Transcript transformaciones isométricas en el plano cartesiano

TRANSFORMACIONES
ISOMÉTRICAS EN EL
PLANO CARTESIANO
Plano Cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos
rectas graduadas, perpendiculares entre
sí, llamadas ejes coordenados o ejes
cartesianos.
El eje horizontal corresponde al eje de las
abscisas o eje X, y el eje vertical, al eje
de las ordenadas o eje Y. El punto en que
se intersecan estas rectas se llama
origen.





Para determinar la posición de un punto P en
un plano se le asocia un par ordenado ( x, y )
de números reales , que constituyen sus
coordenadas respecto de un sistema de ejes
coordenados.
P(x,y); x,y son números reales
Ejemplo: A(2,3) , B(-5,0) , C(0,2)
Todos los puntos ubicados en el eje X tienen
ordenada cero, ejemplo: A (1,0) , B( -2,0) ,
C(5,0).
Todos los puntos ubicados en el eje Y tienen
abscisa cero, ejemplo: P(0,3) , Q(0,-5) ,
R(0,1)
Actividad 1
Dibuja en tu cuaderno el plano
cartesiano y ubica los siguientes
puntos.
1. A(5,8)
2.B(3,6)
3.C(4,4)

4. D(-1,-8)
5. E(-5,4)
6.F(-5,4)
7. G(0,-3)
8.H(5,0)
9. I(-7,0)
3

10.J  1, 4 
 1 1
K  , 
11.  2 3 
12.L(0,6)
Actividad 2

a)
b)
c)
Indica en qué cuadrante se ubica un
punto , según las siguientes condiciones:
Su abscisa es negativa y su ordenada es
positiva.
Su abscisa es positiva y su ordenada es
negativa.
Su abscisa es negativa y su ordenada es
negativa.
Vectores en el plano cartesiano

Un vector es un segmento con magnitud, dirección y
sentido definidos. Este se denota
por
o
("el que conduce o arrastra“).
u



AB
Magnitud, distancia entre el punto inicial y el punto final
del vector.
Dirección, inclinación de la flecha con respecto a la
horizontal. (derecha, izquierda)
Sentido, hacia donde se realiza el desplazamiento ,
indicado por el extremo que corresponde a la cabeza
de la flecha. (arriba, abajo)

Para representar un vector en el plano cartesiano utilizamos
un par ordenado (x,y), llamado componentes del vector. La
componente x representa el desplazamiento horizontal,
positivo hacia la derecha o negativo hacia la izquierda, y la
componente y representa el desplazamiento vertical, positivo
hacia arriba o negativo hacia abajo.
AB  (2, 4)
u
v
w
Componentes de los vectores
p
u  (1,3)
v  (2, 2)
w  (2, 3)
p  (4, 2)
Componentes de un vector

Dado los puntos A( x1, y1 ) y B( x2 , y2 ) , el
vector que va desde A hacia B tiene
componentes :
 x2  x1, y2  y1 
ACTIVIDAD 1
En la figura determinemos las componentes del vector AB
Y
Y
AB = (5,-3)
A
X
El vector AB se puede
determinar de la siguiente
forma.
A(-3,4)
B
y
B(2, 1)
Luego:
AB=(2-(-3), 1-4)
X
AB = (5,-3)
ACTIVIDAD

Identifique los puntos indicados en el plano cartesiano. Determine
las componentes de los siguientes vectores
D
Y
A
C

B
F
E





X
Transformación isométrica




Una transformación isométrica es aquella
que solo modifica la orientación y/o posición
de una figura, pero mantiene su forma y sus
medidas, entre ellas tenemos:
- traslación
- rotación
- reflexión (simetría central, simetría axial)
Transformaciones en el plano cartesiano
“ TRASLACIÓN”
Al desplazamiento de una figura plana en el cual se
conserva su forma, orientación y medidas, se le
denomina TRASLACIÓN. Al trasladar un punto o una
figura en el plano cartesiano debemos indicar el
sentido, dirección y magnitud de la traslación
utilizando un vector:
v  (a, b)
En el plano cartesiano , la imagen de un punto P(x,y)
que se traslada según un vector corresponde a:
P  x  a, y  b
Y
C’
u
B’
A’
X
B
A
Composición de traslaciones

Si se aplica a una figura F una traslación respecto
al vector u  (u1, u2 ) resulta F’ y si a esta se le aplica
una traslación según el vector v  (v1 , v2 ) resulta
F’’. Es decir, la transformación anterior es
equivalente a aplicar sobre F una traslación con
vector
u  v  (u1  v1, u2  v2 )
obteniendo F’’.
Es decir:
Suma de vectores
Si tenemos a  ( x1, y1 ) y b  ( x2 , y2 ) , las componentes
del vector suma:
a  b   x1  x2 , y1  y2 
Ejemplo: Si tenemos los siguientes vectores: s  (3, 2)
t  (3,3)
s  t  (3  3, 2  3)  (6,1)
Ejemplo

Traslada el triángulo ABC de la figura
con respecto a la suma de los
vectores u y v
Ejemplo
A
u
B
A’
B’’
C
C’
v
u+v
Transformaciones isométricas
En una rotación se identifican tres elementos:
El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se
efectúa la rotación.
La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está
determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de
rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura
obtenida después de la rotación.
El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)
N
M
M’
.
O
N’
Al rotar una figura con centro de
rotación en el origen del plano
cartesiano, en los ángulos 90º,270º y
180º, encontramos ciertas
regularidades que nos sirven para
generalizar estas rotaciones. Estas
regularidades tienen relación con los
inversos aditivos de las coordenadas y
con la permutación de abscisas y
ordenadas.
Rotación en 90º en torno al origen:
x’
x
A’
y’
A
y
x’
Entonces:
Luego:
y
A
x
y’
x’ = -y
A’
y’ = x
A(x, y) => A’(-y, x)
Rotación en 180º en torno al origen:
A
A
y
y
x’
x’
x
A’
y’
Entonces:
Luego:
x
y’
x’ = -x
A’
y’ = -y
A(x, y) => A’(-x, -y)
Actividad
Represente en el plano cartesiano el triángulo ABC, donde A(3,1) ,
B(6,1) y C(1,3). Rote el triángulo en 90º y 270º con centro de
rotación en el origen del sistema cartesiano.
FIN