Transcript MIN,MAX1

MAX/MIN
GRAFIČKI METOD
Циљ нам је да се задаци математички моделирају, а
затим да се тражи рјешење тога модела.
При томе се оперише са релативно великим бројем
величина за које важе одређене функције ограничења.
Скуп оних вриједности променљивих које задовољавају
постављени систем ограничења, назива се скуп
допустивих решења (скуп вриједности које чине неки
програм и сл.).
Пошто скуп рјешења може бити, у неким случајевима и
бесконачан, у том смислу намеће се питање: како
изабрати најбоље рјешење и критеријум ваљаности
тог решења (плана, програма), при одређеном
сценарију?
Ево неколико примера критеријума избора рјешења:




Добит предузећа.
Временски капацитет.
Трошкови транспорта.
Ризик реализације плана и др.
Када функција критеријума представља :
 добит,
 поузданост,
 ниво образовања,
 искоришћеност капацитета,
 учинак, и сл., онда тежимо да је максимизирамо.
У случају да ова функција представља:
 трошкове,
 ризик у погледу реализације планираних
активности,
 вријеме обраде,
 вријеме транспорта,
 број извршилаца у процесу рада,
 утрошак ресурса или неких енергетских средстава,
онда тежимо минимизацији такве функције.
Линеарно програмирање представља једну од
метода операционих истраживања која је
нашла највећу практичну примену у решавању
техноекономских проблема и то:
• код модела асортимана производа,
• технолошких поступака,
• транспортних задатака и
• свих других проблема
чији математички модели представљају заправо
класичне проблеме ЛП, за одређивање
максимума или минимума функције F(X).
Различитост у дефинисању функције критеријума, а
нарочито у исказивању система ограничења, у смислу
постављања релационих оператора типа
{, , , , }, довела је до различитих облика модела
Општа математичка формулација задатака ЛП састоји у
томе да се одреди такав скуп вриједности:
x1, x2, ..., xj, ..., xn
(xj  0)
односно компонената вектора X=[x1, x2, ..., xj, ..., xn] из
области D, које задовоља-вају систем линеарних
једначина и/или неједначина (ограничења), најчешћег
облика:
где су:
,
Методе ЛП су најчешће класификоване као:
Графичка метода.
Simplex метода.
Транспортна метода.
Метода распоређивања.
Стандарндни облик линеарног
програмирања
Стандардни облик се јавља онда када су
ограничења по својој природи једнострана,
тако да су све релације дефинисане, нпр. у
облику “”, који је карактеристичан (али не
и обавезан) за моделе проблема типа
максимум:
где су:
,
F(X) = (x1, x2, ..., xj, ..., xn)  max F(X)
Код модела проблема
функције
критеријума,
типа минимум
карактеристичне
релације ограничења су облика
да је модел ЛП следећи:
“”,
тако
F(X) = (x1, x2, ..., xj, ..., xn)  min F(X)
За потребе тржишта производе се два типа производа P1 и P2 на два технолошка
система ТS1 и ТS2.
Временски капацитет ТS1 расположив је за коришћење до 600 /час/, а за ТS2 до 700
/час/.
Обрада производа P1 на ТS1 траје 72 /мин/ком/, а на ТS2 60 /мин/ком/.
Производ P2 се финализује, такође, кроз две операције, и то
на ТS1 операционо време је 60 /мин/ком/, а
на ТS2 105 /мин/ком/.
Пласман на тржишту није неограничен. Испитивањем је установљено да тржиште
може примити
до 450 /ком/ производа P1 и до 300 /ком/ производа P2.
Такође су познате јединичне цене производа (у новчаним јединицама по комаду) и
оне износе: за први производ c1 = 9 /нј /ком/, а за други c2 = 7,5 /нј /ком/. Потребно је:
a. Одредити оптималан план производње да би се постигао максимални ефекат
добити.
b. Одредити која функција ограничења не утиче на максималну вредност
функције критеријума.
KAKO FORMULIŠEMO MATEMATIČKI MODEL?
TP1
TP2
P1
72 min/kom
60min/kom
P2 finalizuje
60 min /kom
105 min kom
X1  450, x2300
ТS1 расположив је за
коришћење до 600
/час/,
а за ТS2 до 700
• 72 min/kom P1
• 60 / kom/min P2
72/60
60/60
/час/.
60/60
60/105
6/5 x1 +
x2  600
x1 + 7/4 x2  700
x1450
x2300
Такође су познате јединичне цijене производа (у новчаним јединицама по
комаду) и оне износе: за први производ c1 = 9 /нј /ком/, а за други c2 = 7,5 /нј
/ком/. Потребно је:
Рjешење:
Математички модел проблема обликован је на основу
система ограничења:
и функције критеријума (добити):
График области допустивог рjешења са
функцијом критеријума D(X)
МИНИМИЗАЦИЈА
Наћи минималну вредност функције критеријума
F (X) = 6 x1 + 3 x2  min F (X),
користећи графичку методу ЛП, уз следећа ограничења:
a. Оптимално решење датог проблема и минималну вредност функције
критеријума.
b. Оптимално решење и максималну вредност функције критеријума
при измени (1) неједначине функције ограничења, која се сада
дефинише као једначина облика: x1 + x2 = 5.
При томе минимална вредност
функције критеријума износи min:
Б( 2.5,2.5)
F (X) = F (X*) = 22,5
F (X) = 6 x1 + 3 x2 = 62,5 + 32.5
Графичка интерпретација ЛП примера 2.а)
б) У случају да се у систем ограничења уведе једначина
x1 + x2 = 5, сва базно допустива решења се налазе на
дужи АB. У тим условима су екстремне вредности
једнаке:
F (X) = 6 x1 + 3 x2
А(4;1) или Б(2.5; 2.5)
F(4,1) = 27 F(2.4;2.5) = 22.5
max F (X) =
max{F (XA), F (XB)}=
max{27, 22,5} = 27
Пример 3.
Коришћењем графичке методе рijешити
програмирања, ако је дата функција добити
проблем
линеарног
D (X) = 3x1 + x2,
и систем ограничења:
Поред тога поступцима анализе:
a. одредити врijедности x1 и x2 за које функција добити D (X) постиже
максималну врijедност, а да су истовремено задовољена сва
претходна ограничења,
b. дефинисати један аналитички израз нове функције D (X) да би се у
новим условима добило бесконачно много оптималних решења,
c. дати за ту функцију два примjера оптималних рjешења.
a. Одређивање оптималног рjешења и
максималне добити. Оптимално решење
се налази у тачки B у пресеку правих које
ограничавају област (p2) и (p5).
Највећа добит је у том случају одређена
као:
Графичка интерпретација ЛП примера 3.а)
b) Тражени аналитички израз следи из резултата
изједначавања коефицијента правца нове праве
D (X) = c1 x1 + c2 x2 = 167,5 /нј/
и праве која ограничава област (p5) тј.
8x1 + 6x2 = 480.
Дати поступак се своди на трансформацију израза
(p5), у смислу његовог изједначавања са
израчунатом вредношћу функције критеријума:
те добијамо:
Графичка интерпретација ЛП примера 3.б)
Према томе, тражена функција критеријума
је облика:
c) Један пример оптималног рjешења, као што је већ констатовано, се налази у тачки
B. Други пример следи из резултата пресека праве (p4) и (p5) у тачки C, па имамо:
Вредност функције добити за обе
тачке остаје максимална и
непромењена. Дакле:
max D (X) = D (XB) =
2,792 x1* + 2,094 x2* = 167,5 /нј/
max D (X) = D (XC) =
2,792 x1** + 2,094 x2** = 167,5 /нј/
Пример 4.
За задату функцију критеријума (трошкова)
Т(X) = 3/2 x1 – 1/2 x2
и скуп ограничења:
a. одредити оптимално решење и минималну вредност функције критеријума,
b. одредити вредности коефицијента у функцији критеријума тако да нађени
трошкови у тачки (под а)) износе T (X) = 0 /нј/,
c. одредити оптимално решење и минималне трошкове ако коефицијент уз
x2, функције трошкова, промени смер, тј. постане позитиван. Колике су разлике
у трошковима тиме изазване у односу на решење добијено под а).
a. Најбоље рjешење налази се у тачки Е и
износи:
при томе су минимални трошкови:
Графички приказ модела ЛП примера 4. a
b. Функција трошкова може бити једнака нули у случају да пролази кроз
координатни почетак и да тангира одабрану екстремну тачку, у овом
случају тачку Е. При томе је коефицијенат правца тангентне праве одређен
из односа:
Једно од могућих рjешења
јединичних цijена је:
c1 = 341 и c2 = 162, па је
тада тражена врijедност
функције трошкова:
Т(X*) = 341 x1* – 162 x2*
= 0 /нј/.
Графички приказ модела ЛП примера 4.б)
c. Из услова промене
предзнака уз коефицијент
променљиве x2 нова
функција критеријума
добија облик:
Конкретна вредност
ове функције, за
тачку Е , износи:
Графички приказ модела ЛП примера 4.ц)