Transcript Block diagram models. - Iran University of Science and
ميحرلا نمحرلا ...
ا مسب
یطخ لرتنک یاهمتسیس 1389 زییاپ
هداز لیع امسا دیجم دیس رت کد يدنلب نيسح رت کد
Recap.
• Mathematical Model of Systems • O.D.E
• Laplace Transform • Transfer Function 2
The time-domain representation (State Space Equations)
•
The time-domain is the mathematical domain that incorporates the response and description of a system in terms of time,t.
•
The time-domain representation of control systems is an essential basis for modern control theory and system optimization
.
•
The solution of time-domain formulation of control system problem is facilitated by availability of use of computer.
Applications
• • • •
Linear and nonlinear systems, Time-invariant and time-varying systems, Systems with nonzero initial conditions.
The term state of a system refers to the past, present, and future of the system.
Terms and concepts
•
State-space representation : a time-domain model comprised of the state differential equation and the output equation.
dx/dt = A x + B u y = C x + D u
•
State variables: the set of variables that describe the system.
•
State variable feedback: the control signal for the process is a direct function of all the state variables.
•
State vector: the vector containing all n states variables, x 1 , x 2 ,…, x n
The state variables of a dynamic system
The general form of a dynamic system
•
The state of a system is expressed by a finite number of state variables x 1 (t), x 2 (t),…,x n (t).
Definition
The state variables of a system are defined as a minimum number of variables such that if we know
a) their values at a time t 0 , b) the input function applied to the system for t ≥t 0 , c) the mathematical model which related the input, the state variables, and the system itself,
then the determination of the system ’s states for t>t 0 is guaranteed.
اه متسيس تلاح ياضف شيامن هک داد شيامن ي طخريغ ليسنارفيد تلاداعم هاگتسد كي طسوت ناوت يم ار اه متسيس زا يرايسب يلك روطب : دنوش یم هتشون ريز تروصب
x
F
[
x
(
t
),
u
(
t
),
t
]
نامز ريغتم :
t
.
دنك يم تللاد متسيس تلاح رب هك ) يدعب
n
( نامز اب ريذپرييغت ينوتس رادرب : x(t) .
دشاب يم لرتنك اي يدورو ريغتم رگناشن هك ) يدعب
m
( ينوتس رادرب :
u(t)
: داد شيامن ريز لكش هب ار متسيس يجورخ ناوت يم يلك تلاح رد
y
(
t
)
G
(
x
(
t
),
u
(
t
),
t
)
n
n
G
ريز و يلك
F
نياربانب تلاداعم اب .
دشاب يم و هديمان يطخ يطخ ياه متسيس ار متسيس يور تروص رب ام نيا زكرمت رد اتدمع .
دنشاب يم سرد يطخ نيا رد عباوت : دنوش یم هداد شيامن
x
(
t
)
A
(
t
)
x
(
t
)
B
(
t
)
u
(
t
)
y
(
t
)
C
(
t
)
x
(
t
)
D
(
t
)
u
(
t
)
تلاح سيرتام
n
n
يدورو سيرتام
n
m
يجورخ سيرتام
l
n
يجورخ و يدورو نيب لاقتنا سيرتام
l
m
سيرتام :
A
(
t
)
سيرتام : سيرتام :
B
(
t C
(
t
) )
سيرتام :
D
(
t
)
D
(
t
.
)
دوب
دهاوخ ،دشاب رت کچوک جرخم زا تروص هجرد رگا : 1 هت کن : تشاد ميهاوخ ،دننكن رييغت نامز اب اهسيرتام نيا هك يتروص رد : 2 هت کن
(
t
)
Ax
(
t
)
Bu
(
t
)
y
Cx
(
t
)
Du
(
t
)
تلاح ياهريغتم باختنا لماوع زا یک ي ندوب صخشم ،یکيزيف متسيس کي تلاح یاهريغتم جارختسا روظنم هب : دشاب یم یرورض ريز .
ليسنارفيد تلاداعم ) 1 ).
ليدبت عبات ( فارگولف لانگيس اي مارگايد كولب ) 2 .
يكيزيف متسيس ) 3
: دنوش یم ميسقت یلصا هتسد هس هب تلاح ياهريغتم باختنا یاهشور هتسباوان ياهريغتم دادعت يكيزيف ياهريغتم زا هدافتسا ) 1 زاف ياهريغتم زا هدافتسا ) 2 لاكينوناك ياهريغتم زا هدافتسا ) 3 : 1 هت کن جرخم هجرد : 2 هت کن ي كيزيف نيناوق زا هدافتسا اب ليسنارفيد تلاداعم .) دشاب minimal دياب ( ي كيزيف متسيس
: 3 هت کن .
دنشاب لامين يم دياب ي ياهن تلاح ياضف تلاداعم هك ميشاب هتشاد هجوت دياب ) فلا .
دنوش باختنا مه زا لقتسم تروصب دياب متسيس کي تلاح ياهريغتم ) ب ی یاهن مرف : یجورخ کت یدورو کت یاه متسیس یارب تلاح ياضف تلاداعم
SISO
X
Ax
(
t
)
Bu
(
t
)
Y
Cx
(
t
)
Du
(
t
)
: يك يزيف ياهريغتم شور هب ،تلاح ياضف تلاداعم زا هدافتسا اب لرتنك متسيس يزاسلدم 1 : دراد دوجو يزاسلدم تهج هاگديد ود يلك روطب
.
يضاير طباور طسوت ن ا يزاسلدم و هدنهد ليكشت ءازجا هب متسيس ندومن ميسقت : فلا هلصاح جياتن يسررب اب و دريذپ يم ماجنا متسيس ي ياهشيامز ا تلاح نيا رد : متسيس يرتماراپ ي ياسانش : ب .
دوش يم نييعت متسيس يارب يضاير لدم كي : دشا ب ريز یاهرتماراپ نيبم دياب هدم ا تسدب لدم ،متسيس نييبت و يراذگ هياپ ياتسار رد
هاگتسد ياهرتماراپ نيب يكيمانيد طابترا زادناراك يدورو .
دشاب يريگ هزادنا لباق يجورخ
تشاد رظن رد دياب اهمتسيس یزاسلدم رد هک یتاکن
effect , cause
نيب طابترا نينچمه و هدوب متسيس ينورد تاعلاطا هدنريگربرد يزاسلدم
.
دشاب يم متسيس ياهريغتم .
دش اب يم متسيس رب مكاح يكيزيف نيناوق زا هدافتسا راك ماجنا تهج يلصا ساسا و هياپ
متسيس يژر نا هدنرادهگن دوجوم رصانع ساسارب يكيزيف ياهريغتم شور رد تلاح ياهريغتم باختنا
.
دوش يم انب تلاح هك ري دنوش غتم با ناونعب ختنا یا دناوت يم هنوگب دياب يژرنا هدنرادهگن يكيزيف رصنع ياهريغتم هک ره يارب تسا یرو يژرنا اداي هب ةلداعم مزلا رد .
دوش يكيزيف باختنا ريغتم
متسيس .
دنشاب هتسباوان
e
(
t
)
R
1
i
1 (
t
)
L
1
di dt
i V C c
(
t i
1 )
L i
2 2
di dt C
2
dv c dt R
2
i
2 1
V C
(
t
)
: 1 لاثم
x
(
i
1
i
2
v c
)
T
متسيس تلاح یاضف تلاداعم
X
R
1
L
1 0 1
C y
(
t
) ( 0
R
2 0
R
2
L
2 1
C
1
L
1
L
2 0 1 0 )
x
1
x
2
x
3 1
x
1
x
2
x
3
L
1 0 0
e
(
t
)
: تلاح یاهريغتم رادرب
زاف ياهريغتم طسوت تلاح ياضف تلاداعم شيامن 2 : ميشاب هتشاد ار ريز ما
n
هبترم ليسنارفيد متسيس كي هك مينك ضرف رگا
y n
a
1
y n
1
a
2
y n
2 ...
a n
1
a n y
u
ن ييبت شور اي كرد لباق
متسيس ، شور
1
نيا
t
)
هب
...
.
مينك
(
t
هدني ا راتفر
y
(
t
يازا ياهريغتم هب
u(t)
y n
ناونع هب ار
1
يدورو
)
و
...
, ( 0 ) ,
y
( 0 )
نتسناد اب ميناوت يم ام سپ .
دشاب يم .
دنيوگ يم زاف ياهريغتم
x
1
x
x
2
x n y
y n
1 (
t
)
: تلاح یاهريغتم باختنا هوحن : متسيس ليسنارفيد هلداعم یارب تلاح یاضف لدم جارختسا
x
x
2 1
x
2
x
3
x
n
1
x
n
x n a n x
1
a n
1
x
2
a
1
x n
u y
[ 1 0 0 0 0 ]
x x
2 1
x n
(
y
x
1 )
m
x
B
Kx
f
(
t
)
: 2 لاثم
x
B m x
K m x
1
m f
(
t
)
if x1=x
x
1
x
2
x
2
B m x
2
K m x
1 1
m f
(
t
)
: یکيناکم متسيس تلاح یاضف لدم
x
0
k m y
( 1 1
B m
x
0 1
m
f
(
t
) 0 )
x
: 3 لاثم
N
2
Y
2
K
2
Y
2
B
2
Y
2
B
1
Y
1
B
1
Y
2
K
1
Y
1
K
1
Y
2
N
1
Y
1
B
1 (
x
1
x
2 )
k
1 (
y
1
y
2 )
f
(
t
)
: یکيناکم متسيس تلاح یاهريغتم
y
1
x
1
x
1
x
2
y
1
x
2
x
2
B N
1 1
x
2
B
1
N
1
x
4
k
1
N
1
x
1
k
1
N
1
x
3 1
N f
(
t
)
y
2
x
3
x
4
if y
2
x
3
x
3
x
4
x
4
k
1
N
4
x
1
k
4
N
2
k
2
x
3
B
1
N
2
V
2
x
4
B N
2 1
x
2
: 3 لاثم یکيناکم متسيس تلاح یاضف لدم
x
0
K
1
N
0
K
1 1
N
2 1
B
1
N
1 0
B
1
N
2 0
K
1
N
1 (
K
1 0
K
2 )
N
2 ( 0
B N B
1 1
N
2 1
B
2 ) 0 1
N
1 0 0
f
(
t
)
y
y
1
y
2 1 0 0 0 0 1 0 0
x
تلاح یاهريعتم
x
x
1
x
2
x
3
y y
y
: ريز متسيس تلاح یاضف لدم تسبولطم : 4 لاثم
y
(
s
)
u
(
s
)
s
3 6
s
2 1 11
s
6
: دوش یم هتشون ريز تروصب قوف ليدبت عبات طسوت هدش نايب ليسنارفيد تلاداعم : لح
y
6
y
11 6
y
u
(
t
)
متسيس یکيمانيد تلاداعم
1 2 3
x
2
x
3 6
x
1 11
x
2 6
x
3
u y
x 1
تلاح یاضف لدم
0
x
0 6
y
[ 1 0 1 0 11 0 0 1 6 0 1
u
0 ]
x
c
2
c
3
c
4
c
r
5
r c x
c
x x
2
x
1 3
x
2
x
3
c
ar a r
: ريز متسيس تلاح یاضف لدم تسبولطم : 5 لاثم
x c
c
c
ar x
1
x
2
x
3
: تلاح یاهريغتم : لح
3
a r
2 (
x
3
ar
) 3 (
x
2 ) 4
x
1
r
5
r
a=-1
نياربانب .
r
فذح هك مينك يم باختنا يروط ار
a
رتماراپ
3 4
x
1 3
x
2 2
x
3 3
r
: متسيس تلاح یاضف لدم
0 0 4
y
[ 1 0 1 0 3 0 ]
x
0 0 1 2 1 3
r
لاكيلوناك ياهمرف طسوت تلاح ياضف تلاداعم شيامن 3 ار دنتسه رادروخ رب یا هژيو تيمها زا هک تلاح یاضف یاه ققحت ،متسيس ليدبت عبات ندوب صخشم ضرف اب : فده .
ميرو ا یم تسدب ريذپ لرتنك يكينوناك مرف ) فلا ريذپ هدهاشم يكينوناك مرف ) ب ) ندرج ( يرطق يكينوناك مرف ) ج : زا دنترابع اه ققحت نيا : ميريگ یم رظن رد ار ريز ليدبت عبات
G
(
s
)
y
(
s
)
b
0
u
(
s
)
s n
s n b
1
s
n a
1 1
s n
1
b
2
s n a
2 2
s
n
2 ...
...
b n
1
a n s
b n y
(
s
)
: يجورخ سلاپلا ليدبت
u
(
s
)
: يدورو سلاپلا ليدبت
ريذپ لرتنک یکينوناک مرف
x
0 0 a n
a 0 1 n
1
a 0 1 n
2 0 0 ...
...
...
0 0 1 a 1
x
0 0
1
u y
[ b n
a n b 0 b n
1
a n
1 b 0 ...
b 1
a 1 b 0 ] x
b 0 u ( t )
: تلاح یاضف لدم : اه یگژيو .
تسا ريذپ لرتنک هراومه ققحت نيا ) 1 .
دوب دهاوخ ريذپ تيور ققحت نيا ،دنشاب هتشادن یکرتشم رفص و بطق ،متسيس ليدبت عبات هکيتروص رد ) 2
ريذپ تيور یکينوناک مرف
0 x
1 0 0 0 0 0 ...
...
a n
a n
1
a 1 b n x
b n
1 b 1
a n b 0
a n
1 b 0
u
a 1 b 0
: تلاح یاضف لدم
y
( 0 0 0 ...
1 ) x
b 0 u ( t )
: اه یگژيو .
تسا ريذپ تيور هراومه ققحت نيا ) 1 .
دوب دهاوخ ريذپ لرتنک ققحت نيا ،دنشاب هتشادن یکرتشم رفص و بطق ،متسيس ليدبت عبات هکيتروص رد ) 2
) ندرج ( یرطق یکينوناک مرف
1 2 ...
n
.
دنشاب یرارکت ريغ و یقيقح ،متسيس هژيو ريداقم رگا : لوا تلاح
x
1 0 2
y
(
c
1
c
2
: تلاح یاضف لدم
0
n
1
x
1
u
1 ...
c n
)
x
b
0
u
(
t
)
: اه یگژيو .
دوب دهاوخ ريذپ تيور ققحت .
تسا ريذپ لرتنک هراومه ققحت نيا ) 1 نيا
c i
0
هکيتروص رد ) 2
1 2 3
.
دنشاب یرارکت و یقيقح ،متسيس هژيو ريداقم زا یدادعت رگا : مود تلاح
4 5 6 ...
n
ز
x
1 0 0 0
y
(
c
1
c
2 1 1 0 0 1 1 4 5 0 0
n
x
0 0 1 1 1
u c
3
c
4 ...
c n
)
x
b
0
u
(
t
)
: تلاح یاضف لدم : اه یگژيو لقتسم
B
سير تام رد ،یرارکت هزيو رادقم ره هب طوبرم ندرج یاهکولب رطس نيرخ ا .
رگا طقف دنشاب و رگا تسا ريذپ لرتنک هراومه ققحت نيا ) 1 ) رفص فلاخم ،دشاب رادرب کي اهنت رگا ( یطخ لقتسم C سي رتام رد ،یرارکت هزيو رادقم ره هب طوبرم ندرج یاهکولب نوتس نيلوا رگا طقف و رگا تسا ريذپ تيور هراومه ققحت نيا ) .
دنشاب ) رفص فلاخم ،دشاب رادرب کي اهنت رگا ( یطخ 2
تلاح ياضف تلاداعم زا ليدبت عبات ندرو ا تسدب
Ax
Bu y
Cx
Du
سلاپلا ليدبت
(SISO)
یجورخ کت – یدورو کت یاهمتسيس : لوا تلاح
S x
(
s
)
x
( 0 )
Ax
(
s
)
Bu
(
s
)
Y
(
s
)
C x
(
s
)
Du
(
s
)
G
(
S
)
C
(
SI
A
) 1
B
D
ليدبت عبات
G
(
S
)
Q
(
S
)
SI
A X
(
S
) (
SI
A
) 1
Bu
(
s
)
y
(
s
) (
C
(
SI
A
) 1
B
D
)
u
(
s
)
مت سيس ياهبطق نامه عقاولا يف A سيرتام هژيو ريداقم ينعي .
دنشاب يم
x x
1 2 3
x
5
x
1 1
x
2
x
2 5
u
2
u
x
3 5 1 1
x
2 5
u y
x
1 2
x
2
: ديرو ا تسدب ار ريز متسيس ليدبت عبات
y
( 1 2 )
x
: لاثم
(
SI
A
) 2 3 5
S
1 1 (
SI
A
) 1 (
S
1 5 ( )
S
(
S
2 ) (
S
1 4 ) ) 3
S
3 1
S
1 5
G
(
S
) [ 1 1 2 ]
S
3 1
S
1 5 2 5
G
(
s
) (
S
12
S
2 ) (
S
59 4 )
(MIMO)
یجورخ دنچ – یدورو دنچ یاهمتسيس : مود تلاح : زا تسا ترابع
G
سيرتام هاگن ا ، دشاب يدعب
l
،
y
يجورخ رادرب و يدعب
m
،
u
يدورو رادرب رگا
G
G G
11
G
21
l
1 (
S
(
S
) (
s
) )
يدورو هب ار ما
i
يجورخ
G i
هك
j
(
S
)
تسا يليدبت ،
...
...
...
G G
2
m G
1
l m m
( (
s
) (
s
)
s
)
،
G
عبات زا ما
(i , j)
رصنع عقاو رد .
دزاس يم طوبرم ما
j
G
(
S
)
C
(
SI
A
) 1
B
D
: نياربانب
y
(
S
)
G
(
s
)
u
(
s
)
Outline Block Diagram
• • •
Terms and concepts Canonical form of a feedback control system Block diagram transformations
37
Block diagrams
•
Block diagrams consist of unidirectional, operational blocks that represent the transfer function of the variables of interest.
•
The block diagram representation of a given system often can be reduced to a simplified block diagram with fewer blocks than original diagram.
38
Introduction
•
A graphical tool
can help us to
visualize the model
of a system and
evaluate the mathematical relationships between their elements
, using their transfer functions.
• In many control systems, the system of equations can be written so that their components do not interact
except by having the input of one part be the output of another part
.
39
40 ©Oxford University Press 2001
A block diagram is a shorthand, pictorial representation of the
cause and-effect
relationship between the input and output of a physical system. It provides a convenient and useful method for characterizing the ‘
functional relationships
among the various components of a control system.
The arrows represent the direction of information or signal flow.
41
Component Block Diagram
42
Block Diagram
• It represents the
mathematical relationships
between the elements of the system.
U
1 (
s
)
G
1 (
s
)
Y
1 (
s
) • The
transfer function
of each component is placed
in box
, and the
input-output relationships
between components are indicated by
lines and arrows
.
43
Block Diagram Algebra
• We can
solve the equations by graphical simplification
, which is often easier and more informative than algebraic manipulation, even though the methods are in every way equivalent. • The interconnections of blocks include summing points, where any number of signals may be added together.
44
1
st
& 2
nd
Elementary Block Diagrams
•
Blocks in series:
•
Blocks in parallel with their outputs added:
Y
2
( s ) U
1
( s )
G
1
G
2
Y
(
s
)
U
(
s
)
G
1
G
2 45
Combining blocks in cascade
46
3
rd
Elementary Block Diagram
•
Single-loop negative feedback
•
Transfer function
Y ( s R ( s ) )
1
G
1
G
1
G
2 Two blocks are connected in a feedback arrangement so that each feeds into the other.
47
• Proof: x + b e G 1 G 2 y x 1
G
1
G
1
G
2
y
1
G
1
G
1
G
2
x e
x
b
,
b
G
2
y
,
y
G
1
e
e
x
G
2
G
1
e
( 1
G
1
G
2 )
e
x
e
1 1
G
1
G
2
x y
1
G
1
G
1
G
2
x
y
+ -
n
1
d
1
n
2
d
2 + + G 1 G 2 1
G
1
G
1
G
2
n
1
n
2
n
1
d
2
d
1
d
2
R(s + -
Quarter car suspension
bs
k
Series 1
m
1
s
1
s
) R(s + -
bs
k ms
2 y Feedback ) R(s
ms
2
bs
bs k
k
y
TF
H
(
s
)
ms
2
bs
bs k
k
y
1
st
Elementary Principle of Block Diagram Algebra
51
2
nd
Elementary Principle of Block Diagram Algebra
52
3
rd
Elementary Principle of Block Diagram Algebra
53
54 ©Oxford University Press 2001
55
Example 1
T ( s )
Y ( s ) R ( s )
2
s
4
T ( s )
T ( s )
1
s
2 2
s
2
s s
2 4 4
s
2 2
s
4 56
U +
Example 2
: Find TF from U to Y: 2
s
5 100 + -
s
1
s
2 10 20) + + Y • No pure series/parallel/feedback • Needs to move a block, but which one?
Key: move one block to create pure series or parallel or feedback!
So move either left or right.
20)
U + 100 + -
s
1
s
2 U + 100 + 10 20) 10(
s
1) 2)(
s
20) U + 100 20) 10
s
2 5 + + Y 20) 5(
s
5) 1 + + Y 10(
s
1) 2)(
s
s
1) 20) 5(
s
5) 1 + + Y
Feedback Rule
Y ( s R ( s ) )
1
G
1
G
1
G
2
The gain of a single-loop negative feedback system is given by the forward gain divided by the sum of 1 plus the loop gain
59
Eliminating a feedback loop
60
Closed-loop transfer function
• E a (s) = R(s) - B(s) = R(s) - H(s) Y(s) • Y(s) = G(s) E a (s) • Y(s) = G(s) [ R(s) - H(s) Y(s) ] • Y(s) [ 1 + G(s) H(s) ] = G(s) R(s)
•
Y(s)/R(s) = G(s) /(1 + G(s) H(s))
61
Closed-loop transfer function
• E a (s) = R(s) - B(s) = R(s) - H(s) Y(s) • Y(s) = G(s) E a (s) • E a (s) = R(s) - H(s) G(s) E a (s) • E a (s) [ 1 + G(s) H(s) ] = R(s)
•
E a (s) = R(s) /(1 + G(s) H(s))
62
Closed-loop transfer function
•
Y(s) = R(s) G(s)/(1 + G(s) H(s))
•
E a (s) = R(s) /(1 + G(s) H(s))
63
All the transformations can be derived by simple algebraic manipulation of the equations representing the blocks
.
64
Ex. 3 Block diagram reduction
65
66
67
Example 4
T ( s )
1
G
1
G
2
G
5
G
1
G
3
G
1
G
6
G
1
G
2
G
4 68
Example 5
Can use superposition: First set D=0, find Y due to R Then set R=0, find Y due to D Finally, add the two component to get the overall Y
First set D=0, find Y due to R
Y s
1 ( ) 1
G G
1 2
G G H
1 2 1
Then set R=0, find Y due to D G 2 ( ) 1
G
2 2 1
Finally, add the two component to get the overall Y 1 2 2 1 1
G
2 2 1
Summary
•
Using transfer function notations, block relationships were obtained.
73