زمستان 1382 Dr. H. Bolandi تبديلات همانندی Two matrices A & B of
Download
Report
Transcript زمستان 1382 Dr. H. Bolandi تبديلات همانندی Two matrices A & B of
تبديالت همانندی
1382 زمستان
Dr. H. Bolandi
Similarity transformation
Two matrices A & B of the same order are said to be similar , if there exists a matrix s
such that
inv(S(*A* S=B
Actually the Matrix B is said to be the similarity of A by s And A is similar transform of
B by inv(S).
:ير مي‌باشد
اهميت بهره‌گيري از تبديل همانندي به علل ز
1 ) Same det er min ants
2 ) Same charctrist ic polyno min ial
3 ) Same eigen values
اثبات
1382 زمستان
Dr. H. Bolandi
1)
B S 1 AS S 1 A S S 1 S A A B A
2)
I B I S 1 A S S 1 ( I S AS S 1 ( I A) S
S 1 I A S I A
3)
it follows from 2
An important , special similarity relation is the similarity of A to
a diagonal Matrix as follow :
1
n
1382 زمستان
Dr. H. Bolandi
.ی تبديل نماييد
ير را با استفاده از تبديالت همانندی به فرم قطر
ماتريس داده شده ز: 1 مثال
از بردارهاي ويژهS ماتريس
non ساخته مي‌شود كه
. استsingular
S v (v1
3 0
B
0 4
I A 0 2 4
5 1
A
2 2
1 3
1
1
v2 )
2
2
s
1
1 1
v
2
1
1
0 1
1 3
B
S AS
0
4
2
.ير را با استفاده از تبديالت همانندی به فرم قطری تبديل نماييد
ماتريس داده شده ز: 2 مثال
1382 زمستان
Dr. H. Bolandi
1 1
A
2 1
I A0
i
1
v1
1 i
i
1
v2
1 i
1i
1
v 2
1 i
2
i
2
i
2
i
1
1
v
1
i
1
i
v
1
i 0
Av
0 i
قطري كردن يك ماتريس
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
الف :مقادير ويژه مقاديري مجزا و غيرتكراري باشند.
اگر كه 1 , 2 , ...n
مقادير ويژه ماتريس Aباشند و اگر vيك
بردار ويژه Aمربوط به i
i
که :
آنگاه مجموعه بردارهاي
] [v1 , v2 , ..., vn
] [v1 , v2 , ..., vn
باشد به نحوي
A vi vi
v1 , ..., vn
به عنوان يك پايه منظور خواهد شد اگر
ن
ي كه iامين ستو
باشد بنحو
باشد آنگاه :
ˆA
نمايش
ˆA
Avi vi
نمايش Aنسبت به پايه
نسبت به
0
0
Avi vi
i
0
1
ˆ
A
2
1382 زمستان
n
Dr. H. Bolandi
if Q (v1 v2 ... vn )
AQ A (v1 ... vn )
( Av1 ... Avn )
(1v1 ... n vn )
Q Aˆ
.مقادير ويژه تكراري باشند
وقتي كه: ب
.ير را با استفاده از تبديالت همانندی به فرم قطری تبديل نماييد
ماتريس داده شده ز: 1 مثال
1382 زمستان
1 0 1
A0 1 0
0 0 2
1 1 (1 I A) x 0
1 0 1
3 2 0 1 0 x
0 0 1
Dr. H. Bolandi
1 1
2 1
3 2
2 linearly independently associated
eigen vector exist.
1
v1 0
0
0
v 2 1
0
1
v3 0
1
1 0 1
v 0 1 0
0 0 1
1 0 0
v 1 A v 0 1 0
0 0 2
1 1 2
A 0 1 3
0 0 2
( 1) 2 ( 2) 0
1 1
2 1
2
3
1382 زمستان
: 2 مثال
Dr. H. Bolandi
1 1 ( A 1 I ) x 0
v (1 0 0)T
rank ( A 1 I ) 2
there fore only 1 Associated
eigen recfors exists.
5
v3 3
1
3 2
.لذا نياز داريم تا به محاسبه بردار ويژه تعميم يافته بپردازيم
مقادير ويژه تكراري باشد همواره
لذا مي‌توان از اين مثال نتيجه گرفت كه اگرماتريس ی دارای
بردار ويژه مستقل خطي را محاسبه كنيم .لذا ماتريس Aرا
پذير نخواهد بود که n
امكان
نمي‌توان به فرم قطري تبديل نمود.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
فرم جردن
if A55 is given ; 1 2 3 4 5
مدلهای جردن ماتريس فوق
5
0
0
1
1
0
1
1
0
1
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
4
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
مدلهای جردن ماتريس فوق
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
5
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
5
1
1
1
1
1
0
هر يك از فرمهاي فوق بسته به خاصيت ماتريس Aدارند .كليه ماتريسهاي نشان داده
شايان توجه است كه
ير مي‌باشند.
در قطرها بصورت ز
در با ل بصورت بلوكهاي قطري مي‌باشند .كليه بلوكهاي واقع شده
شده
1 0 0 ... 0
0 1 0 ...
0 0 1 ...
0
0
0
1
تبديل ماتريس حالت سيستم به فرم كانونيكي جردن
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
خواص فرم کانونيکی جردن :
مقادير ويژه Aمي‌باشند.
عناصر قطري ماتريس
)1تمامي
صفر مي‌باشند.
قطر اصلي
ير
عناصر ز
)2تمامي
قرار مي‌گيرند.
قطر
در فوق
عناصر واحد
قطر اصلي مساوي باشند تعدادي
در
عناصر
)3هنگامي كه
فرم کلی کانونيکی جردن
... 0
...
...
1
i
0
0
1
0
1
1
i
i
0
i
0
0
i
0
j p1 0
0
JP
S
1
2
Jp
JP
J
P1 P2 ... PS K
: مثال
1382 زمستان
1
0
0
J 7 7
1
1
0
Dr. H. Bolandi
0
1
1
1
0
1
1
6
( 1 )3 0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
7
J 3 (1 )
J 2 (1 )
J7 7
J1 (6 )
J1 (7 )
: مقدار ويژه مکر ر مرتبه سوم
فرم جردن ماتريس ی با يک: مثال
1 1 0
0 1 0
0 0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
اگر كه يك ماتريس
مقدار ويژه مكرر مرتبه Kام باشد آنگاه مي‌توان نشان داد كه :
Ak kداراي
0
t
e
2
Dr. H. Bolandi
اگر فرض كنيم كه رتبة
1ـ
مستقل خطي متناظر با
t
e
e At
0
1
0
2
1
A
0
زمستان 1382
بردار ويژه
در آن 1 S Kاست آنگاه S
) (I Aبرابر K-Sباشد كه
وجود خواهد داشت.
متناظر وجود دارد.
بردار ويژه
متناظر با S
2ـ Sبلوك Jordan
3ـ مجموع رتبه‌هاي
Pi
برابر با مرتبه تكرار kاست.
بلوك جردن
مقدار ويژه يكسان
تكرار
اگر مرتبة
پس همانطور كه نشان داده شد حتي
باشد تعداد بلوكهاي جردن و ترتيب آنها بسته به ساختار Aممكن است
كه متفاوت باشد.
1
A1 0
0
1
1
0
1
A2 0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
A3 0
0
1382 زمستان
1
0
0
0
1
: مثال
Dr. H. Bolandi
0 1 0
1) ( A1 1 I ) X 0 0 1 X
0 0 0
0 1 0
0
2) ( A2 1 I ) X 0 0 0 X 0
0 0 0
0
0
3) ( A3 1 I ) X 0
0
0
0
0
0
0
0
0
rank ( A1 1 I ) 2 K S
p1 3
s 1
rank ( A2 1 I ) 1 K S
p1 p2 3
s2
rank ( A3 1 I ) 0 K S
P1 P2 P3 3 s 3
تا بلوك1 پس
جردن
تا بلوك2پس
جردن
تا بلوك3 پس
جردن
در حالت كلي فرض مي‌كنيم كه ماتريس
Ann
ويژه ديگر آن n , ... , k 1 , k
مقدار ويژه با تكر ار مرتبه k
يك
متمايز از
متفاوت و
1
1
را دارا بوده و مقادير
باشد.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
مقادير ويژه Aعبارتند از :
يعني
1 1 1 ... K 1 ... n
K
1
نظر مي‌گيريم :
د و حالت را در
الف S 1 :
مقدار ويژه مكرر
در اين حالت فقط يك بلوك جردن براي
ويژه مكرر وجود دارد .مرتبة بلوك جردن Kاست .
براي ساده سازي فرض مي‌كنيم كه n=4
فقط داراي يك پاسخ
مستقل است
( A I ) V
3تا بردار ويژه مستقل را جهت
شكل‌گيري پايه پيدا كنيم.
1
متناظر با اين مقدار
بردار ويژه
و تنها يك
Rank( A I ) 3
s 1 n s 3
v4 , v3 , v2
( A I ) 2 V2
: به نحوی که
( A I )3 V3
1382 زمستان
( A I ) 4 V4
Dr. H. Bolandi
: مي‌گوييمn بردار ويژه تعميم يافته درجة
راV بردار ويژه
يك
( A I ) n V
( A I ) n 1 V
( A 1 I ) V 0
n 1
V 0
: مي‌توانيم تعريف كنيم كه
V4 V
n4
براي حالتي كه
V3 ( A I ) V4 ( A I ) V
AV2 V2 V1
V2 ( A I ) V3 ( A I ) 2V
AV3 V3 V2
V1 ( A I ) V2 ( A I )3 V
AV4 V4 V3
:اين معادلت بايد داراي خواص زير باشند
1382 زمستان
Dr. H. Bolandi
( A I ) V1
1 0 0
0 1 0
Aˆ
0 0 1
0 0 0
( A I ) 2 V2
( A I ) 3V3
( A I ) 4 V4
1 1 2
A 0 1 3
0 0 2
if 3 2
if 1
: مثال
A I ( 1) ( 2) 0
2
1 2 1
3 2
5
v3 3
1
( A 1 I ) 2 K S S 1
P1 (2 2)
0 1 2
B ( A 1 I ) 0 0 3
0 0 1
0 0 5
2
2
B ( A 1 I ) 0 0 3 ; ( B 2 ) 1
0 0 1
( B) 2
1382 زمستان
Dr. H. Bolandi
n 1 2
B2 V 0
BV 0
0
V2 V 1
0
1
V1 BV 0
0
stop
: را به نحوي پيدا مي‌كنيم كهV پس بنابراين بردار
V (V1 V2
V 1
1 0 5
V3 ) 0 1 3
0 0 1
1 1 0
AV 0 1 0
0 0 2
AV1 1V1
AV2 V1 1 V2
AV3 3 V3
نمايش AV , AV , AVنسبت به پايه ) (V ,V ,Vبه ترتيب عبارتند از :
1
2
3
3
2
1
1 1 0
0 1 0
0 0
2
Dr. H. Bolandi
بS 1 :
2sn
Rank(1 I A) n s
مقدار ويژه
از آنجايي كه فرض كرده‌ايم ماتريس Aداراي
متمايز بوده و متفاوت از
آن تماما
زمستان 1382
1
1
مقادير ويژه ديگر
از مرتبة ( Kكه مكرر است ) بوده و
ويژه
مقدار
بردار ويژه مستقل خطي مربوط به
باشند .لذا S
مقدار ويژه
متناظر با
خواهيم داشت از اين رو Sبلوك جردن
متناظر با
بردار ويژه
براي راحتي طرز نمايش گيريم S
1
1
بصورت
1
وجود دارند.
VS 1 , ... , V21 , V11
تعريف مي‌كنيم .
بردارهاي ويژه تعميم يافته مربوط به
Vi 1
را بصورت
i 1, 2,...,s
Vi p i ...,Vi2 ,Vi3تعريف خواهيم كرد.
[ V11 V12 ... V1 V21 V22 ... V2 ... VS 1 VS 2 ... VS ]
p1
P2
Ps
1382 زمستان
Dr. H. Bolandi
( A 1 I ) V11 0 ... ( A 1 I ) VS 1 0
( A 1 I ) V12 V11 ... ( A 1 I ) VS 2 VS 1
( A 1 I )V1 P V1
1
P 11
... ( A 1 I )VS
x
Ps
VS
P s 1
S ( 1 ) V11 V12 ...V1 ...VS VS ... V2
P1 P2 ...PS K
1
P1
1
2
x2 x p ... xn
1
S1 S2 ... SK
Ps
S S (1 ) SK 1
...
Sn
S S1 S2 ... Sn
1382 زمستان
Dr. H. Bolandi
J P1 (1 )
J P2 (1 )
AS S
J PS (1 )
1
0
J P ( 1 ) 0
i
1
0
1
1
0
1
...
1
1
...
S 1
K 1
n
J P1 (1 )
J PS (1 )
AS
K 1
n
1382 زمستان
0
3
0 1
0
1
1
1
A
0 0 0
1
0 0 1 2
. را قطري كنيدA ماتريس: مثال
Dr. H. Bolandi
1) find eigen values
1 1
2 1
3 1
3
( 1)
4
2) find Rank( I A )
1382 زمستان
1 1 0 3
0
0
1
1
if 1 I A
0
0 1 1
0
0
1
1
Dr. H. Bolandi
R ank(I A) 2 n s s 2
P1 P2 3
3) find eigen vector
P1 2
P2 1
V (1 ) V11 V12 V21
( A 1 I ) V11
1
0
B ( A 1 I )
0
0
1
B 2 ( A 1 I ) 2
1 0 3
0 1 1
0 1 1
0 1 1
1 2 1
( A 1 I ) V12 V11
a
2
B V12 0
0
V12
0
B V12 0
a
2 a
a
V11 B V12
a
a
if
1382 زمستان
1
1
V21
0
0
id 0 ( I A ) X 0
V V (1 ) V (4 )
V11 V12 V21 V4
a=1
2
1
V11 ;
1
1
1
0
V12
0
1
Dr. H. Bolandi
V (1 ) (V11 V12
2
1
V21 )
1
1
1 1
0 1
0 0
1 0
1
0
V4
0
0
1
0 0
0
1
1 0
V
0 1 1
1 1 2
0
1
0
1
V 1
1382 زمستان
1 1 0
0 1 0
AV
0 0 1
0 0 0
0
0
0
0
Dr. H. Bolandi
Example: Consider the following equations of motion for a submarine in
the dive plane
q
z U sin cos
(m Z ) ( Z q m xG )q Z U ( Z q m)U q m zG q 2
(W B) cos Z U 2
( I y mq )q ( M m xG ) M U ( M q m xG )U q
( xGW x B B) cos ( z GW z B B) sin m zG q M U 2