长速度的种类
按采用的基期不同分
（1）环比增长速度
环比
报告期逐期增长量

增长速度
前一期水平
报告期水平 前一期水平

前一期水平
环比

（或
1
100%）
发展速度
（2）定期增长速度
定基
报告期累计增长量

增长速度
固定基期水平
报告期水平 固定基期水平

固定基期水平
定基

（或
1 100%）
发展速度
注：定期增长速度与环比增长速度无直接的换算关
系。
注：为消除季节变动影响，还使用年距发展
速度和年距增长速度。
 （1）年距发展速度－－现象发展报
告年某月（季）的水平与其上年同月
（季）水平之比。
 （2）年距增长速度－－现象发展报
告年某月（季）的增长量与其上年同
月（季）水平之比。或用年距发展速
度减1求得。
增长1%的绝对值计算
增长1%的绝对值
报告期的逐期增长量

报告期的环比增长速度（以百分点表示）
二、平均发展速度和平均增长速度
(一)平均发展速度和平均增长速度的概念
平均发展速度，是某种现象各期环比发展
速度的平均数，它表明该现象在一个较长时期
内，平均单位时间发展变化的程度。
平均增长速度是某种现象各期环比增长速
度的平均数，它表明该现象在一个较长时期内，
平均单位时间增长的程度。
(二)平均发展速度和平均增长速度的计算
1.几何平均法(水平法)
an
an
a1 a2 a3
X  n   L 
n
a0 a1 a2
an1
a0
X  X1  X 2  X 3  L  X n 
n
n
X
若以R表示定期发展速度，
2
m
表示最末
水平是最初水平的翻番数，则
X 
X 
n
n
R
m
2
平均增长速度＝平均发展速度－1（100%）
注：在通常情况下，都是借助于对数计
算，为了减少查对数表次数，一般都 先
计算定期发展速度R，再用对数计算。

例6－6

例6－7

例6－8
2.高次方程法(累计法)
设数列为a0 , a1 , a2 , L , an , 平均发展速度R , 则
a1  a2  L  an 1  an   a
a0 R  a 0 R 2  L  a0 R n 1  a0 R n   a
R  R L  R
R R
n
n 1
n 1
R
n
L  R R
2
2
3
a


a0
a

R 
0
a0
解此高次方程所得的正根，即为所求的平
均发展速度。
解高次方程比较麻烦，通常采用查《累计法
平均增长速度查对表》计算。此表分为平均
增长和平均下降两部分。
记M
a


 100%, n为该段时间的间隔年数，
a0
M
 100%, 为增长，查增长部分表，
n
M
 100%, 为下降，查下降部分表。
n
例 某地区固定资产投资额2006年为4679元，
2007－2010年各年分别为5220万元，5628
万元，5943万元，6124万元，共22915万元
，试用累计法求此期间年平均增长速度和年平均
发展速度。
累计法平均增长速查对表（%）
平均
总发展速度
每年增 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
长
8.2
8.3
108.2
108.3
225.27
225.59
351.94
352.61
489.00
490.18
637.30
639.16
22915
M 
 100%  489.74%, n  4,
4679
M
489.74%

 122.43%  100%,
n
4
属增长，应在增长部分查表。

从n=4年看，总发展速度489.74%在
489.00与490.18%之间，按比例计算
489.74－489.00
＝0.6，则8.2+（83－82）
.
.  06＝826，
.
.
490.18－489.00
即平均增长速度为826
. %，平均发展速度为108.26%。
例 某地区造林面积2005年为200万公顷，
2006－2010年各年分别为198万公顷，188万
公顷，175万公顷，170万公顷，160万公顷，
共891万公顷，试用累计法求此期间年平均增长
速度和年平均发展速度。
累计法平均增长速度查对表（%）
平均
总发展速度
每年增 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
长
－3.8
－3.9
96.20
96.10
188.74 277.77
188.45 277.20
363.42
262.49
445.81
444.45
891
M 
 100%  445.5%, n  5,
200
M
445.5%

 89.1%  100%,
n
5
属负增长，应在负增长部分查表。
从n=5年看，总发展速度445.5%在445.81
与444.45%之间，按比例计算
445.5－444.45
＝0.08，则－39. +（－38－（－39））
.
.  0.08＝－382，
.
445.81－444.45
即平均增长速度为－382
. %，平均发展速度为96.18%。
第四节
长期趋势和季节变动
一、长期趋势的分析
(一)长期趋势的概念
长期趋势，是指某种现象在相当长的
时期内，发展过程表现为不断增长或不断
下降的总趋势。
影响现象发展变化的因素
1、基本因素－－凡总是朝着一个方向促使某种
现象不断增长或不断下降的那些因素。
 如在农业上，耕作技术的改进、优质化肥的推
广使用、种子的改良等对农作物的产量增长有
影响，属基本因素。
 2、偶然因素－－时而影响增长时而影响下降，
或有时影响有时不影响的那些因素。
 如气候、雨量和温度对农作物产量的增长属偶
然因素。

(二)长期趋势分析法
1、长期趋势分析法的概念

在统计上，把原来不易看出现象的变化趋势
的动态数列，通过加工和分析后，使现象的变
化趋势明显化的方法，称为长期趋势分析法。
 2、长期趋势分析的常用方法
 （1）时距扩大法；（2）序时平均法；
 （3）移动平均法；（4）直线配合法；

（1）时距扩大法
对原来的动态数列扩大时距，达到消除
偶然因素的影响，使其明显反映现象的发展
趋势的方法。

如表6－2发展变化趋势不明显，将时距
由月扩大为季度，变化趋势就明显了。

某商场2010各月每个销售员平均商品销售额表6－2
月份
商品销 平均销 每个销
售额 售员人 售员平
（万元）数（人） 均销售
额
月份
商品销 平均销 每个销
售额 售员人 售员平
（万元 数（人） 均销售
额
1
144.0
80
1.80
7
170.2
92
1.85
2
148.2
78
1.90
8
186.2
95
1.96
3
154.7
91
1.70
9
198.9
102
1.95
4
164.5
94
1.75
10
196.0
98
2.00
5
160.2
90
1.78
11
195.0
100
1.95
6
177.6
96
1.85
12
218.4
105
2.08
某商场2010年各季商品销售额（6－10）
季度
商品销售额
1
446.9
2
502.3
3
555.3
4
609.4
(2)序时平均法
由于时点数列各水平相加无独立意义，因
此时点数列不能直接用时距扩大法，必须用序
时平均法消除偶然影响，反映现象的变化趋势
。
 序时平均法－－－就是将原时点动态数列中的
几项计算序时平均数，消除偶然影响，编制出
一个序时平均数动态数列，反映现象的变化趋
势。
 如表6－3变化趋势不明显，改为6－11变化趋
势就明显了。

某商场2010年各月月末销售员人数如表6－3
月份
月末销售员人数
月份
月末销售员人数
上年12
85
7
85
1
75
8
105
2
81
9
99
3
101
10
97
4
87
11
103
5
93
12
107
6
99
(3)移动平均法
 －－通过时距扩大逐项移动计算其平均数
构成新的动态数列，消除偶然因素的影响
，反映现象发展的趋势。
 例表6－12
某地区2000－2010年粮食产量（6－12）
年份 2000
粮食
产量
320
200
1
200
2
200
3
200 200 200
4
5
6
200
7
200
8
200
9
20
10
342
336
361
388 380 406
435
430
456
48
0
三项
移动
平均
332. 346. 361. 376 391 407 423. 440 455.
7
3
7
.3
.3
.0
7
.3
3
五项
移动
平均
349. 361. 374 394 407 421. 441
4
4
.2
.0
.8
4
.4
（3）直线配合法
 －－根据动态数列在散点图上的表现
形式接近一条直线，可利用数学方法
给它拟合一条直线，以反映现象的发
展趋势。
 通常有两种配合方法：
 A、半数平均法；
 B、最小平方法。
(1)半数平均法
yc  a  bt
 y  y   0
c
将[公式6—19]代入[公式6—20]：
 ( y  (a  bt )  0
即 y   a   bt  0
［公式6—21］
用n除上式后得：
y  a  bt  0
半数平均法的步骤：
一、将原动态数列均分为两半。如果是奇数列
，删除最初一期；
 二、用时间顺序t,即1，2，3，…分别代表各
年份；
 三、分别计算这两半数列的时间变量t的平均值
和现象发展水平y的平均值；

四、将y1 , t1和y2 , t2分别代入y- a- bt =0,
得方程组；

五、联立求解方程组，求得a，b。
半数 平均法计算表
年份
t
y
y
年份
t
y
y
2001
1
342
329.4
2006
6
406
409.4
2002
2
336
345.4
2007
7
435
425.4
2003
3
361
361.4
2008
8
430
441.4
2004
4
388
377.4
2009
9
456
457.4
2005
5
380
393.4
2010
10
480
473.4
合计
15
180
7
1807
合计
40
2207
2207
平均值
3
361.
4
平均值
8
441.4
(2)最小平方法
  y  y   最小值
Q   y 
（a  bt）
  最小值
2
c
2
Q
Q
由
=0,
=0，导出
a
b

  y  na  b  t

2

 ty  a  t  b  t
求解得

n  ty   t  y
 b
2
2
n t    t 



y
t


b
＝y  bt
a 
n
n

yc  a  bt
年份
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
合计
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
55
最小平方法计算表
y
ty
tt
342
342
1
336
672
4
361
1083
9
388
1552
16
380
1900
25
406
2436
36
435
3045
49
430
3440
64
456
4104
81
480
4800 100
4014 23374 385
y
340.62
346.34
362.06
377.78
393.50
409.22
424.94
440.66
456.38
472.10
二、指数曲线趋势模型
yˆt  ab
t
推导得：

n  t lg y   t  lg y
lg b 
2
2
n t    t 



lg y
t


 lg b
 lg a 
n
n

年份
2005
2006
2007
2008
2009
2010
合计
某地区2005－2010年人口指数计算表
t
y
lgy
tt
t*lgy
1
2
3
4
85.5
86.48
87.46
88.47
5 89.46
6 90.44
21
1.93197
1.93692
1.94181
1.94680
1
4
9
16
1.93197
3.87384
5.82543
7.78720
1.95163
1.95636
11.66549
25
36
91
9.75815
11.73816
40.91475
lg b 
n  t  lg y   t  lg y
n t  ( t )
2
2
6  40.91475  21 11.66549

 0.004888
2
6  91  21
lg y
t


lg a 
 lg b
n
n
11.66549
21

 0.004888 
 1.92714
6
6
lg yc  1.92714  0.004888t
yc  84.555  1.011
t
三、季节变动的分析
(一)季节变动的概念
季节变动，是指某些现象由于受自然因素
和社会条件的影响，在一年之内比较有规律地
变动。
(二)季节变动的测定
反映季节变动的指标是“季节比率”，又称为
“季节指数”，它是将现象各月的发展水平与
全期的平均发展水平对比，得到的相对数。
 季节比率指标不能根据某一年的资料来计算，
因为个别年份的资料受偶然因素的影响大，必
须用三年以上各月或各季的完整资料来计算。
 计算季节比率有两种方法，一是直接平均法，
它不考虑长期趋势的影响，另一种是剔除法，
先剔除长期趋势影响，再计算。

直接平均法计算“季节比率”的步骤
第一步，将三年以上各月或各季度的完整资料
排列整齐。
第二步，计算同季(月)的合计数及其平均数，
计算年度的合计数及其平均数。
第三步，计算出全期季(月)的平均数。
第四步，将各同季(月)的平均数，分别与全期
季(月)的平均数对比，即为季节比率。
某地区某种商品销售季节比率计算表(6-16)
顺序
年份
一季度 二季度 三季度 四季度
甲
1
2
3
4
乙
（1） （2） （3） （4）
2006
46
63
88
51
2007
50
70
91
57
2008
60
78
99
63
2009
57
89
110
60
5
6
7
2010
8
66
279
合计
同季平 55.8
均
季节比 74.8
率
（%）
98
398
79.6
106.
7
126
514
102.
8
137.
8
70
301
60.2
80.7
合计
季节平
均数
（5） （6）
248
62
268
67
300
75
316
79
360
1492
298.
4
400
90
373
76.4
100
说明：
1、74.6＝373/5=1492/20
 2、74.8%=55.8/74.6；
106.7%=79.6/74
 3、四个季度季节比率之和应等于400，如果
不等，应当进行调整。其办法是：将400除以
四个季度季节比率之和，得到一个调整系数，
然后，将此系数分别乘以各季度原来的季节比
率所得的数即为调整后的季节比率，它们之和
等于400.

季节变动值预测







例6－15根据表6－16资料对该地区这种商品
年及各月季的销售量进行预测。
用最小平方法配合直线趋势方程可预测
2011年的销售量为380.6万吨，平均每月销售
量＝380.6/4=95.15万吨。
于是各季的销售预测值为：
第一季度：95.15*0.748＝71.17万吨
第二季度：95.15*1.067＝101.53万吨
第三季度：95.15*1.378＝131.12万吨
第四季度：95.15*0.807＝76.78万吨
习题6
㈠判断题
㈣填空题
㈡单项选择题
㈤简答题
㈢多项选择题
㈥计算题
（备注：可以通过 互动交流平台考试模板 ，对判断题、
选择题、填空题，进行实时自动批改。）
END