Transcript 4. Aleksandra Czuba - Figury przestrzenne

FIGURY
PRZESTRZENNE
GRANIASTOSŁUPY
Graniastosłup (wielościan) jest figurą przestrzenną, której obie
podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi, a ściany
boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupa są
równoległe i mają jednakową długość.
Wysokość graniastosłupa jest to odcinek
prostopadły do podstaw i zawarty między
obydwoma podstawami.
Przekątna graniastosłupa jest to odcinek
łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej
ścianie (np.: BD1).
Graniastosłupy dzielimy na:
PROSTE
POCHYŁE
dalej
Graniastosłupy proste
Graniastosłup prosty to taki
graniastosłup, w którym
wszystkie ściany boczne są
prostokątami. Graniastosłupem
prostym jest m.in. sześcian,
prostopadłościan.
Wzór na objętość graniastosłupa
prostego:
P - pole powierzchni
h - wysokość graniastosłupa
V  Ph
Wzór na pole powierzchni siatki
graniastosłupa prostego:
P - pole powierzchni
h - wysokość graniastosłupa
l - obwód podstawy
S  lh  2 P
Sześcian
Sześcian (inaczej heksaedr) – wielościan foremny o sześciu ścianach
w kształcie identycznych kwadratów. Posiada 12 krawędzi, 8 wierzchołków
i 4 przekątne.
Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym.
a
Sześcian jest także szczególnym przypadkiem graniastosłupa
prawidłowego, hipersześcianu, prostopadłościanu i romboedru.
a - długość jednej krawędzi sześcianu
Wzór na objętość sześcianu:
V  a  a  a  a3
Wzór na pole powierzchni:
S  6a 2
Wzór na długość przekątnej sześcianu:
d a 3
Prostopadłościan
Graniastosłup prosty, którego podstawy są
prostokątami nazywamy prostopadłościanem.
Prostopadłościan ma trzy wymiary: długość,
szerokość i wysokość (a, b, c). Każdy
prostopadłościan ma 6 ścian (4 ściany boczne
i 2 podstawy), 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
Pole powierzchni całkowitej
P
c
 2ab  2bc  2ac
Objętość prostopadłościanu:
V  abc
a, b
- krawędzie podstawy
c - krawędź boczna
d - przekątna
prostopadłościanu
Graniastosłupy pochyłe
Graniastosłup pochyły to taki
graniastosłup, w którym krawędzie
boczne nie są prostopadłe do podstaw,
ale są do siebie równoległe.
W graniastosłupie pochyłym długość
wysokości jest mniejsza od długości
krawędzi bocznej.
Pole powierzchni i objętość takiej figury
obliczam z takiego samego wzoru, jak dla
graniastosłupa prostego.
OSTROSŁUPY
Ostrosłup – bryła geometryczna w postaci wielościanu, którego
wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w jednym punkcie
zwanym wierzchołkiem.
Wzory
na objętość:
V 
1
h
3 PP
na pole powierzchni:
P P P
c
h
P
b
P
P
P
C
V
b
P
gdzie:
– długość wysokości ostrosłupa,
– pole powierzchni bocznej (suma pól ścian
bocznych),
– pole podstawy ostrosłupa,
– pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,
– objętość ostrosłupa.
STOŻKI
Stożek (dawniej konus) – bryła ograniczona przez powierzchnię
stożkową, której linia kierująca jest zamknięta, oraz przez
płaszczyznę przecinającą powierzchnię stożkową. Część
płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową stanowi
podstawę stożka. Może mieć ona kształt dowolnej figury płaskiej.
Kierującą powierzchni stożkowej może być obwód podstawy.
Wysokością stożka nazywamy odległość wierzchołka od
płaszczyzny podstawy.
WALEC
Walec jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią walcową
i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej tworzącej. Jeżeli
płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej, wówczas jest to walec
prosty.
Walec kołowy prosty jest bryłą geometryczną powstałą w wyniku
obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków. Podstawą walca oraz
jego górną częścią jest koło, a jego szerokość jest w każdym miejscu
taka sama.
PRZEKRÓJ OSIOWY
Przekrojem osiowym walca jest prostokąt.
PRZEKRÓJ POPRZECZNY
Przekrojem poprzecznym walca jest koło.
NA KONIEC…
Zadanie 1
Bryły przedstawione na poniższych rysunkach to:
a) I - stożek, II - walec, III - ostrosłup, IV - graniastosłup
b) I - walec, II - ostrosłup, III - stożek, IV - graniastosłup
c) I - walec, II - stożek, III - graniastosłup, IV - ostrosłup
d) I - walec, II - stożek, III - ostrosłup, IV - graniastosłup
Zadanie 2
Które z poniższych zdań są fałszywe?
a) Ściany boczne graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi wielokątami.
b) Ściany boczne graniastosłupów prostych są zawsze prostokątami.
c) Podstawy graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi wielokątami.
d) Podstawą walca i stożka jest koło.
Zadanie 3
Łączna długość krawędzi prostopadłościanu o wymiarach 7cm, 2dm i 60mm
wynosi:
a) 99cm
b) 33cm
c) 276cm
d) 132cm
Zadanie 4
Na wykonanie szkieletu sześcianu zużyto 48cm drutu. Na wykonanie ścian tego
sześcianu potrzebna jest tektura o łącznej powierzchni:
a) 16cm²
b) 288cm²
c) 96cm²
d) 48cm²
Zadanie 5
Objętość sześcianu o polu powierzchni całkowitej 150cm² wynosi:
a) 150cm³
b) 25cm³
c) 625cm³
d) 125cm³
ODPOWIEDZI
1.
2.
3.
4.
5.
BIBLIOGRAFIA
•
www.wikipedia.pl
•
www.gwo.pl
•
www.zobaczycmatematyke.krk.pl
•
www.figuryprzestrzenne.pl
•
„Encyklopedia matematyki” GREG